DÉDUITES DE LA F0R3IULE PRÉCÉDENTE

1. Considérons un système ou assemblage quelconque de corps ou points qui, étant tirés par des puissances quelconques, se fassent mutuellement équilibre. Si dans un instant l'action de ces puissances cessait d'être détruite, le système commencerait à se mouvoir et, quel que pût être, son mouvement, on pourrait toujours le concevoir comme composé : i^ d'un mouvement de translation commun à tous les corps; 2° d'un mouvement de rotation autour d'un point quelconque; 3*^ des mouvements relatifs des corps entre eux, par lesquels ils cliangeraient leur position et leurs distances mutuelles. Il faut donc, pour l'équilibre, que les corps ne puissent prendre aucun de ces différents mouvements. Or il est clair que les mouvements relatifs dépendent de la manière dont les corps sont disposés les uns par rapport aux autres; par conséquent, les conditions nécessaires pour empêcher ces mouvements doivent être particulières à chaque système. Mais les mouvements de translation et de rotation peuvent être indépendants de la forme du système et s'exécuter sans que la disposition et la liaison mutuelle des corps en soient dérangées.

Ainsi la considération de ces deux espèces de mouvements doit fournir des conditions ou propriétés générales de l'équilibre. C'est ce que nous allons examiner.

§ I . — Propriétés de r équilibre d'un système libre relatis^es au mouvement

de translation.

2. Soil un nombre quelconque de corps regardés comme des points et disposés ou liés entre eux comme on voudra, lesquels soient tirés par les puissances P, P', P", ... suivant les directions des lignes />,/;',

//, On aura (Section précédente), pour l'équilibre de ces corps, la

formule générale

P Cij? -i- P' dp'-^ V"dp''-\-..,z=zO.

En rapportant à des coordonnées rectangles les différents points tirés par les forces P, P', ..., ainsi que les centres de ces forces, comme dans Tarticle 6 de la Section précédente, on aura, pour les forces extérieures,

Mais, si les corps qui répondent, par exemple, aux coordonnées a:-, j, z et aux .r, y, :;, agissent l'un sur l'autre par une force mutuelle que nous désignerons par P, en nommant/^ la distance rectiligne de ces deux corps, on aurait

et il faudrait ajouter à la formule générale le terme Pap, provenant de la force intérieure P; et ainsi de suite, si plusieurs forces agissent sur les mêmes corps.

S. Faisons, ce qui est permis,

.C^.X-hCy r— /-hTi, Zz=zz-h

et supposons qu'on ait substitué ces valeurs dans la formule précédente.

Puisque x, y, z sont les coordonnées absolues du corps tiré par la force P, il est clair que l, r^, ^, l\ r/, ^', ... ne seront autre chose que les coordonnées relatives des autres corps par rapport à celui-ci, pris pour leur origine commune; de sorte que la position mutuelle des corps ne dépendra que de ces dernières coordonnées, et nullement des premières. Donc, si Ton suppose le système entièrement libre, c'està-dire les corps simplement liés entre eux d'une manière quelconque, mais sans qu'ils soient retenus ou empêchés par des appuis fixes, ou des obstacles extérieurs quelconques, il est aisé de concevoir que les conditions résultantes de la nature dû système ne pourront regarder que les quantités ^, r), C l\ ri', Ct . . ., et nullement les quantités x, y, z, dont les différentielles demeureront, par conséquent, indépendantes et indéterminées.

Ainsi, après les substitutions dont il s'agit, il faudra égaler séparément à zéro chacun des membres affectés de dr, dy, dz, ce qui donnera ces trois équations (art. 2) :

-h . . . -h P ~- 4- ... in o,