co
dr
ros »j.
dit)
do^
cosv
Cette droite sera Vaxe instantané de la rotation composée. En employant les angles >., [a, v et faisant, pour abréger,
dO ^ y^ldy- -f- dfsr -\- d'-J,
ou aura
d\ = d^) cos }., diù =^ dO cos u, f/cp zn dO cos v,
et les expressions générales de dx, dy, dz (art. 8) deviendront
dx =z {z cos tJL — y cos v ) dO, dy z= (x cosv — -3 cos >.) dO, dz =i (y cos > — vT cos |jl) dO.
( 1 ) En rapprochant ces résultats de ceux qui ont été obtenus dans le paragraphe précèdent, on voit qu'un mouvement quelconque infmiment petit d'un corps solide qui a un point Gxj peut être considéré comme une rotation autour d'un axe. Ce beau théorème est dû à Euler, qui en a donné une démonstration géométrique très simple. Euler avait aussi traité la question analytiquement. (P^oir les Mc'moircs de l'Aceulcmie de Berlin pour 1750.) Vingt-cinq ans plus tard, Euler reprend ce théorème dans les Commentaires de Seànt- Peter slmir^ pour 1775, et, après en avoir donné une démonstration géométrique qui ^'applique aux mouvements finis, il avoue que la preuve analytique exige des calculs si prolixes, qu'il a renoncé à les exécuter. Son Mémoire se termine ainsi : « Ncmo vero slupendum hune labo-
rem in se suscipere volet quamobrem cgregia ista proprielas geometris pulchfrrimam
occasionem praebere potest vires suas in ista proprietate penitus enucleanda exercendi. » (Novi Comnientarii, p. 207; 1775.) Dans le Journal de Lioimlle (i" série, t. V, p. 4o6), Olinde Rodrigues a donné, d'une manière très élégante, cette démonstration désirée par Euler. (J. Bertrand.)
Le carré du petit espace parcouru par un point quelconque étant
il sera exprimé par
[(ccosjjL— r cosv)--h (^cosv — -5C0S>.)*4- (r cos). — .r cosa)-]r/0- = [•^'-i-.>'*-+- ^'-— (J^'COS). H- y COSfJl -H :?cosv)']^{/*,
à cause de
cos').-t- cos';x-hcos*v=: I.
Or il est facile de prouver que
X cos). 4- >' C0S|JL 4- ;; cosv =i o
est Téquation d'un plan passant par l'origine des coordonnées et perpendiculaire à la droite qui fait les angles X, (a, v avec les axes des x, V, z\ donc le petit espace décrit par un point quelconque de ce plan sera
et, comme Taxe instantané de rotation est perpendiculaire à ce même plan, il s'ensuit que dO sera l'angle de la rotation autour de cet axe, composée des trois rotations partielles rfi, rfco, rfp autour des trois axes des coordonnées.
12. Il suit de là que des rotations quelconques instantanées rfi{/, r/w, dffy autour de trois axes qui se coupent à angles droits dans un même point, se composent en une seule rf9 = \/rf^}/*-h t/w^-hrfy^, autour d'un axe passant par le même point d'intersection et faisant avec ceux-là des angles \ ja, v, tels que
^ dh drj) do
dO ^ dO dO'
et, réciproquement, qu'une rotation quelconque rf9 autour d'un axe donné peut se décomposer en trois rotations partielles, exprimées par cosXr/9, cos;a r/0, cosv r/0, autour de trois axes qui se coupent perpendiculairement dans un point de l'axe donné et qui fassent avec cet axe
les angles X, tx, v; ce qui fournit un moyen bien simple de composer et de décomposer les mouvements instantanés ou les vitesses de rotation.
Ainsi, si Ton prend trois autres axes rectangulaires entre eux, qui fassent, avec Taxe de la rotation d}^ les angles V, >/', >."', avec Taxe de la rotation dia les angles ]l\ (//', i^/', et avec Taxe de la rotation do les angles v', v", v'", la rotation dh pourra se résoudre en trois rotations cosVr/^j/, cosV'rfi, cosV'r/']; autour de ces nouveaux axes; la rotation r/w se résoudra de même en trois rotations cos[A't/o>, cosjjL"r/w, cosa'r/w, et la rotation d^ en trois rotations cosv'rfy, cosv"r/y, cosv'"r/y autour des mêmes axes; de sorte qu'en ajoutant ensemble les rotations autour d'un même axe, si Ton nomme d^\ d^f, dh'" les rotations totales autour des trois nouveaux axes, on aura
dS' = cosX' d\t -h cosfx' dfj) H- cosv' r/9, dO" = cosX" d']t -4- cos (jl" d(Mi 4- cos v'^ do, dO^ — cosyfd^ 4- cos/x^^/o) -{- cosv'^c^9.
13. Les rotations d^, rfco, J9 sont donc réduites de cette manière.à trois rotations rfO', rfO", dV" autour de trois autres axes rectangulaires, lesquelles doivent par conséquent donner, par la composition, la même rotation rfO qui résulte des rotations dh, do), df, de sorte qu'on aura
(art. 11)
de^ = dO'^ -h dr/^ 4- dO"^ z= d^^' 4- r/o)« 4- ^9» ;
et, comme cette dernière équation doit être identique, il s'ensuit qu'on
aura ces relations :
cos'>/ 4- cos-X'' 4- cos*X*' =^ I,
cos* [l' 4- cos' jx" 4- cos* fx'^ == I ,
cos*v' 4- cos'v" 4- cos'v'^ =1;
COS>/ COS/x'4- COSX' cos jJl" 4- COsX'^ cos fj"::^ O,
cosX' cosv' 4- cosX'' cosv'' 4- cosX"' cosv" =z o,
COS/X'COSV' 4- COSfx'^COSv'' 4- C0S|Ul'^C0Sv'^ = O,
qu'on peut aussi trouver par la Géométrie.
Par ces relations on peut avoir tout de suite les valeurs de r/i, rfw, do en r/0', (I^\ dSf, en ajoutant ensemble les valeurs de rfO', â^'\ dkT , multipliées successivement par cosV, cosV, cosV; cos|x', cos'i.", ...; on trouvera de cette manière
dh — cosV dO'-\- cosr dO'-^ dosl" d'f, ^0) := cos \i! dQ' -h cos [x" dh" -h cos .a" d^j'^ y d"^ =. cosv' dO'-^ COSV* dO' ■+- cosv'^ dO"^,
14. Si Ton nomme, de plus, zs\ u", ct" les angles que Taxe de la rotation composée r/0 fait avec les axes des trois rotations partielles ^9', dV\ d^'\ on aura, comme dans l'article 11,
d'ï= co^in'dO, dO'^cosw'dO, dO'" =i cosw" d9 ;
et si, dans les expressions données ci-dessus (art. 12) de dh\ dh", rfO", on met pour r/}, r/co, df leurs valeurs en rfO de l'article H, cos>.rfO, cos[/.r/0, cosvrfO, la comparaison de ces différentes expressions de rfO', dh'\ rfô'" donnera, en divisant par rfO ces nouvelles relations,
COSnj' 1= COSX cos)/ -+- COSfZ cos/jl' -+- cosv cosv',
coscj" zn cosX cos//' 4- cos a cosfx' -i- cosv cosv", cosct"';^ cos/. cos >.''-+- cos.acos[x'^-f- cosv cosv*^,
qu'on peut aussi vérifier par la Géométrie.
15. On voit par là que ces compositions et décompositions des mouvements de rotation sont entièrement analogues à celles des mouvements rectilignes.
En effet si, sur les trois axes des rotations rf}, rfco, rfy, on prend, depuis leur point d'intersection, des lignes proportionnelles respectivement à d'^, r/w, d'p, et que l'on construise sur ces trois lignes un parallélépipède rectangle, il est facile de voir que la diagonale de ce parallélépipède sera l'axe de la rotation composée dh et sera en même temps proportionnelle a cette rotation dh. De là, et de ce que les rota-
lions autour d'un même axe s'ajoutent ou se retranchent suivant qu'elles sont dans le même sens ou dans des sens opposés, comme les mouvements qui ont la même direction ou des directions opposées, on doit conclure en général que la composition et la décomposition des mouvements de rotation se fait de la même manière et suit les mêmes lois que la composition ou décomposition des mouvements rectilignes, en substituant aux mouvements de rotation des mouvements rectilignes, suivant la direction des axes de rotation.
