XI

Nous désignerons de même par a, b, c les coordonnées pour les centres des forces.

Il est visible que les distances/?, y, r, ... entre les points d'application et les centres des forces seront exprimées, en général, par la formulô

dans laquelle les quantités a, 6, c seront constantes ou du moins devront être regardées comme telles, pendant que ,r, y, z varient, dans le cas où elles se rapportent à des points placés hors du système et où les forces sont extérieures; mais, dans le cas où les forces sont intérieures et partent de quelques-uns des corps du système même, ces quantités a, />, c deviendront ^"^ y", :;*', . . . , et seront, par conséquent, variables.

Ayant ainsi les expressions des quantités finies />, y, r, ... en fonctions connues des coordonnées des différents corps du système, il n'y aura plus qu'à différentier à l'ordinaire, en regardant ces coordonnées comme seules variables, pour avoir les valeurs cherchées des différences dp, dq, dt\ ... qui entrent dans la formule générale de l'équilibre.

7. Mais, quoiqu'on puisse toujours regarder les forces P, Q, R, ... comme tendantes à des centres donnés, cependant, comme la considération de ces centres est étrangère a la question, dans laquelle on ne considère ordinairement comme données que la quantité et la direction de chaque force, voici des manières plus générales d'exprimer les différences dp, dq, di\ ....

Et d'abord, en supposant, ce qui est toujours permis, que la force P tend à un centre fixe, on a

et de là, en différentiant sans que a, h, c varient, si la force P est extérieure,

dp =: dx -H • dy H dz.

PKEMIÈIIE PAKTIE. - SECTION II. 3o

Or il est facile de voir que > ? sont les cosinus des

angles que la ligne p fait avec les lignes x — a, y — h, z — c. I)on(î, en général, si Ton nomme a, |ï, y les angles que la direction de la forop P fait avec les axes des x,y, z, ou avec des parallèles k ces axes, on aura

=cosa, =:cosp, — cosy;

par conséquent,

dp =z cos a da- -h cos j3 dy -h cosy dz,

et ainsi des autres différences dq, dr,

Mais, si la même force P, étant intérieure, agit sur les deux points qui répondent aux coordonnées ^, v, z et ^', v', ^' pour les rapprocher ou éloigner l'un de l'autre, on aura alors, dans l'expression de/?,

et, par conséquent,

dp =: cosix{dj[: — dx') -h cosj3(c(v — dv') -H Q,o^y{dz — dz').

On remarquera, par rapport aux angles a, fi^ y, premièrement, que

cos'aH-cos*p -hcos-y — i,

ce qui est évident par les formules précédentes; en second lieu que, si l'on nomme e l'angle que la projection de la ligne /^ sur le plan destet y fait avec l'axe des x, on aura

=1 COS£, '^ =sin£,

en supposant

donc, mettant pour x — a, y — b leurs valeurs />cosa, /jcos^, on aura aussi

T,—-p v^cos' a -H cos* ? =^ /> \/i — cos- 7 =: p sin y ;

donc

= smyeosE, i^isiny sins,

et, par conséquent,

cosa = siny cosê, cos|3 ^= siny sine.

8. Je considère ensuite que, puisque dp représente le petit espace (|ue le corps ou point auquel est appliquée la force P peut parcourir suivant la direction de cette force, si l'on fait dp — o, ce point ne pourra plus se mouvoir que dans des directions perpendiculaires à celle de la ménoe force. Donc dp = o sera Téquation différentielle d'une surface à laquelle la direction de la force P sera perpendiculaire.

Cette surface sera une spliere si les quantités a, h, c sont constantes; mais elle pourra être une surface quelconque, en supposant ces quantités variables.

Supposons maintenant, en général, que la force P agisse perpendiculairement à une surface représentée par l'équation

Pour faire coïncider cette équation avec l'équation

{x — a) dx -\- {y — b) dy -^ {z — c) r/3 = o

<[ui résulte de la supposition dp = o, il n'y aura qu'à faire

re qui donne

.r — rt= jjT (- — c), y — b—^ i^ — c);

substituant ces valeurs dans l'expression de dp, on aura

, A ^.r -f- B dy 4- C dz dp—~