XI

WV NOTES.

lions deviennent

dp^ dB. dp^ <?H dpt dH .

(it df/i dt dqi de dqk^

si l'on remarque, en outre, que, U ne contenant pas /?,, /?«, ..., /?)t» on a

-7— = r-> ÏGS équations (B) pourront s'écrire

ôpi ôpi ' '•

Les systèmes (C) et (D) donnent, sous la forme la plus simple, les équations d'un problème de Mécanique auquel s'applique le principe des forces vives. On voit que deux problèmes de ce genre ne diffèrent l'un de l'autre que par le nombre des variables et la forme de la fonction H.

Quoique l'on soit loin de savoir intégrer, en général, les équations (C) et (D) du paragraphe précédent, leur forme permet, néanmoins, d'établir plusieurs ihéorèmes fort importants, qui s'appliquent à toutes les questions représentées par ces éciuations.

Nous commencerons par établir le théorème suivant, qui est dû à Hamilton :

Théorème. — I^es intégrales d'un problème de Mécanique auquel s* applique le principe des forces vives peuvent toutes s'exprimer en égalant à des constantes les dérivées partielles d'une même fonction prises par rapport à d'autres constantes.

Reprenons les équations différentielles d'un problème de Mécanique auquel s'applique le principe des forces vives:

dPl.__^àn dp^ ^ ^ àj^

dt ' dqi* dt ôqt dt dq^

dq, ô\\ dq^ dVL dqk Ô^

dt ôpx dt ôpi dt dpk

Supposons que, ces équations ayant été intégrées, />i,/>j, . . ., pa, 7i> ^1» •••> 7* soient connus en fonction de t et de 2 A- constantes arbitraires. Si nous remet-

ions ces valeurs dans la fonction H, nous aurons, en cUfTcrentiant le résultat par rapport à Tune des constantes a,

Ooc ôpi doc

du ôpjr dH dq, ù\\^dq^ d\\ àgu

àpk àoL Of/i à a àq^ à en " ' * âqu àx

c'est-à-dire, en ayant égard aux équations (i), qui sont, par hypothèse, satisfaites.

àU __ r///| âpi dq^ ôpt

dqk àpk . dpy^ ôq^ dp^ ôq^

ôx

dt ÔOL dt doL

dl ÔOL dt doL dt dot.

dpk d<U dt ()x

ce que l'on peut écrire de la manière suivante :

ÔW

âqx , ^ ()qi

(3) -ÂZ=:rAPMh-^Pi-:/z-^-"'^P^

àx dt V âx

ôx

àqk^ âx

) Ox

d'h , .. dq

P'-dT

Mais, la fonction T étant homogène, de degré 2, par rapport à q\^ q\, ..., q'k, on a

Or cette expression ne diffère pas de celle dont la dérivée, par rapport à a, figure dans le second mcmhre de l'équation (3), en sorte que celte équation devient

d\l d f ôq, dq^ dqk\ ÔJ

^''-^l-'âi'

jâ -d'tV'~dt^^'ôx

ôx

ou encore

ou, en inlégranl les deux membres par rapport à l.

I (H-h2T)dtzi:

''' ÔX ^'''ÔX

ôqk

ôx ) t àqk

ôqx Ôqi

les indices o et ^ placés au-dessous des parenthèses indiquant qu'il faut y supposer le temps égal à zéro ou à t.

L'intégrale / (H h- 2 T)^^ est une fonction de ^et des 2 A constantes arbi-

traîres; désignons-la par S, Téquation précédente deviendra

si nous la multiplions par dx, pour l'ajouter ensuite à toutes les équations analogues que Ton obtiendrait en remplaçant la constante a, successivement* par toutes celles qui Ogurent dans les intégrales du problème, on aura

^ I —(Pi )o (^<7i )o— (/>i)o ('î<7i)o — . . . — (Pk)o{oçk)of

en désignant par le signe ô la variation totale d'une fonction des diverses constantes, lorsque celles-ci varient toutes à la fois.

Remarquons, actuellement, que S, étant une fonction de t et des 2 k constantes arbitraires, peut s'exprimer en fonction de t et de^,, ^„ . . ., Çk^ (^i)o* (Vj)o? " '9 (7k)o' On a admis, en effet, que 71, 7j, . . ., q^ sont des fonctions de t et de 2k constantes; si, dans les k équations qui les déterminent, on fait / = o, on obtiendra A: équations nouvelles, dans lesquelles (71)0 (7î)o» •••» (Çk)o remplaceront 71, ^j, . . .,7a, cl qui, jointes aux précédentes, permettent d'exprimer les 2 A* constantes en fonction de t et de 71, 7,, ..., qky (71)0»

Si nous supposons que le calcul indiqué soit effectué, l'équation (7) fournira la variation de S, lorsque toutes les variables dont cette fonction dépend, h Texception de i seulement, reçoivent des accroissements infiniment petits. On en conclut, d'après les principes du Calcul différentiel.

=^— (/^i)o» TTTT' —~ \Pif09 •••» A. . V — — \Pkhi

et ces équations ayant lieu entre pu Pt^ . . . , />a> 7i> qu . • • » qkf le temps / et les 2 A constantes (/>,)o, (/?i)o» ...» (Pk)oy (7i)o, (vOo» •••> (7a )o» elles sont, évidemment, les intégrales complètes du problème. On peut remarquer que les équations qui composent la deuxième ligne du groupe (8) forment un système à part, dans lequel ne figurent pas/?i, /?î, . . ., /?a» et permettent, par conséquent, de calculer les inconnues 71, 7,, . . ., 7a en fonction du temps et de toutes les valeurs initiales (7,)o, (7,)o, . . ., (7^)0, (/^i)o, (Pi)o, • • •» (Pk)o'

D'après la manière dont la fonction S s*esl introduite au paragraphe précédent, il semble que, pour la connaître, il soit nécessaire d'avoir préalablement résolu le problème dont on s'occupe. Mais nous allons montrer que celle fonction satisfait à une équation dinerenlielle partielle du premier ordre, dont toute intégrale complète peut la remplacer dans la formation des équations intégrales du problème de Mécanique.

Nous avons posé

en se reportant au paragraphe 11, on a

IlmU-T;

donc

Différenlions les deux membres par rapport à /, et remarquons que S contient /, explicitement, et aussi h cause de Çu ^/j» • . •» 7a, q"i en dépendent; nous aurons

' ôl 0(lx dt ôqi dt ôtjk dt

M^ dfjt dn^ d(Jie , - . 1. ^ . , .

7/ "^/ ***' iT ^^"^ fonctions Imeaires de /?i, /^j, ..., /?a, c esl-

à-dire (§ 111) de -r — > -r— > • • • > -^ — > de sorte que, par la substitution de ces

'valeurs, Tcquation (2) deviendra une équation différentielle partielle du second degré par rapport aux dérivées de S. Pour former celte équation, il faudrait transformer, comme nous l'avons indiqué, la somme

qui figure dans le second membre; or le résultat de ce calcul sera évidemment le même si Ton substitue à cette somme l'expression

Pi 7'i H- /^ï 7'i -*"••• -+- Pkq'ky

qui n'en diffère que par le changement de -r^j -j — > • • • > 3 — en />!,/>„ . . .,

0(/x 0(]t oqk

/>x, changcmenl dont l'effet sera détruit par le changement inverse que Ton doil faire à la fin du calcul. Or, la fonction T étant homogène du second degré par rapport à y',, y',, . . ., q\y on a, identiquement,

en sorte que l'équation (2), à laquelle satisfait la fonction S, peut s'écrire symholiquemeni

U-f-T=^^+2T, ot

c'est-à-dire

les parenthèses qui entourent T indiquant que cette fonction doit être exprimée en fonction de pxy Pu •••» Pk^ et que ces variables seront ensuite

remplacées par -^ — > - — » •••> -r —

L'équation (3) admettra une infinité de solutions contenant chacune /constantes arbitraires, cl que Lagrange nomme les intégrales complètes. L'une de ces intégrales sera la fonction S que nous avons définie dans le paragraphe précédent; mais nous allons montrer que toute autre intégrale complète peut remplacer celle-là et fournir la solution du problème de Mécanique dont on s'occupe.

Soit, en effet,

(4) S=i F(^7i,7j, . . .,7*, «i,^i, . . -yOk)

une telle intégrale, satisfaisant identiquement à Téquation (3) et contenant k constantes arbitraires; si l'on pose

je dis que l'on aura la solution complète du problème proposé, et que ces équations (5) fourniront les valeurs de 7,, 72, ..., qk en fonction de / et de 2 A constantes arbitraires. Pour le démontrer, rappelons-nous que les

équations différentielles du mouvement sont

([Pl àU dp^ âU dpk OU

dt dq% dt dqx dl dOk

dq, d^ dq^ d\\ dqk (>H

dt ôpi dt ôpt dt dpk

dans lesquelles H désigne la différence U — T. U ne contenant pas ^i, />î, . . . , Pkj on a

dpx ~~ dpi '

en sorte que la seconde ligne des équations (6) peut s'écrire

dqj__âT^ dq^dT^ dqk âT

^"^ dt ~ dp," dt " dpi' '"' dt ~~ ôpk'

Nous commencerons par montrer que ces équations (7) peuvent se déduire du système des équations (5).

En différentiant ces équations (5) par rapport à t, nous aurons

à laquelle il faudra adjoindre A — i équations que Ton formera en changeant dans celle-ci a, en «„ a^, . . ., aj^.. Le système des k équations ainsi obtenues donnera les valeurs de 7',, </'j, . . ., q\., qui résultent des relations (5).

Or, en différentiant par rapport à a^ Téqualion (3), à laquelle S satisfait identiquement, il vient

-^ — - désignant ici la dérivée par rapport à a^ de Texpression dans laquelle

se transforme T, lorsque Ton y remplace /?i, pi, ...,7?*^ par -t — > -y^, •••>

-5 — On a évidemment, d'après cela, oqk

Ja, (i/y, âqiôai âpt àqtôdi dpk dqkôa^'

et, dans le second membre de cette équation, il faudra encore transformer

<ïï dT dJ , . (>S ()S dis

3— > -T—j •• • ) 3 — > en y remplaçant />|, />î, . . ., p^ par 3—, -r— » • • •> -: —

dpx âpt dpk " ^ ' '^'^ ^'* ' ^ ' âqi âqt Ôqk

Pour indiquer celle iransformalion, nous placerons ces quanlilés entre des parenlhèscs. L'équation (9) deviendra alors

àqk da^

à laquelle on pourra joindre A* — i équalions que Ton formerait en changeanl dans celle-ci «, en «j, «3, . . ., aji. Or, si Ton compare le syslème des équalions ainsi obtenues avec celui dont Téqualion (8) est le type, on en conclul que ce dernier sera salisfail par les valeurs suivantes des inconnues q\, <7j, • • • » 7^ *

Or, on a démonlré [§ II, équalion (5)] les relalîons en sorle que les formules précédentes peuvent s'écrire

(i3) q\^{,j\), q't — iq't), ..., qic — Wk)^

(7i)> (7'i)» • • •> (7a) désignant ce que deviennent les expressions 7',, </',, . . ., «y'x-, lorsque, après les avoir exprimées en fonction de /?,, /?,, . . ., /?^, on rem-

place ces dernières variables par -r^> -^j — , • • • > -r-^- Supposons maintenanl

àqx Oqt àqk

qu'en faisant subir celle transformalion aux seconds membres des équalions (12) on exprime en même temps, et par les formules mômes dont on aura à faire usage, les premiers membres en fonction de />i, />„ ..., p^; on formera un système d'équations dont les deux membres ne différeront

que par le changement de pi^ /?„ . . ., pk en -z — , y—, ••-, -= — , et dont on

déduira, par conséquent,

('4) /^i=xr^ /^«=T~' •••' /^A' =

àqr "^^^dq, '^'^ dq.

Si nous revenons actuellement aux équations (12), on peut les écrire

(iD) q,^=z- — , 72^=3 — ' •••> 7a-=j; — >

'^ dpx ^* dpt ^^ àpk

en supprimant les parenlbèses qui n'ont plus d'autre objet que d'indiquer la

substitution de -z—y t— ? • • • ^ -^ — '^ des quantités qui leur sont égales en

àçi dqt àçk

vertu des équalions (i4). Les formules (i5) forment une moitié des équations différentielles du mouvement, qui sont, par conséquent, satisfaites.

Les équations qui, jointes au système (i5), représentent les conditions complètes du problème sont les suivantes :

^ ' dt dq\ dt àq% ' dt dqk

Pour montrer qu'elles sont également satisfaites, différentions par rapport à / les équations (i4); les résultats obtenus seront de la forme

ou, en remplaçant ^,, ^j, - - *, Çk P»r leurs valeurs -^ — > -r — > • • • > -^ — > dp^ __ â^S d^ dj^ â^âT^ d^S dT

^ ^ dt '~' âf/i ôt dq\ ôpi dqx ôqt àpt " ' dqx dqk dpk

Différentions actuellement par rapport à q^ Féquation (i9) U = ^-h(T);

il viendra

. ,dqt dtdqx dq

~dtdqi \dqj \dpjdq] \dpj dq^dqi "* \dpk)dqkdqx

OU, en remplaçant ( -r— h f y— j> • • • par leurs valeurs 7',, ^',, . . ., q'k. En comparant les équations (17) et (21), on conclut

~" à^\ \àqi)

dpx d\] dt

XL Oi

Or on peut, en vertu des relations (i4), enlever les parenthèses qui entourent

-T—y et Ton a enfin

dp, ()(U~T)(?n

dt "" dqi âqi

C'est précisément la relation que nous voulions établir; on obtiendrait des

valeurs analogues pour ~y •• •> -^y et il est prouvé, par conséquent, que

toutes les équations du mouvement sont satisfaites par le système des relations (5).

LMdée de substituer à la fonclion S de M. Ilamillon Tune quelconque des intégrales de Téqualion à laquelle elle satisfait est duc à Jacobi (*). La démonstration a été développée par lui dans le cas d'un système sans liaisons. Plusieurs géomètres ont traité depuis la même question, mais je crois la démonstration précédente plus simple que celles qui avaient été données jusqu'ici.

M. Uamilton nomme la fonction S, à laquelle se rapportent les calculs précédents, la fonclion principale du problème. Il a considéré, en outre, une autre fonclion qu'il nomme caractéristique, et que nous désignerons par V. Nous croyons devoir placer ici la définition de cette fonction V et l'indication de sa propriété la plus importante. C'est elle qui s'est présentée d'abord à M. Hamilton, et c'est en l'étudiant qu'il est, je crois, le plus facile d'apercevoir les idées qui l'ont guidé.

on con-

La fonclion V n'est autre chose que l'intégrale / dt^mv* que 1*

sidère dans le principe de la moindre action, de telle sorte qu'en cherchant à démontrer ce principe on peut être conduit de la manière la plus naturelle, comme on va le voir, à la belle découverte de M. Hamilton. D'après la notation adoptée dans cette Note, on a

y—l2Tdl=^f {pxq\^ Piq^-i- . > .-^ Pnq'n) dt;

(*) Journal de C relie, t. 17.

on en déduit

= -^ / (Pi ^^\ +/>î Ô7i + • • • + Pn Sq'n)

/ {ç\opi-hq'^dpi-i-.,.-hq'nSpn)dt,

le signe d se rapportant à la variation de toutes les constantes qui figurent

dans Çi, Çt, . . . , Çny Pu Pi, . . . , Pn-

En intégrant par parties les termes de la première intégrale, et remarquant que oqi= 'y il vient

5V =y ^- àq, ^ ~ oV, ^ -. . .- 37/.^ -+- <]\ àPi -+- 7', o>, -^. . . + q'^ Sp,^ dt

les indices o et / placés après les parenthèses indiquant qu'il faut y remplacer successivement le temps par o et /, et faire la différence des deux résultats. Or, d'après les équations différentielles du mouvement, on a évidemment

en sorte que, dH étant constant en vertu du principe des forces vives, l'équation précédente devient

è\^-tSn-hPiSq^-hp^oq,-\-,,.-^Pndqn-p'^dq\'-pldql-,.,-p'^Sq'n'

Si donc on considère V comme une fonction de ^i, <7j, . . . , <7„, q% ql, . . . , 7J et de H, on aura

âV ÔV àV

âqi âqi aqn

àyi__ 0 ^-^ 0 :^- 0 ^__,

dq^, "" ^»' dql ~ ^" • •' (^7J " ^"' (^U ~ •

Ces équations peuvent être considérées comme la solution complète du problème proposé, qui sera, par conséquent, résolu si l'on parvient à déterminer la fonction caractéristique V; V satisfait comme S à une équation différentielle partielle dont une seule intégrale complète suffit pour résoudre le problème. Mais nous renverrons, pour Tétude de cette équation, au Mémoire de Jacobi, qui a traité avec développement le cas d'un système libre; le

cas d'un système à liaisons quelconques ne présentera aucune difficulté aux personnes qui auront étudié les propositions analogues démontrées plus haut et relatives à la fonction S.

Nous ne pouvons indiquer ici aucune application particulière de la théorie qui fait Tobjet de cette Note. On pourra consulter utilement plusieurs Mémoires de M. Liouville, insérés aux tomes XIV et XVI de son Journal el dans les Additions à la Connaissance des Temps pour i85o.

{Note de M. /. Bertrand.)