XI. G

dont le nombre sera égal à celui des variables E, i, 9, . . . , et qui serviront, par conséquent, à déterminer toutes ces variables.

Chacune de ces équations représente, comme Ton voil, un équilibre particulier dans lequel les vitesses virtuelles ont entre elles des rapports déterminés; et c'est de la réunion de tous ces équilibres partiels que se forme l'équilibre général du système.

On peut môme remarquer que c'est proprement a ces équilibres partiels et déterminés que s'applique, sans exception, le raisonnement de l'article 1 de cette Section; et, comme dans le cas de deux puissances on peut toujours réduire leur équilibre à celui d'un levier droit dont les bras soient en raison des vitesses virtuelles, on peut, par ce moyen, faire dépendre le principe général des vitesses virtuelles du seul principe du levier.

1 î. Lorsque la quantité P dp -hQdq -hRdr -h . .. ne sera pas nulle par rapport a toutes les variables indépendantes, les forces P, Q, R, ... ne se feront pas équilibre, et les corps sollicités par ces forces prendront des mouvements dépendant des mêmes forces et de leur action mutuelle.

Supposons que d'autres forces représentées par P', Q', R', ... et dirigées suivant les lignes />', q\ r\ ..., agissant sur les corps du même système, leur impriment aussi les mêmes mouvements; ces forces seront équivalentes aux premières et pourront, dans tous les cas, être substituées à leur place, puisque leur effet est supposé exactement le même. Or, si ces mêmes forces P', Q', R', . . . , en conservant leurs valeurs, changeaient leurs directions et en prenaient de directement opposées, il est clair qu'elles imprimeraient aussi aux mêmes corps des mouvements égaux, mais directement contraires. Par conséquent, si, dans ce nouvel état, elles agissaient sur les corps du même système en même temps que les forces P, Q, R, . . ., ces corps demeureraient en repos, les mouvements imprimés dans un sens étant détruits par des mouvements égaux et contraires. Il y aurait donc nécessairement équilibre entre toutes ces forces, ce qui donnerait l'équation

(art. 2)

V dp -\-Qdq-\-\\dr -¥-,,. --P' dp'-- Q' dg'-- R' dr'—, . . = o;

d'où Ton tire

P c//> 4- Q ^y 4- R (Y/- -h. . .= P' dp'-\-Q' df/-hlV dr' -^ , . . .

C'est la condition nécessaire pour que les forces P', Q', R', ... agissant suivant les lignes />', q\ r\ ... soient équivalentes aux forces P, Q, R, ... agissant suivant les lignes p, q, r, ... ; et, comme deux systèmes de forces ne peuvent être entièrement équivalents (*) que d'une seule manière, puisque le mouvement d'un corps est toujours unique et déterminé, il s'ensuit que, si deux systèmes de forces P, Q, R, . . . , P» Q', R» .-. sont tels que l'on ait, généralement et par rapport à

toutes les variables indépendantes, l'équation

V dp -\- q dq -^-'^dr -{- . . ,-V' dp' ^ Q' dq' -\-W' dr' -\- . , ,.

ces deux systèmes seront équivalents et pourront, dans tous les cas, être substitués l'un à l'autre.

15. 11 résulte de la ce théorème important de Statique, que deux systèmes de forces sont équivalents et peuvent être substitués l'un à l'autre, dans un même système de corps liés entre eux d'une manière quelconque, lorsque les sommes des moments des forces sont toujours égales dans les deux systèmes; et, réciproquement, lorsque la somme des moments des forces d'un système est toujours égale à la somme des moments des forces d'un autre système, ces deux systèmes de forces sont équivalents et peuvent être substitués l'un à l'autre dans le mêm<' système de corps.

Si l'on fait dépendre les lignes/;, y, r, .. . des lignes ^, ^, 9, ..., la formule

P df/> H- Q c?<7 H- R e//' H- . . .

(*) C'esl-à-diro que doux systèmes qui sont équivalents, en ce sens qu'ils font équilibre à un môme troisième, peuvent être, par cela môme, considérés comme complètement équivalents. (/. Bertrand,)

V» MÉGANIQUE ANALYTIQUE.

se transforme, comme dans l'article 13, en celle-ci,

Zdl-hWd\i-h<tKi^-h...,

dans laquelle

-— D^ nË^ n ÛL

(79 ôo c/9

On a donc également

Ainsi le système des forces P, Q, R, . . . dirigées suivant les lignes/;, y, r, ... est équivalent au système des forces E, W, $, ... agissant suivant les lignes ^, ^j;, 9, ... et peut être changé en celui-ci, dans le même système de corps tirés par ces forces (* ).

(1) II faul, pour qu'il en soil ainsi, quo les lignes €, ^^ ?, ... soient de telle nature, que leurs différentielles d^, d-^, dy^ ... expriment les vitesses virtuelles des points d'application des forces Z, M*, *, . . ., c'est-à-dire que chacune d'elles soit la projection orthogonale du déplacement du point sur la direclion de la force, f'oir à ce sujet une Note de M. Poinsot, insérée dans le Journal de M. Liou ville (i™ série, t. XI, p. 2}i), et que nous reproduisons à la fin du Volume. (/. Bertrand,)