ac — e») (a 4- c) 4- (^c — /*) (6 4- c

ab — d^=^x^\)m X §y«Dm — (§:c/Dm)*, rtc —e* = § j?*Dm X j^5* Dm — (§^5 Dm)',

et il est très facile de voir que ces trois différences sont positives; de plus,

des inégalités

/ ab>d^,

(4) ac>e\

( bc >/*,

on déduira

et, par suite,

abc > de/;

et Ton voit alors que tous les termes de Texpression (3) sont essentiellement positifs, et que, par conséquent, cette expression ne peut jamais s*annuler.

Nous avons admis les inégalités (4) comme évidentes. Si Ton suppose, en effet, que le nombre des points du système ait une valeur finie quelconque /i, la première de ces inégalités, qui ne diffère des deux autres que par des changements de lettres, devient

(m^a:\ 4- m, j:* 4-. . . 4- w^^xj) (m, y] 4- m,/» -h . . . 4- m^,/* ) > ('^ïi'^^i Ji -H ... 4- mnXn)\y ;

or elle peut s'écrire

el, sous celle forme, elle devient complèlement évidenle. Le seul cas d'exception sérail celui où lous les éléments de la somme seraient nuls. Cette condilion ne pourrail être remplie pour les trois inégalités (4) à la fois que si tous les points du système se trouvaient sur une môme ligne droite passant

par Torigine.

(^Note de M. J, Bertrand. ^

NOTE YI.

Sur les équations différentielles des problèmes de Mécanique, et la forme

que Von peut donner à leurs intégrales.

Dans la Section IV de la seconde Partie, Lagrange fait connaîlre la forme très remarquable que prennent les équations de la Dynamique, lorsque Ton substitue aux coordonnées des divers points un système quelconque de variables. Nous allons revenir, dans celle Note, sur la formation de ces équations. Nous indiquerons ensuite une transformation très heureuse que leur a fait subir M. Hamilton, et dont on peut déduire plusieurs propriétés de leurs intégrales qui conviennent à tous les problèmes auxquels s'applique la transformation de M. Hamilton.

Soient Xj, 7,, -,, x„ j„ c„ . . ., x^,, j„, z^ les 3/i coordonnées des points d'un système; IIiizio, n,=:o, ..., n3;,^. = o, 3/i — Â- équations de liaisons qui déOnissent le système. Dans ces équations, les 3/i coordonnées peuvent figurer d'une manière quelconque avec le temps t\ désignons par ^t» Çi» • • -f qk k variables nouvelles, telles que l'on puisse exprimer les 3/i cooixlonnées x^, 7,, 5,, . . ., Xny 7rt, z^ en fonction de ces variables et du temps t, les formules qui expriment les coordonnées étant telles, bien entendu, que les équations n, = o, n,i=o, ..., Hm-k^^o deviennent identiques lorsqu'on y substitue aux diverses coordonnées leur expression en fonction des variables nouvelles.

Les équations du mouvemenl ont, comme on sait, pour type général

„, ^-i — 7 .1.1 ^°» i.l ^"«^ ^\ àWzn-k

la lettre i désignant un nombre entier quelconque au plus égal à /^, m, la masse du point dont les coordonnées sont j;,, v,, 5,, et X^, Y,, Z, les composantes de la force qui sollicite ce point. Multiplions les équations (i), respectivement, par -r— ^> > ' T~^* ^^ ajou-

tons-Ies à toutes les équations analogues que Ton obtiendrait en attribuant à i les n valeurs dont il est susceptible; il viendra

dxi d}Xi dyi ci^Vt dzi (Pzi

^ '\dq,n cil* àf/,n dl* ôq„, dt^

Ofjni àtlni Oq„

les facteurs Xi, X,, . . ., >.3/,-a disparaissent dans l'addition à cause de la relation

^\dx^ ùqm. ày^ ôq,n dz^ dqm) '

qui résulte de ce que la fonction lia (^ désignant un indice quelconque au plus égal à 3w— A) s*annule identiquement lorsque x,, u^j, ..., x,,^ 7,, Jî> •••> y m ^i> ^ï> •••> ^/i sont remplacés par leurs valeurs en Yi, <y„ ..., 7a et t.

Le second membre de Téquation (2) doit être regardé comme une fonction connue des variables ^i, q^, . . ., 7>fr et /; car X|, Y/, Z|-, j?/, j/, 5/ sont donnes par renoncé du problème en fonction de ces k -\- i variables. Il n'y a donc pas lieu de transformer ce second membre, et nous le désignerons par une lettre 0;„.

Pour transformer le premier membre, écrivons-le de la manière suivante :

ôqni dt âq,n dt dqm dt

en désignant par xj, ji, z'i les composantes de la vitesse du point dont les

coordonnées sont xi^ j/, 5/. On a identiquement

/ dxi dx'i

àj'i dy'i ^ dzjt^ d^\

^qm àc )

^ \àqm dt ' ôqm dt ' ôq d ^ ( , ôxt , ÔYi , dzi \

—^niAxi

, d dXi dt dq,n

, d ôzi ^''dtd^^

^, d^ âzj \ ^'dt dq„,J

^h y h ^i sont donnés, par hypothèse, en fonction de ^i, 7,, . . ., qk et t; en différentiant les formules qui les expriment, on aura

XiZ=z -~

âxi dt

âxi , ôxi ,

dq

ôq^

ôt dzi

àqx

dzi dt ' âqi

àxi ,

ÔZi

ôqt

dqk

âZj

dqk

Ça

d'où l'on conclut

dxi dx) dyi dy'i

dzi

dz'i ,

àq,n dq,,,' dq,n dq'J

dq,n

dq\„ '

on a, d'ailleurs.

d dxi d^Xi ^ d^xi ^, d^Xi dt dq,n dq,ndt dqidq,n^ dqtdq„.

1 d^Xi dqk dqm

ce qui équivaut évidemment, d'après la valeur de x'i fournie par l'équation (6), a

dq

• On obtiendrait de môme

d dy^ __ dyj dt dq,n dqm

d dz{ dz'f

dt dq,n ~~ dq,n

Si nous avons égard à ces relations et si, de plus, nous posons

T^L^mi{x',^-^y,'-^z\%

réquation (4) deviendra

d dT dT

dt dq',,, dq,n ~~

On obtiendra k équalions de même forme en altribuant successivement à

rindice m chacune des valeurs 1,2, . . ., Ar, et l'on formera ainsi les k équations différentielles suivantes :

^ ^T iïï ^ dt ô(j\ dq, ~ ^*'

dt dfj\ dqt "" ^*' • >

qui sont précisément les équations de Lagrange. Dans ces équations, les inconnues sont Çi, ^„ . . ., q^f et leurs dérivées q\, 7',, . . ., 7'^; Q,, Qj, . . ,, Qa sont des fonctions données de ces inconnues; il en est de même de T, car j?/, 7/, Zi étant donnés, par hypothèse, on peut former, par la différentiation, ^'h y'h -i- Il est important de remarquer que, d'après les règles de la différentiation, j?;, jl, 5/ seront des fonctions linéaires de 7'i,7j, ..., 7'*» et que, par suite, T sera une fonction algébrique entière et de degré 2 de ces diverses dérivées. Si les expressions de a:/, j„ Zi ne contiennent pas explicitement la lettre t, et cela aura lieu toutes les fois que les liaisons seront indépendantes du temps, on voit facilement que o?^-, j/, z'^ seront des fonctions homogènes du premier degré, et, par suite, T une fonction homogène de degré 2 par rapport aux variables q\,q't9 • • •» q'k» Celte remarque a une grande importance.

Nous supposerons, dans les considérations qui vont suivre, un système dont les liaisons sont indépendantes du temps, sollicité par des forces ayant pour composantes les dérivées partielles d'une même fonction. Nous admettrons, en un mot, que le principe des forces vives soit applicable au problème dont nous nous occupons.

Reprenons les équations différentielles du mouvement

dt ôq\ ôq, ~" ^*'

(I) {dt dq\ dq.

d ÔT ôT ^

\ dt dq'k ôqk

ces équations sont du second ordre, mais on peut les ramener au premier ordre en considérant </'j, 7'j, ..., 7'^. comme k inconnues nouvelles déûnies par les équations

et nous aurons, de cette manière, un système de 2 k équations du premier ordre.

Poisson a eu l'idée de transformer le système des équations (1) et (2) en

substituant aux inconnues r/\, q' ..., q',. les inconnues nouvelles ^-r»

-z-ry " '7 -z-ry qui OU sont dcs fonctions linéaires; mais il n*a pas développé J7, âq,:.

complètement son calcul de transformation, et M. Ilamilton a donné, le premier, les équations très simples auxquelles ces variables nouvelles vont nous conduire.

Posons

dT dT dT

les équations (i) deviendront

cit ôq, ~ ^*' dt ôq, " ^" • • • ' dt dqk ~ ^*'

mais la substitution des variables Pu p^^ . . ., pk à <i\y q'ty • • •» Qk exige que les seconds termes de ces équations soient transformés. Il est clair, en effet, que T étant exprimé en fonction de q^ ^j» • . •> Qki ç't» ^1» • • •» ^*» P^^s en fonction de 7, 729 • • •« Qk% Pu Pu • • •> Pkj n'aura pas, sous les deux formes, la môme dérivée par rapport à q,n' T étant une fonction bomogène de degré 2 des variables ^',, ç',, . . ., q'k^ on

a, identiquement,

rr . dT . dT . dl

2 i z= q. 3-7- -h 7- -7- r -\-. . .-h qk "ï—r >

ce que l'on peut écrire

• ^^'dq" ^ ^t ^ - -h . . . -h qk ^^-T — q^pi-h q^p^-\- . . .-h qkPk—T.

Prenons la variation des deux membres en faisant varier toutes les variables

à la fois; il vienl

^ . ^ , * > ^ àT . dT . ÔT ^

(Nous supprimons, dans le second membre, les termes />,„ â</',„ et — -^-r- Sq'

dq

dp. ^"

dp, ''"

• ' dq, - '""

dH dT

dqi dq. '

dq, dq.

dl lïl

dqk dqk

qui se détruisent.)

Or, en considérant T comme fonction de /?i, /?,, . . ., /?a, q\i qu • • •» 7a» on conclut évidemment de Téquation (4)

Les équations (6) donnent aux équations du mouvement la forme

et, si on leur adjoint les relations (5),

ôpi dt ' àpi dt ^ ' ()/?x- ^^

on aura 2k équations différentielles du premier ordre entre les inconnues ^i, Pi^ • • » Pky 7n 7î» . • •» 7*. Pour simplifier ces équations, rappelons-nous que X,, Y|, Z/, composantes de la force qui sollicite le point jt,-, yi, Zi, sont, par hypothèse, les dérivées partielles d'une même fonction U, et que Ton a

ôU ^ à{] r, d\}

ôxi âfi âzi

donc, en se reportant à la délinition de la fonction Q,„,

^^ Oqm Oqnt Ôq,n

on en conclut

àq,n

Si Ton remet dans les équations (A), à la place de Q,, 0„ . . ., Q^, les valeurs

fournies par cette formule, et que Ton pose, de plus, tf — T=: II, ces équa-