L'équation N = o donnera ainsi le théorème suivant
Dans r équilibre d'un système qui a la liberté de tourner autour d'un axe et qui est composé de corps qui agissent les uns sur les autres dune
maûière quelconque et sont en même temps tirés par des forces extérieures, la somme de cesfotves, estimées parallèlement à un plan perpendiculaire à Vaxe et multipliées chacune par la perpendiculaire menée de l'axe à la direction de la foixe projetée sur le même plan, doit être nulle, en donnant des signes contraiies aux fofves dont les directions tendent à faire tourner le système dans des sens contraires.
On énonce ordinairement ce théorème d'une manière plus simple, en disant que les moments des forces^ par rapport à un axe, doii^ent se détruire pour qu il y ait équilibre autour de cet axe. Car on entend aujourd'hui, en Mécanique, par moment d'une force ou puissance par rapport a une ligne, le produit de cette force estimée parallèlement à un plan perpendiculaire à cette ligne, et multipliée par son bras de levier, qui est la perpendiculaire menée de cette ligne sur la direction de la puissance rapportée au même plan. En effet, c'est uniquement de ce moment que dépend l'action de la force pour faire tourner le système autour de l'axe, puisque, si on la décompose en deux, l'une parallèle à l'axe, l'autre dans un plan perpendiculaire a l'axe, il n'y aura évidemment que cette dernière qui puisse produire une rotation. Nous donnerons, en conséquence, a ce moment le nom particulier de moment relatif à un axe de rotation.
7. FjC coefficient N du terme N rfç (art. 5) exprime, comme on le voit, la somme des moments de toutes les forces du svstème relativement a l'axe de la rotation instantanée drf. Ainsi, pour trouver la somme de ces moments relatifs à un axe quelconque, il n'y aura qu'à transformer la formule générale
qui exprime la somme des moments virtuels de toutes les forces, en y introduisant, pour une des variables indépendantes, l'angle de rotation autour de l'axe donné; le coefficient de la différentielle de cet angle sera la somme de tous les moments relatifs à cet axe, ce qui peut être utile dans plusieurs occasions.
8. Lorsque le système peut tourner en tout sens autour du point que nous prenons pour l'origine des coordonnées, il faut considérer à la fois les rotations instantanées autour des trois axes des œ, des y, des :r, et l'on aura, par rapport à chacun de ces axes, une équation semblable à celle que nous venons de trouver et qui renferme la propriété des moments; mais il ne sera pas inutile de résoudre le même problème par une analyse plus simple et plus générale.
Pour cela soit, comme dans l'article 5,
.rirrpcoso, r=ipsin9, .r'=p'coso', r'irr p' sincp', ...;
en faisant varier simplement les angles ç, 9', ..., de la même différence fl^<p, on aura
dx iz= — y d^y dy ^:rL X rfcp, dx' z= — )•' (/(p, dy^ =1 x' d(^y ....
Ce sont les variations de x, y, x\y\ . . ., dues a la rotation élémentaire d^ du système autour de Taxe des c.
On aura de même les variations de y, z, y' z\ . . ., dues à une rotation élémentaire d^ autour de Taxe des x, en changeant simplement dans les formules précédentes x, y, x\ y', ... en y, -s, y', z\ .. ., et rfç en rf^, ce qui donnera
dy z= — 3 d]^j dz = y d]^y dy' ^z— z' d]^ dz' ■= y' ^vj;,
En changeant, dans ces dernières formules, y, ^, y\ 5', . . . respectivement en 5, .r, z\ x\ . .., et dl en r/o>, on aura les variations provenant de la rotation élémentaire rfo> autour de l'axe des y, lesquell(!s seront
dzziz — X d(»}, dx = z d(s)y dz' = — x' ^o), dx' —: z' c^w, ....
Si donc on suppose que les trois rotations aient lieu k la fois ('), les
(*) En réalilé, les Irois rotations no peuvent avoir lieu ù la fois, mais successivement. 11 n'y a cependant aucun inconvénient à les considérer, dans le calcul, comme simultanées, car chacune d'elles, changeant infiniment peu la position du corps, ne peut exercer, sur les déplacements que les autres produisent, qu'une influence infiniment petite, et ne modifie le mouvement dû à ces autres rotations que d'une quantité infiniment petite par rapport ù sa propre valeur. (/. Bertrand.)
oV MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
variations totales des coordonnées Xy y, c, x\ y\ z\ ... seront, d'après les principes du Calcul différentiel, égales aux sommes des variations partielles ducs à chacune de ces rotations, de sorte qu'on aura alors ces expressions complètes
dx =5 6^0) — y d'^y dv ■=. x do — z r/j>, dz = y d}^ — x d^jiy dx' = z' d(i) — /' ^9, dr' =z x' do — z' d'\f, dz' = y' d^f — x' c^w,
En substituant ces valeurs dans la formule générale de l'équilibre (art. 2), on aura les termes dus seulement aux rotations rfi, rf<o, r/ç autour des trois axes des a% des j, des z, lesquels devront être séparément égaux à zéro lorsque le système a la liberté de tourner en tout sens autour du point qui fait l'origine des coordonnées.
Or on a, parla différentiation,
, (.r — a) dx -^ ( y — ù) dv 4- ( c — c) dz
dp =: -^ '-^ ^ ,
, , (j^' -^ a') dx' -h (y' -^ b') dv' ^ (z' -- c') dz' d/y — -1^ — 1— ^ — ,
,- {x-- x) (dx — dx) -+-(v— y) (dy — dy) -h(z — z) {dz — dz) dp — - — 1 ' •— ^^ —
. On aura donc, par les substitutions dont il s'agit,
. (a y — bx)d^ -\- {bz — cy) d^ -^ {ex — az)drs)
rp ,
dy- i^'y—^'^' ) ^?-^( ^' - c'y' ) d'\, -+- ( c' x' -a'z') dr,)
Et Ton trouvera dp = o, dp =z o, . . ., en mettant pour dx\ rfy, dz, . . . les valeurs analogues zdoy — yd^f, œdrf — cr/i, ydl — *rr/a>, . . .; d'où Ton peut tout de suite conclure que les termes ^dp, V' dp\ ... de la
même équation, qui résulteraient des forces intérieures du système, disparaîtront par ces substitutions.
On aura aussi ^^p = o si Ton fait a = o, i = o, c = o, c'est-à-dire si le centre des forces P tombe dans l'origine des coordonnées, ce qui fera aussi disparaître cette force.
9. Faisant donc abstraction des forces intérieures, s'il y en a, ainsi que de toute force qui serait dirigée vers le centre des coordonnées, on aura, en général, pour toutes les forces P, P', . . ., dirigées suivant les lignes />,/?', . . ., l'équation
en faisant
Ld^ -hM d(*i 4- N d^ = o,
^ X'ibz — cY) V'{b' z' — c'y') P P
V{cx — az) V'(c'x'—a'z') ^
P{ay — bx) P'(a'y' — b'œ') P P
et l'on aura, pour tout système libre de tourner en tout sens autour de l'origine des coordonnées, les trois équations
lesquelles répondent à celle de l'article 5, rapportée aux trois axes des coordonnées.
Car, en employant, à la place des coordonnées a, i, c, à, ... des centres de forces, les angles a, p, y, a', ... que les directions de ces forces font avec les trois axes des coordonnées, et faisant par conséquent, comme dans l'article 7 de la Section précédente,
a^^x — pcoscc, br=y — pcos^, c=^z — />cosy,
et ainsi des autres quantités semblables, on a
L =:P(7C0S"/ — z cosj3) -i- P' (y' cosy' — z' cos{3') -h. . . ,
M=^P{z cosa — ^cosy) -h P' (z' cosoc' — x' cosy')
N =:: P(a7COs|3— / cosa) -\-P' {x' cos^' — y cosol') -\-
56 MÉCANlQtlE ANALYTIQUE.
Or, Pcosa, Pcos^, Pcosy étant les valeurs de la force P, estimée suivant les directions des trois axes des Xy y, c, on voit tout de suite que o-Pcosp — jPcosa... est le moment relatif à Taxe des js, le terme rPcos3c ayant le signe négatif à cause que la force Pcosa tend à faire tourner le système en sens contraire de la force P cosp. De même, ^Pcosa — a^Pcosy, ... sera le moment relatif à Taxe des v, et yPcosy — ^P cos^, ... le moment relatif à Taxe des x; et ainsi des autres expressions semblables. De sorte que les trois équations L == o, M = o, N = o expriment que la somme de ces moments est nulle par rapport a chacun des trois axes.
On voit aussi que les coefficients L, M, N des rotations instantanées di^, doi, r/f ne sont autre chose que les sommes des moments relatifs aux axes des rotations instantanées rf]/, r/a>, r/ç (art. 7).
10. On pourrait douter si les rotations autour des trois axes des coordonnées suffisent pour représenter tous les petits mouvements qu'un système de points peut avoir autour d'un point fixe, sans que leur disposition mutuelle en soit altérée. Pour lever ce doute, nous allons chercher tous ces mouvements d'une manière plus directe.
Par le point donné, qui sert d'origine aux coordonnées x, y, z^ et par un autre point du système, imaginons une ligne droite, et par cette ligne et par un troisième point du système, un plan; rapportons à cette ligne et à ce plan les autres points du système, par de nouvelles coordonnées rectangles ^', ^', c' ayant la même origine que les premières Xj y, z. Il est clair que ces nouvelles coordonnées ne dépendront que de la situation mutuelle des points du système, et seront, par conséquent, constantes lorsque le système change de place, tandis que les premières varient seules par ce changement.
La théorie connue de la transformation des coordonnées donne d'abord ces relations, entre les trois premières et les trois dernières,
y 1= a'.r' -f- ^'y' -h y' Jz\
Les neuf coefficients a, p, y, a', ... ne dépendent que de la position respective des axes des deux systèmes de coordonnées et doivent être tels que les coordonnées ^, j^, z se rapportent aux mêmes points que les coordonnées ^', y, 5' ot que, par conséquent, les deux expressions
œ^ -\- y^->r Z' et x'^ -\- y'- -h z'^
soient identiques; ce qui donne ces six équations de condition,
a-4- a'*4- «"'=: I, a^ -h ol' P' -\- ol' ^" =zo. p^-h ?''+ ;5''*= I, ay -h OL'y' -h a"/" =■ o, / -h /* -h /'^= I, ?•/ 4- 3'/ 4- ?>"/ = 0;
de sorte que, parmi les neuf quantités a, p, y, a', ..., il en restera trois d'indéterminées.
Lorsque les axes des x', y\ z' coïncident avec ceux des a-, v, :î, on a
et, par conséquent,
Ainsi, en différentiant les formules précédentes et y faisant ensuite ces substitutions, on aura le résultat d'un déplacement quelconque infiniment petit du système dans l'espace autour du point donné.
On aura d'abord, en différentiant les expressions de a-, v, z dans l'hypothèse de x\ y\ z' constantes et substituant, après la différentiation, o?, j, ^ à la place de ces quantités,
dx 1=1 X doc -h f d^ -\- zd'/j dy = X dcx! -\- y d^' -f z dy\ dz zzzxda'-i-yd^'-^zdy".
Mais les six équations de condition étant différentiées donnent, par la substitution des valeurs a = i , p == o, y = o, ... trouvées ci-dessus,
dx =zOj dp -h dx' =: o,
dp' == o, dy -+- dx'' — o,
dy" = o, dy' 4- dP" -. o, XL 8
58 MÉGANIQUE ANALYTIQUE.
d'où
doC ^=^ — d-jy d^^-dy'.
Ces valeurs étant substituées dans les expressions de dx^ dy, dz^ on aura celles-ci
dx =z — V da' + z dyy dy 1= œ dx' — z dp", dz z= — xdy -h y dp",
qui coïncident avec celles de l'article 8, en faisant
doL' =1 ^cp, dy = dfji, d^" = d'\f.
Ces formules des variations de x, j, :; ont donc toute la généralité que l'état de la question peut comporter; et les trois équations L = o, M = o, N = o, qui résultent de l'évanouissement des termes affectés de rf^, do}, rfç, dans l'équation générale de l'équilibre, sont, par conséquent, les seules nécessaires pour maintenir le système en équilibre autour du point donné, abstraction faite de ce qui dépend de la disposition mutuelle des points entre eux; de sorte que, lorsque cette disposition est invariable, l'équilibre du système ne dépendra que des trois équations dont il s'agit.
D'Alembert est le premier qui ail trouvé les lois de l'équilibre de plusieurs forces appliquées a un système de points de forme invariable, dans ses Recherches sur la pf^cession des équinoxes. II y est parvenu d'une manière très compliquée par la composition et la décomposition des forces. Depuis, elles ont été démontrées plus simplement par divers auteurs; mais nos formules ont l'avantage d'y conduire directement.
%\\\, — De la composition des mouvements de rotation autour de différents
axes y et des moments relatifs à ces axes.
11. Si l'on prend dans le système un point pour lequel les coordonnées Xyyy z soient proportionnelles à rf^, J<o, rfip, les différentielles
correspondantes dx^ dy^ dz seront nulles, comme on le voit par les formules de l'article 8. Ce point, et tous ceux qui auront la même propriété, seront donc immobiles pendant l'instant que le système décrit les trois angles d^, Jw, J<p, en tournant à la fois autour des axes des .T, y, z. Et il est facile de voir que tous ces points seront dans une ligne droite passant par l'origine des coordonnées (*) et faisant avec les axes des œ, j, z des angles >., (a, v, tels que
cos).
