hP^ -\-., ,— o, ay

On voit d'abord que les variables x, y, z n'entreront point dans l'expression de p; ainsi l'on aura

f)p dp dp

ojr Oy ôz

ce qui fera disparaître les termes qui contiendront les forces inlé rieures P,

dp' àcV

dp' dv

ôv

dp' à y

dp' dz

On voit ensuite que les valeurs de

à£ dp^ àp^ d^ djy^ d£ dx dy^ dz dx dv dz

seront les mêmes que celles de

dp^ dr^ dp^ dp^ dp^ d£^ dx'' df' dz'' dx"' dy"' dz''

Or, si Ton nomme a, p, y les angles que la ligne/? fait avec les axes des X, y, z, ou avec des parallèles à ces axes, ol\ p', •/ les angles que la ligne/?' fait avec les mêmes axes, . . ., on a, comme on Ta vu plus haut (art. 7, Section précédente),

dp dp o àp

-~-=cosa, -— r=cos3, 3^=cosy; . dx dv dz '

et, de même,

dp' , dp' f., dp' ,

^=:cosa', ^p=cos!3', ^=cos-/,

Donc les trois équations ci-dessus deviendront

Pcosa -t-P'cosa'-h P^cosa^-h. . . = o, P cos;3 4- P' cos;3' -h P'' cos;5'' 4- . . . = o, Pcosy -hP'cosy' -hP^cos/ -h. . . = o,

lesquelles devront nécessairement avoir lieu dans l'équilibre d'un système libre. Ce sont les équations nécessaires pour empêcher le mouvement de translation.

1. Si les puissances P, P', P", . . . étaient parallèles, on aurail et les trois équations précédentes se réduiraient à celle-ci

laquelle montre que la somme des forces parallèles doit être nulle.

En général, il est facile de concevoir que, P représentant l'action totale (le la puissance P suivant sa propre direction, Pcosa représentera son action relative, estimée suivant la direction de l'axe des x, lequel fait l'angle a avec la direction de la force P; de même, Pcos^ et Pcosy seront les actions relatives de la même force, estimées suivant la direction des axes des y et des z, et ainsi des autres forces P' P'

De là résulte ce théorème de Statique, que la somme des puissances estimées suivant la direction de trois cures perpendiculaires entre eux doit être nulle par rapport à chacun de ces axeSy dans V équilibre d'un système libre.

>5 II. — Propriétés de l'équilibre relatives au mouvement de rotation.

5. Prenons maintenant, ce qui est permis, à la place des coordonnées X, j\ x\y\ ^'\y\ • • •» ^'» J» • • •» les rayons vecteurs p, p', p", . . ., p, ..., avec les angles 9, cp', 9", ..., 9, ..., que ces rayons font avec l'axe deso?; on aura, comme l'on sait,

et, de même,

a''=:p'cos9', j'z=:p'sin9', ..., j" ==00059, r==psiii9, ....

Faisons ces substitutions dans la formule générale de l'article 2 et supposons

9^=19 -H (7, 9" = 9 -Ho-', ..., 9 =19 -ho-, ...;

il est visible que c, a\ ..., t, ... seront les angles que les rayons p', p", ..., p, ... forment avec le rayon p; par conséquent, les distances des corps, tant entre eux que par rapport au plan des xy et au point qui est pris pour l'origine des coordonnées, dépendront uniquement des quantités p, p', p"', . . ., p, . . ., '7, c', . . ., c, . . ., 3, z\ z'\ . . ., -s, — Donc, si le système a la liberté de tourner autour de ce point paral- XI. 7

IMeinent au plan desxy, c'est-à-dire autour de l'axe des z qui est perpendiculaire à ce plan, Tangle 9 sera indépendant des conditions du système, et sa différence rfrp demeurera, par conséquent, arbitraire. D'où il suit que les termes affectés de cl^ dans l'équation générale de l'équilibre devront être ensemble égaux à zéro.

Il est facile de voir que tous ces termes seront représentés par Nr/o, on faisant

t/9 acp (/9 (/9

de sorte que l'on aura pour l'équilibre l'équation

En substituant les valeurs de .r, j, x'^ y\ ..., ^, j, ... dans les expressions de/;, //, ..,/>, ... (art. 2), et faisant de plus

^ — UcosA, i^illsinA, rt'=:R'cosA', Z>'z= R'sinB', ..., on aura

p ■=isjp^— 2pR cos(9 — A) 4- U*-t- (w — c)*,

//zny/p'^— 2p'Hc0S(9'-A')-hlV-4-(w' — ÔS

p =1 v/p-— 2pp cos(9 — 9) + p*-i- (^— 5)'

où il faudra encore mettre 9 -h '7, 9 -h <r', . . ., 9 -f- t, ... à la place de

Par ces dernières substitutions, on voit d'abord que les quantités/?, . .. ne contiendront plus l'angle y; ainsi l'on aura -^ = o, .. . :

par conséquent, les forces intérieures P, ... disparaîtront de l'équation,

et il n'y restera que les forces extérieures P, P',

Ensuite on aura

dp pRsin(9-A) (}/>' p'R' sin(o'— A')

et la quantité N deviendra

.r PRosin(9-A) P^R>^sin(9^- .V)

Comme on peut prendre les centres des forces P, P', ... partout où Ton veut dans la direction de ces forces, on peut supposer que ces forces soient représentées par les lignes mêmes /;, //, . . ., qui sont les distances rectilignes de leurs points d'application aux centres respectifs. De cette manière, on aura plus simplement

N = Rpsin(9 — A) -+- R'p' sin(9'— A') h-

Dans cette formule, les rayons R et p, qui partent de l'origine des coordonnées et qui renferment l'angle 9 — A, sont les côtés d'un triangle qui a pour base la projection de la ligne p sur le plan des .rv; par conséquent, la quantité Rpsin(9 — A) exprime le double de Taire de ce triangle, et ainsi des autres quantités semblables.

Or, ayant nommé ci-dessus (art. 3) y, y, . . . les angles que les directions des forces P, P', ... font avec Taxe des :; ou avec des parallèles à cet axe, il est clair que les compléments de ces angles seront les inclinaisons des lignes /), p\ ... au plan des xy : donc /^siny, /?'siny', ... seront les projections de ces lignes; et, si de Torigine des coordonnées on abaisse sur ces projections des perpendiculaires que nous nommerons n, R', . . ., on aura

Rp sin(9 — A) — H/? siny, R>' sin(9'— A') = \ï p' siny', et la quantité N se réduira à la forme

N=nPsin/4-n'P'sin/4-n''P'sin/

en remettant P, P', P', ... à la place dey>, p\p",