V'AM-B^-M

Ainsi, ayant l'équation différentielle de la surface à laquelle la force P est perpendiculaire, on a'ura l'expression de sa vitesse virtuelle dp.

On peut supposer

A djc -f- B f // 4- C r/^ = du^

a étant une fonction de x^ y^ z\ car on sait qu'une équation difîérentielie du premier ordre à trois variables ne peut représenter uno surface, a moins qu'elle ne soit inlégrable ou ne le devienne par un multiplicateur. On aura ainsi, par l'algorithme des différences partielles,

. du „ au ., du

ox ôy ôz

et l'expression de dp deviendra

du

dp=

Donc le moment d'une force P perpendiculaire à une surface donnée par l'équation du = o sera

Pdu

v/(iHf)MSJ

On déterminera de la même manière les valeurs des autres dillérences dq, dr, ..., d'après les équations différentielles des surfaces auxquelles les directions des forces Q, R, . .. sont perpendiculaires.

i). Mais, sans considérer la surface à laquelle une force est perpendiculaire, comme on peut représenter une quantité quelconque par une ligne, on pourra regarder /> comme une fonction quelconque des coordonnées, et la force P comme tendante à faire varier la valeur de p. Alors l?dp sera également le moment virtuel de la force P; et de même Qdq, Rdr, . .. seront les moments des forces Q, R, .. ., en les regardant comme tendantes à faire varier les valeurs des quantités y, r, . . ., supposées des fonctions quelconques des mêmes coordonnées. Cetle manière d'envisager les moments donne à la formule générale de l'é-

([uilihro une élendue beaucoui) plus grande et la rend susceptible * (Tiin plus grand nombre d'applications ( ' ).

10. Les valeurs des différences dp, dq, dr, ... étant connues en fonction des différentielles des coordonnées des différents corps du système, il n\ aura qu'à les substituer dans la formule générale

P dp -h Q df/ "h R^//- -h . . . ^ o,

et vérifier ensuite cette équation d'une manière indépendante des différentielles qu'elle renfermera.

Donc, si le système est entièrement libre, en sorte qu'il n'y ait aucune relation donnée entre les coordonnées des différents corps ni, par conséquent, entre leurs différentielles, il faudra satisfaire à l'équation précédente indépendamment de ces différentielles et, pour cet effet, égaler séparément à zéro la somme de tous les termes qui se trouveront multipliés par chacune d'elles; ce qui donnera autant d'é- <|uations qu'il y aura de coordonnées variables et, par conséquent, autant qu'il en faudra pour déterminer toutes ces variables et connaître par leur moyen la position de tout le système dans l'état d'équilibre.

Mais, si la nature du système est telle que les corps soient assujettis dans leurs mouvements à des conditions particulières, il faudra commencer par exprimer ces conditions par des équations analytiques que nous nommerons équations de condition ; ce qui est toujours facile. Par' exemple, si quelques-uns des corps étaient assujettis à se mouvoir sur des lignes ou des surfaces données, on aurait, entre les coordonnées de ces corps, les équations mêmes des lignes ou des surfaces données; si deux corps étaient tellement joints ensemble qu'ils dussent tou-

I M En rapprochant cet arliclo 9 des articles 6 et 18 (Sect. IV), on est conduit à rcntendre de la manière suivante : Lorsque des forces auront pour la somme de leurs moments virtuels un produit de la forme Vdp^ p étant une fonction quelconque des coordonnées, on dira que le système des forces proposées équivaut à une force P, qui tend à faire varier la fonction p, d'est là une locution toute conventionnelle. Le moi force s*y trouve complètement détourné do sa sijfnification habituelle. Celle locution, du reste, n'a pas été adoptée par les géomètres.

(/. Bertreuid.)

jours se trouver à une même distance k l'un de l'autre, on aurait évidemment l'équation

et ainsi du reste.

Ayant trouvé les équations de condition, il faudra, par leur moyen, éliminer autant de dilTérentielles qu'on pourra dans les expressions dp^ dq^ dr, . . ., en sorte que les différentielles restantes soient absolument indépendantes les unes dos autres et n'expriment plus que ce qu'il y a d'arbitraire dans le cbangement de situation du système. Alors, comme la formule générale de la Statique doit avoir lieu quel que puisse être ce cbangement, il faudra y égaler séparément à zéro la somme de tous les termes qui se trouveront affectés de cbacune des différentielles indéterminées; d'où il viendra autant d'équations particulières qu'il y aura de ces mêmes différentielles* et ces équations, étant jointes aux équations de condition données, renfermeront toutes les conditions nécessaires pour la détermination de l'état d'équilibre du système; car il est aisé de concevoir que toutes ces équations ensemble seront toujours en même nombre que les différentes variables qui servent de coordonnées à tous les corps du système, et suffiront, par conséquent, toujours pour déterminer cbacune de ces variables.

il. Au reste, si nous avons toujours déterminé les lieux des corps par des coordonnées rectangles, c'est que cette manière a l'avantage de la simplicité et de la facilité du calcul; mais ce n'est pas qu'on ne puisse en employer d'autres dans l'usage de la méthode précédente, car il est clair que rien n'oblige dans cette méthode a se servir de coordonnées rectangles plutôt que d'autres lignes ou quantités relatives aux lieux des corps. Ainsi, au lieu des deux coordonnées a:, j, on pourra employer, lorsque les circonstances paraîtront l'exiger, un

rayon vecteur p = \]x^ -f- y^ et un angle ç dont la tangente soit -> ce qui donnera

a:=::pcos9, / = P sincp,

en laissant subsister la troisième coordonnée z: ou bien on emploiera un rayon vecteur p = ya'^ -+- J^ -+- ^^ ^^'<^c deux angles 9 et ^j;, tels que

lango = •— y langvp =

ce qui donnera

.r =z p cos'l» COS9, j' = p cos'^y sine», ^=:psin'|',

ou d'autres angles ou lignes quelconques.

Remarquons encore que, comme il n'y a proprement que la considération des différences clx, dy, dz qui entre dans la méthode dont il s'agit, il est permis de placer l'origine des coordonnées oii Ton vou- <lra; ce qui peut servir à simplifier l'expression de ces différences.

Ainsi, en substituant pcosç et psiny au lieu de x et y, on aura, en

j^énéral,

dx = cos 9 ^p — p si n 9 r/9,

dy =: sin 9 r/p -f- p cos 9 ^9 ;

mais, en faisant 9 = 0, ce qui revient à placer l'origine de l'angle 9 dans le rayon p, on aura plus simplement dœ=zdp et dy=pdrf. Et ainsi des autres cas semblables.

12. En général, quel que soit le système de puissances dont on cherche l'équilibre et de quelque manière que les points où elles sont appliquées soient liés entre eux, on peut toujours réduire les variables qui déterminent la position de ces points dans l'espace à un petit nombre de variables indépendantes en éliminant, au moyen des équations de condition données par la nature du système, autant de variables qu'il y a de conditions, c'est-à-dire en exprimant toutes les variables, qui sont au nombre de trois pour chaque point, par un petit nombre d'entre elles ou par d'autres variables quelconques qui, n'étant plus assujetties a aucune condition, seront indépendantes et indéterminées. Il faudra alors que l'équilibre ait lieu par rapporta chacune