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Nous avions donc fait une hypothèse impossible en limitant à /jl le nombre des intégrales qui, combinées avec a, donnent un résultat identiquement nul, et il est impossible que /jl soit différent de 2 A — îî. Le théorème énoncé est, par conséquent, démontré.

D'après ce qui précède, une intégrale a étant donnée, on peut compléter la solution du problème par des intégrales j3,, |3,, ..., f3jjt,, qui, combinées avec a, donnent toutes à la formule de Poisson une formule identique. Il no faut pas croire cependant que toutes les intégrales du problème soient pour cela dans le même cas.

Considérons, en effet, Tinlégrale la plus générale •

on aura, d'après la formule du paragraphe II,

(«.r,)=:(«.?.),-jp;=^.

ot, par conséquent, Texpression {(x^ri) ne sera identiquement constante que si y^- est constant lui-même; mais on voit que toutes les intégrales, en

nombre infini, qui résultent de la combinaison de a, Pj, . . ., J3,x 1, donneront im résultat identiquement nul, si on les combine avec a. Celles-là seules, qui contiennent pi, peuvent conduire à des résultats non identiques. Les deux intégrales a et (3, se trouvent, d'après cela, liées Tune à l'autre d'une manière toute spéciale, et je proposerai de les désigner sous le nom à* intégrales conjuguées. Les propriétés de ces intégrales conjuguées formeraient une élude intéressante, dont les développements ne doivent pas trouver place ici. Pour l'application que l'on peut faire du théorème de Poisson à l'intégration des équations différentielles de la Mécanique, je renverrai à un Mémoire publié dans le tome XVII du Journal de M, Llousdlley page SqS.

( Note de M, J. Rertrand. )

i^OTE VIII.

Sur tes oscillations infiniment petites d'un système de corps;

par M. G. Darboux.

Au début de la Section sixième (p. 369), Lagrange étudie d'une manière approfondie les oscillations très petites qu'exécutent les différents corps d'un système lorsqu'on les écarte très peu de leur position d'équilibre. L'emploi des admirables résultats que lui doit la Mécanique analytique permettait seul d'aborder avec succès cette question, une des plus importantes et des plus générales qui se présentent dans la théorie du mouvement. Quelques-uns des résultats que Lagrange énonce ne sont pas suffisamment établis. La solution du problème dépend de la résolution d'une équation algébrique que Lagrange apprend à former; cette équation n'a jamais de racines imaginaires, mais, contrairement aux affirmations de l'illustre géomètre, elle peut très bien avoir des racines égales. C'est ce que nous mettrons en évidence en suivant une méthode de réduction des formes quadratiques qui est due à M. Kronecker.

Considérons deux formes quadratiques homogènes

[ 9 = 6,,xJ-h2^,jX,d:2-i-.

qui dépendent de n variables x,, jr„ . . ., j?„, La formule

011 X désigne une constante qui peut prendre toutes les valeurs possibles, définira ce que nous appellerons, avec M. Kronecker, wn faisceau de formes quadratiques. L'équation algébrique

Xa,i — ô,i /.a,2 — b^t

X«/»i— ^/ïi Xa„j — 6„i ... Xc7

nn

l>nn

kd'* NOTES.

(le .r,, j^„ . . ., .r„ qui ne soient pas toutes nulles. Par suite, la forme "kf — t^^ s*annulant par des valeurs réelles des variables indépendantes qui ne sont pas toutes nulles, ne pourra être une forme dé/înie, quelle que soit d'ailleurs la valeur attribuée à >..

Si Ton veut démontrer ce résultat pour la forme / seulement, on pourra répéter le raisonnement précédent en substituant au sysIèThe (4) les équations suivantes :

On conclut immédiatement de la proposition précédente que, si un faisceau déformes quadratiques contient une seule forme définie, l'équation en }. relative à ce faisceau a nécessairement toutes ses racines réelles.

C'est ce qui aura lieu, en particulier, si, comme nous le supposerons dans la suite, /est une forme définie.

D'après cela, soit A* une racine, nécessairement réelle, de l'équation (2). La fonction quadratique kf — 9 pourra être ramenée à la forme

(5) kf — c^::=^a^ x'^ -h n,y,* -I- . . . -f- apx'^y

.r, , ;r',, ..., x\, désignant des fonctions linéairement indépendantes de .r,, . . . , Xn^ et p étant au plus égal à /i — 1 .

On peut adopter comme nouvelles variables indépendantes x\y x\, . . ., x'^ et les substituer à un nombre égal des variables primitives. Si, par exemple, on peut déduire des formules (|ui expriment x\, ..., j?), les valeurs de x,, .r„ . . ., Xp, on cboisira comme nouvelles variables indépendantes

X j , X^ , • • • » *^pn '^p-¥-t 9 • • • » *^n*

On aura alors

{ X X ... xi

F désignant la partie qui contient les seules variables rj, B celle qui contient les produits des variables x'i par les variables x/c et 4^ celle qui ne renferme que les variables .r^.. Pour réduire encore l'expression de/, nous nous appuierons sur la remarque suivante.

Étant donnée une forme définie de n variables .ri, jr^, . . ., jt^, si l'on annule un certain nombre des variables, .rp+.i, ..., x^ par exemple, il reste une forme définie des variables .r,, j:,, . . ., Xp,

En effet, si cette forme n'était pas définie, elles'annuleraitpour des valeurs des variables .ri, ..., Xp qui ne seraient pas toutes nulles; et l'un de ces

systèmes de valeurs, combiné avec les valeurs nulles des variables suivantes Xp^ij . . ., jCnf annulerait la forme primitive, qui, contrairement à l'hypothèse, ne serait pas définie.

Il résulte de la remarque précédente que, dans Texpression (6) de/, les parties F et ^ sont des formes définies par rapport aux variables dont elles dépendent. On pourra donc réduire ^ à une somme de carrés

tous de même signe, positifs par exemple si la forme / est positive, où les -r'p+if ..., vT^ désignent des fonctions indépendantes de ^p^i, ..., ^« que nous substituerons à ces dernières variables. Alors la partie B prendra la forme

Vp+.xy . . ., P» étant des fonctions linéaires de x\, . . ., x'p; et/pourra s'écrire

Si nous introduisons enfm les nouvelles variables

nous obtiendrons cette expression définitive dey

et, d'après une remarque déjà faite, /i sera encore une forme définie des variables dont elle dépend. L'équation (5) nous permet de calculer 9 et nous donne

9, désignant, pour abréger, la fonction quadratique

^yi (-^i» • • • » ^p) ^1 -^1 • • • o,pX p ,

qui dépend exclusivement des variables x\^ . . ., Xp,

Toutes les hypothèses faites au début s'appliquent maintenant aux deux formes /i et 9,, qui sont analogues à/ et à 9, mais qui dépendent d'un moins grand nombre de variables. On pourra donc appliquer de nouveau à ces deux formes la méthode que nous avons suivie, et continuer de la môme manière

jusqu'à ce que Ton aîl épuisé toutes les variables. Le résultat final est évidemment le suivant :

On peut toujours exprimer les deux formes quadratiques f et ^ de la manière suivante

f^^yh-

les quantités y, étant des fonctions linéaires, réelles et indépendantes des variables primitives, et les constantes ai étant les racines nécessairement réelles, mais égales ou inégales, de l'équation (a).

La proposition précédente joue un rôle capital dans un grand nombre d'applications. Considérons, en particulier, le problème des oscillations infiniment petites; la méthode suivie par Lagrange revient à exprimer toutes les variables dont dépend la position du système en fonction de variables nouvelles

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qui seront indépendantes et qui seront toutes nulles dans la position d'équilibre. D'après cela, si l'on suppose que tous les corps soient très voisins de leur position d'équilibre et que les vitesses imprimées à ces corps soient aussi infiniment petites, toutes les variables précédentes seront très petites, et il en sera de même de leurs dérivées

'' dt ^^ dt

Calculons la demi-force vive T et la fonction des forces V, en les réduisant à leurs termes de moindre dimension. On aura

/ désignant une forme quadratique des dérivées ^',, . . ., $„ qui, par sa nature, sera une forme définie.

Quant à la fonction des forces, si Ton désigne par Vo sa valeur dans la position d'équilibre, on aura

9 désignant une forme quadratique des variables ^i, . . ., S^n-