SECTION DEUXIÈME

FOHMULE GÉNÉRALE DE LA STATIQUE POUR L ÉQUILIBRE D UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES, AVEC LA MANIÈRE DE FAIRE USAGE DE CETTE FORMULE.

1 . La loi générale de l'équilibre dans les machines est que les forces ou puissances soient entre elles réciproquement comme les vitesses des points où elles sont appliquées, estimées suivant la direction de ces puissances.

C'est dans cette loi que consiste ce qu'on appelle communément le principe des vitesses virtuef/es, principe reconnu depuis longtemps pour le principe fondamental de l'équilibre, ainsi que nous l'avons montré dans la Section précédente, et qu'on peut, par conséquent, regauder comme une espèce d'axiome de Mécanique.

Pour réduire ce principe en formule, supposons que des puissances P, Q, R, ..., dirigées suivant des lignes données, se fassent équilibre. Concevons que, des points oii ces puissances sont appliquées, on mené des lignes droites égales à/>, y, r, ..., et placées dans les directions de ces puissances; et désignons, en général, par dp, dq, dr, ... les variations ou différeoces de ces lignes, en tant qu'elles peuvent résulter d'un changement quelconque infiniment petit dans la position des différents corps ou points du système.

Il est clair que ces différences exprimeront les espaces parcourus dans un même instant par les puissances P, Q, R, ..., suivant leurs propres directions, en supposant que ces puissances tendent a augmenter les lignes respectives p, q, r, Les différences dp, dq,

dr, . . . seront ainsi proportionnelles aux vitesses virtuelles des puis-

sances P, Q, R, .. ., et pourront, pour plus de simplicité, être prises pour ces vitesses.

Cela posé, ne considérons d'abord que deux puissances P et Q en équilibre. Par la loi de l'équilibre entre deux puissances, il faudra que les quantités P et Q soient entre elles en raison inverse des différentielles dp, dq; niais il est aisé de concevoir qu'il ne saurait y avoir équilibre entre deux puissances, à moins qu'elles ne soient disposées de manière que, quand l'une d'elles se meut suivant sa propre direction, l'autre ne soit contrainte de se mouvoir dans un sens contraire à la sienne; d'où il s'ensuit que les valeurs des différences dp et dq doivent être de signes contraires : donc les valeurs des forces P et Q étant supposées toutes deux positives, on aura, pour l'équilibre,

■pr^=z—-3. ou bien Vdp-h Qdf/=zo;

c'est la formule générale de l'équilibre de deux puissances.

Considérons maintenant l'équilibre de trois puissances P, Q, R, dont les vitesses virtuelles soient représentées par les différentielles dp, dq, dr. Faisons Q = Q'-f-Q", et supposons, ce qui est permis, que la parlie Q' (*) de la force Q soit telle, qu'on ait

elle fera alors équilibre à la force P, et il faudra, pour l'équilibre entier, que l'autre partie Q" de la même force Q fasse seule équilibre à la troisième force R, ce qui donnera l'équation

laquelle étant jointe à l'équation précédente, on aura, à cause de

( 1 ) Ce raisonnement n'est exact qu'autant que l'on considère un déplacement déterminé

du système. Si Ton ne fait pas cotte restriction, le rapport ^ peut recevoir toutes les

valeurs possibles, et l'équation Pdp-^Q'dq = o no peut être satisfaite pour aucune valeur déterminée de Q'. Il faudrait, par conséquent, pour compléter la démonstration de Lagrange, l'appliquer successivement à tous les déplacements possibles du système, en introduisant, à chaque fois, des liaisons nouvelles qui empêchent les autres déplacements de se produire. Lagrange, du reste, fait lui-môme cette remarque (Sect. U, n® 13). (/. Bertrand.)

Q'-hQ"=Q, celle-ci :

Pc//> + Q(/^4-Re//' = o.

S'il y a une quatrième puissance S dont la vitesse virtuelle soit représentée par la différentielle ds, on fera

Q = Q'4-Q'' et Vdp-hQ'dq—o,

ensuite

R — R'^.R'' et Q'dq-^R'dr^zo.

Alors la partie Q' de la force Q fera seule équilibre à la force P; la partie R' de la force R fera de même équilibre à l'autre partie Q'' de la même force Q, et, pour l'équilibre total des quatre force*-P, Q, R, S, il faudra que la partie restante R" de la force R fasse équilibre à la dernière force S, et que, par conséquent, on ait

Wdr-hSds—o.

Ces trois équations étant jointes ensemble donneront

Pdp-\- Qdq + Rdr 4-Se/5 = o.

Ainsi de suite, quel que soit le nombre des puissances en équilibre.

2. On a donc, en général, pour l'équilibre d'un nombre quelconque de puissances P, Q, R, . . ., dirigées suivant les lignes ^, y, r, . . ., ot appliquées à un système quelconque de corps ou points disposés entre eux d'une manière quelconque, une équation de cette forme

C'est la formule générale de la Statique pour l'équilibre d'un système quelconque de puissances.

Nous nommerons chaque terme de cette formule, tel que Vdp, le moment de la force P, en prenant le mot de moment dans le sens que Galilée lui a donné, c'est-à-dire pour le produit de la force par sa vitesse virtuelle; de sorte que la formule générale de la Statique con-

30 MÉCANIQLE ANALYTIQLE.

sistera clans régalilé à zéro de la somme des moments de toutes les Forces.

Pour faire usage de cette formule, la difficulté se réduira à déterminer, conformément k la nature du système donné, les valeurs des différentielles dp^ dq, dr,

On considérera donc le système dans deux positions différentes et infiniment voisines, et Ton cherchera les expressions les plus générales des différences dont il s'agit, en introduisant dans ces expressions autant de quantités indéterminées qu'il y aura d'éléments arbitraires dans la variation de position du système. On substituera ensuite ces expressions de dp, dq, dr, ... dans l'équation proposée, et il faudra que cette équation ait lieu, indépendamment de toutes les indéterminées, afin que l'équilibre du système subsiste en général et dans tous les sens. On égalera donc séparément à zéro la somme des termes affectés de chacune des mêmes indéterminées, et l'on aura, par ce moyen, autant d'équations particulières qu'il y aura de ces indéterminées; or il n'est pas difficile de se convaincre que leur nombre doit toujours être égal k celui des quantités inconnues dans la position du système; donc on aura, par cette méthode, autant d'équations qu'il en faudra pour déterminer l'état d'équilibre du système.

C'est ainsi qu'en ont usé tous les auteurs qui ont appliqué jusqu'ici le principe des vitesses virtuelles k la solution des problèmes de Statique; mais cette manière d'employer ce principe exige souvent des constructions et des considérations géométriques qui rendent les solutions aussi longues que si on les déduisait des principes ordinaires de la Statique : c'est peut-être la raison qui a empêché qu'on n'ait fait de ce principe tout le cas et l'usage qu'il semble qu'on en aurait dû faire, vu sa simplicité et sa généralité.

3. L'objet de cet Ouvrage étant de réduire la Mécanique k des opérations purement analytiques, la formule que nous venons de trouvei* est très propre k le remplir. 11 ne s'agit que d'exprimer analytiquement, (»l de la manière la plus générale, les valeurs des lignes />, y, r, ...,

prises dans les directions des forces P, Q, R, ..., et l'on aura, par la simple différentiation, les valeurs des vitesses virtuelles dp, dq, dr, ....

Il faudra seulement faire attention que, dans le Calcul différentiel, lorsque plusieurs quantités varient ensemble, on suppose qu'elles augmentent toutes en même temps de leurs différentielles; et, si par la nature de la question quelques-unes d'entre elles doivent diminuer, tandis que les autres augmentent, on donne alors le signe moins aux différentielles de celles qui doivent diminuer.

Les différentielles dp, dq, dr, ..., qui représentent les vitesses virtuelles des forces P, Q, R, ..., devront donc être prises positivement ou négativement, selon que ces forces tendront à augmenter ou à diminuer les lignes /?, y, r, ... qui déterminent leur direction; mais, comme la formule générale de l'équilibre ne cbange pas en changeant les signes de tous ses termes, il sera permis de regarder indifféremment comme positives les différentielles des lignes qui augmentent ou diminuent ensemble, et comme négatives les différentielles de celles qui varient en sens contraire. Ainsi, en regardant les forces comme positives, leurs moments Pdp, Qdq, , . . seront positifs ou négatifs, selon que les vitesses virtuelles dp, dq, ... seront positives ou négatives, et lorsqu'on voudra faire agir les forces en sens contraire, il n'y aura qu'à donner le signe moins aux quantités qui représentent ces forces, ou à changer les signes de leurs moments.

Il résulte de là cette propriété générale de l'équilibre, (|u'un syslèux» quelconque de forces en équilibre y demeure encore si chacune des forces vient à agir en sens contraire, pourvu que la constitution du système ne souffre aucun changement par un changement de direction de toutes les forces.

4. Quelles que soient les forces qui agissent sur un système donné de corps ou de points, on peut toujours les regarder comme tendantes vers des points placés dans les lignes de leur direction.

Nous nommerons ces points les centres des forces, et l'on pourra

prendre pour les lignes p, q, r, ... les distances respectives de ces centres aux points du système auquel les forces P, Q, R, ... sont appliquées. Dans ce cas, il est clair que ces forces tendront a diminuer les lignes/?, y, r, ...; il faudrait, par conséquent^ donner le signe moins à leurs différentielles; mais, en changeant tous les signes, la formule générale sera également

Pdp-hQdq -hR^/-+-.. . = o.

Or les centres des forces peuvent être hors du système, ou bien dans le système et en faire partie, ce qui distingue les forces en extérieures et intérieures.

Dans le premier cas, il est visible que les différences dp, dq^ dr^ ... expriment les variations entières des lignes/?, q, r, ..., dues au changement de situation du système; elles sont, par conséquent, lesdifférentielles complètes des quantités/?, y, r, ..., en y regardant comme variables toutes les quantités relatives à la situation du système, et comme constantes celles qui se rapportent à la position des différents centres des forces.

Dans le second cas, quelques-uns des corps du système seront euxmêmes les centres des forces qui agissent sur d'autres corps du même système, et, à cause de l'égalité entre l'action et la réaction, ces derniers corps seront en même temps les centres des forces qui agissent sur les premiers.

Considérons donc deux corps (*) qui agissent l'un sur l'autre avec une force quelconque P, soit que cette force vienne de l'attraction ou de la répulsion de ces corps, ou d'un ressort placé entre eux, ou d'une autre manière quelconque. Soient/? la distance entre ces deux corps, et dp' la variation de cette distance en tant qu'elle dépend du changement de situation de l'un des corps; il est clair qu'on aura, relativement à ce corps, Vdp' pour le moment virtuel de la force P. De même, si Ton désigne par dp'' la variation de la même distance/?, résultante

(,') Lo mot corps, ici coinino plus haut, désigne un point matériel. (/. Bertrand,)

(lu changement de situation de l'autre corps, on aura, relativement h ce second corps, le moment Vdp" de la même force P; donc le moment total du à cette force sera représenté par V[(lp' -^ dp"*)-, mais il est visible que dp' -^dp" est la différentielle complète de/>, que nous désignerons par c^, puisque la distance/? ne peut varier que parle déplacement des deux corps : donc le moment dont il s'agit sera exprimé simplement par Vdp. On peut étendre ce raisonnement à tant de corps qu'on voudra.

5. Il suit de là que, pour avoir la somme des moments de toutes les forces d'un système donné, soit que ces forces soient extérieures ou intérieures, il n'y aura qu'à considérer en particulier chacune des forces qui agissent sur les différents corps ou points du système, et prendre la somme des produits de ces différentes forces multipliées chacune par la différentielle de la distance respective entre les deux termes de chaque force, c'est-à-dire entre le point sur lequel agit cette force et celui où elle tend, en regardant, dans ces différentielles, comme variables toutes les quantités qui dépendent de la situation du système, et comme constantes celles qui se rapportent aux points ou centres extérieurs, c'est-à-dire en considérant ces points comme fixes, tandis qu'on fait varier la situation du système.

Cette somme, étant égalée à zéro, donnera la formule générale de la Statique.

6. Pour donner à l'expression analytique de cette formule toute la généralité ainsi que la simplicité dont elle est susceptible, on rapportera la position de tous les corps ou points du système donné, ainsi que celle des centres, à des coordonnées rectangles et parallèles à trois axes fixes dans l'espace.

Nous nommerons, en général, .r, y, z les coordonnées des points auxquels les forces sont appliquées, et nous les distinguerons ensuite par un ou plusieurs traits, relativement aux différents points du système.