Maintenant, si dans la formule de l'article

L t/^i^ -h M c/o) 4- N t/cp,

laquelle contient les termes dus aux rotations d^, dm, d(f dans la formule générale P r//? -i- P V/>' + P" r//?" -h . . . , on substitue pour rf^, r/w, dip les expressions trouvées dans l'article 13, elle devient

(L cos)/ 4- M cosfx' -h N cosv' ) d9 (L cosX*' -h M cosfA" H- N cosv" ) dO" (L cosX'^H- M cosp'^H- N cosv*') dô".

Donc, par l'article 7, les coefficients des angles élémentaires dh\ dh\ dH" exprimeront les sommes des moments relatifs aux axes des rotations rfO', JO", r/O'". Ainsi, des moments égaux h L, M, N, et relatifs à trois axes rectangulaires, donnent les moments

L cosX' -h M cos/:x' -h N cosv', LcosX'-f-Mcosjx' -hNcosv", L cos X*' 4- M cos [j.'^ -+- N cos v*',

relatifs à trois autres axes rectangulaires qui font respectivement avec ceux-là les angles V, ;/, v'; \\ f, v";V\ tx", v'".

On trouve une démonstration géométrique de ce théorème dans le Tome VII des Nova Acta de l'Académie de Pétersbourg (*).

(*) Celte démonstration est d'Euler. (/. Bertrand.)

17. Si l'on suppose les rotations dl, r/o>, d^ proportionnelles à L, M, N, et qu'on fasse

on aura, par l'article 11,

L=iIIcos7, M — Ilcos|x, i\=iircosv,

et les trois moments qu'on vient de trouver se réduiront, par les relations de l'article lî, à cette forme simple

ricoscj', ncoscT% Hcoscj'^.

Or ct', n", n ' sont les angles que les axes des rotations rf6', r/6", dh" font avec l'axe de la rotation composée rfO. Donc, si l'on fait coïncider l'axe de la rotation r/0' avec l'axe de la rotation t/0, on a cj'= o et w", n'" chacun égal à un angle droit; par conséquent, le moment autour de cet axe sera simplement H, et les deux autres moments autour des axes perpendiculaires à celui-ci deviendront nuls.

D'où l'on conclut que des moments égaux à L, M, N, et relatifs ii

trois axes rectangulaires, se composent en un moment unique H égal à

yL-^-hM^H- N^ et relatif à un axe qui fait avec ceux-là les angles)., ;/., v,

tels ((ue

COSA=r-r=> COS(A= ^7 COSV^r^-

Ce sont les théorèmes connus sur la composition des moments; et il est évident que cette composition suit aussi les mêmes règles que celle des mouvements rectilignes. On aurait pu la déduire immédiatement de la composition des rotations instantanées, en substituant les moments aux rotations qu'ils produisent, comme Varignon a substitué les forces aux mouvements rectilignes ( ' ).

O) Cotte assimilation n'est pas permise. Une force qui agit sur un corps solide mobile autour (l'un axe donné produit une rotation proportionnelle à son moment; mais, pour doux axes différents, les moments d'inertie jouent un rôle, et l'on n'a pas le droit de substituer les moments aux rotations qu'ils produisent, {^oir, à ce sujet, un Mémoire do Poinsot, Mcmoiras de l'Institut, t. VII, p. 564. ) (•/• Bertrand,)

§ IV. ^ Propriétés de l'équilibre, relatives au centre de gravité.

18. Si, dans les formules de l'article 9, on suppose que toutes l«»s forces P, P', P", . . . agissent dans des directions parallèles entre elles, on aura

par conséquent, si Ton fait, pour abréger,

X=:P^--hP'^'+P"ar''H-..., Y=:Pr-^P'> +P' >''4-...,

les quantités L, M, N deviendront

L = Y cosy — Z cos^, M = Z cosa — X cosy, N =: X cos ? — Y ces a,

et les équations de l'équilibre seront

dont la troisième est ici une suite des deux premières. Mais, comme on a d'ailleurs (Sect. II, art. 7) l'équation

cos* a -h cos*j3-f- cos*y = i,

on pourra déterminer par ces équations les angles a, [i, y, et l'on trouvera

cosa =

-jzz ï

cos y

VX*H- Y*-i-Z*

Donc, la position des corps étant donnée par rapport a trois axes, il faudra, pour que tout mouvement de rotation du système soit détruit, XI. î)

que le système soit placé, relativement a la direction des forces, de manière que cette direction fasse avec les mêmes axes les angles a, ^, y qu'on vient de déterminer.

19. Si les quantités X, Y, Z étaient nulles, les angles a, p, y demeureraient indéterminés, et la position du système, relativement à la direction des forces, pourrait être quelconque; d'où résulte ce théorème : Si la somme des produits des forces parallèles par leurs distances à trois plans perpendiculaires entre eiuv est nulle par rapport à chacun de ces tmis plans y l'effet des forces pour faire tourner le système autour du point commun d'intersection des mêmes plans se trompera dètmit.

On sait que la gravité agit verticalement et proportionnellement à la masse; ainsi, dans un système de corps pesants, si l'on cherche un point tel, que la somme des masses multipliées par leurs distances k un plan passant par ce point soit nulle relativement à trois plans perpendiculaires, ce point aura la propriété que la gravité ne pourra imprimer au système aucun mouvement de rotation autour du même point. C^est ce point qu'on appelle centre de gravite, et qui est d'un usage si étendu dans toute la Mécanique.

Pour le déterminer, il n'y a qu'a chercher sa distance à trois plans perpendiculaires donnés. Or, puisque la somme des produits des masses par leurs distances à un plan passant par le centre de gravité est nulle, la somme des produits des mêmes masses par leurs distances à un autre plan parallèle h celui-ci sera nécessairement égale au produit de toutes les masses par la distance du centre de gravité au même plan, de sorte qu'on aura cette distance en divisant la somme des produits des masses et de leurs distances par la somme même des masses; et de là résultent les formules connues pour les centres de gravité des lignes, des surfaces et des solides.

20. Mais il y a une propriété du centre de gravité qui est moins connue et qui peut être utile dans quelques occasions, parce qu'elle est indépendante de la considération étrangère des plans auxquels on

rapporte les différents corps du système, et qu'elle sert à déterminer leur centre de gravité parla simple position respective des corps. Voici en quoi elle consiste.

Soit A la somme des produits des masses prises deux à deux et multipliées de plus par le carré de leur distance respective, cette somme étant en même temps divisée par le carré de la somme des masses.

Soit B la somme des produits de chaque masse par le carré de sa distance a un point quelconque donné, cetie somme étant divisée par la somme des masses.

On aura y^B — A pour la distance du centre de gravité de toutes les masses au point donné. Ainsi, comme la quantité A est indépendante de ce point, si Ton détermine les valeurs de B par rapport à trois points différents pris dans le système ou hors du système, à volonté, on aura les distances du centre de gravité à ces trois points et, par conséquent, sa position par rapport à ces points. Si les corps étaient tous dans le même plan, il suffirait de considérer deux points, et il n'en faudrait qu'un seul si tous les corps étaient sur une ligne droite donnée.

En prenant les points donnés dans les corps mômes du système, la position de son centre de gravité sera donnée uniquement par les masses et par leurs distances respectives. C'est en quoi consiste le principal avantage de cette manière de déterminer le centre de gravité.

Pour la démontrer, je reprends les expressions de X, Y, Z de l'article 18, et, prenant de plus trois quantités arhitraircs/, g, h, je forme ces trois équations identiques, faciles à vérifier :

-(P^-P'4.p''-l-...)[l>(^./)2 4.lV(.r'-/)î-^I>''(J:''-/)*-^...]

= (P^P'+P* + ...)[P(v-^0^-+-P'(/-à')'+P''(.>'''-aO'-h...1 - PP'(7~/)^- PP''( V- r")^- P'P"(/- j^) -. . .,

[Z(Ph P'-hP''-u...)/,]^

= (P-hP'H-P''-f-...) {V{z - iiY-\-V'{z' - hy-^-v {z" - hy^, . ,]

«8 MÉCAMOUE ANALYTIQUE.

Les quantités P, P', P", . . . représentent les poids ou les masses des corps qui leur sont proportionnels, et les quantités a?, v, z, x',y, z', .r", . . . sont les coordonnées rectangles de ces corps. Or nous avons vu (arL 19) que, lorsque l'origine des coordonnées est dans le centre de gravité, les trois quantités X, Y, Z sont nulles. Si donc on fait dans les trois équations' précédentes X = o, Y = o, Z = o, qu'on les ajoute ensemble, et qu'on suppose, pour abréger,

{^ -/)'■+ Ly -^)'h-(- -/«)'= (o)',

K-/)'+ {y'-gy+ (z'-hy= (2)S

on aura, après avoir divisé par (P -t- P' + P" -<-... )^,

. P(o)'+ P'(iV4- l"(2)^-h. . . PP'(o.i)'+ PP'(o,aV+ P'P'(i,a)' + . ■ . '"~ P-+-P'+P' + ... (l> + P'+P'-h...)*

Si l'on prend maintenant les trois quantités/, g^ h pour les coordonnées rectangles d'un point donné, il est visible que r sera la distance de ce point au centre de gravité qui est supposé dans l'origine des coordonnées, que (o), (i), (2), ... seront les distances des poids P, P', P", ... à ce même point, et que (0,1), (0,2), (1,2), ... seront les distances entre les corps ou poids P et P', P et P", F et P", .... Donc l'équation ci-dessus deviendra

d'où l'on lire ( ' )

(' ) On pourra consulter au sujet de ce théorème le Mémoire do Lagrange Sur iine noui^elie propriété du centre de gravité, inséré au tome V des Œuvres de Lagra/tge, p. 535,

§ V. — Propriétés de V équilibre, relatives aux maxima et minima.

21. Nous allons considérer maintenant les maxima et minima qui peuvent avoir lieu clans l'équilibre; et, pour cela, nous reprendrons la formule générale

P dp -}- Q dq -\- a dr -^ , . ,^=z o

de l'équilibre entre les forces P, Q, R, ..., dirigées suivant les lignes p, q, r, ... qui aboutissent aux centres de ces forces (Sect. II, art. 4). On peut supposer (*) que ces forces soient exprimées de manière que la quantité Vdp -hQdq -\-Rdr-\- » .. soit une différentielle exacte d'une fonction dep, q, r, . . ., laquelle soit représentée pTir U, en sorte que l'on ait

dn = P dp -h Q dg ^ Il dr -h ... ,

Alors on aura pour l'équilibre cette équation cfti = o, laquelle fait voir que le système doit être disposé de manière que la fonction U y vSoit, généralement parlant, un maximum ou un minimum.

Je dis généralement parlant, car on sait que l'égalité d'une différentielle à zéro n'indique pas toujours un maximum ou un minimum, comme on le voit par la théorie des courbes. •

La supposition précédente a lieu, en général, lorsque les forces P, Q, R, ... tendent réellement ou à des points fixes, ou à des corps du même système, et sont proportionnelles a des fonctions quelconques des distances, ce qui est proprement le cas de la nature.

Ainsi, dans cette hypothèse de forces, le système sera en équilibre lorsque la fonction n sera un maximum ou un minimum ; c'est en quoi consiste le principe que Maupertuis avait proposé sous le nom de loi de repos.

Dans un système de corps pesants en équilibre, les forces P, Q,R, ...,

le Chapitre \ll de la Statique do Poinsot, la quatrième Leçon des rorlesungen ûbcr Djuamik de Jacobi et enfin divers Mémoires insérés aux tomes VI et VU du Bulletin de la Société mathématique de France. (G. D.)

( * ) Lagrange ne veut pas dire qu'il en soit toujours ainsi ; il prévient seulement que les développements qui suivent se rapportent au cas où cela a lieu. (/. Bertrcuid.)

provenant de la gravité, sont, comme l'on sait, proportionnelles aux masses des corps et, par conséquent, constantes; et les dTstances/?, q, r, . . . concourent au centre de la Terre. On aura donc, dans ce cas,

Il^P/?-hQ^-f-R/ -h...;

par conséquent, puisque les lignes/?, y, r, .. . sont censées parallèles,

la quantité .-^ — j^ — tz exprimera la distance du centre de gravité

de tout le système au centre de la Terre, laquelle sera donc un minN mum ou un maximum, lorsque le système sera en équilibre; elle sera, par exemple, un minimum dans le cas de la chaînette, et un maximum dans le cas de plusieurs globules qui se soutiendraient en forme de voûte. Ce principe est connu depuis longtemps.

22. Si, maintenant, on considère le même système en mouvement, et que u\ iï\ u\ .. . soient les vitesses, et m\ m!\ nf^ ... les masses respectives des différents corps qui le composent, le principe si connu de la conservation des forces vives, dont nous donnerons une démonstration directe et générale dans la seconde Partie, fournira cette équation

Donc, puisque, dans Tétat d'équilibre, la quantité n est un minimum ou un maximum, il s'ensuit que la quantité /?i'a'^-hm"i/"^H-m*'i/'*^-i-..., qui exprime la force vive de tout le système, sera en même temps un maximum ou un minimum ; ce qui donne cet autre principe de Statique, que, de toutes les situations que prend successii^ement le système, celle où il a la plus grande ou la plus petite force vive est aussi celle ou il le faudrait placer d'abord pour qu il restât en équilibre, [Voir le^. Mémoires de V Académie des Sciences de 1 748 et 1 7^9 ( * )•]

23. On vient de voir que la fonction n est un minimum ou un maxi-

( ^) Ce principo y est énoncé, sans démonstration suffisante, par un géomètre peu connu, (le Courlivron. Lagrango le citait dans la première édition de son Ouvrage; dans la seconde, il a fait disparaître son nom pour y substituer la date du Mémoire.

(y. Bertrand.)

mum, lorsque la position du système est celle de l'équilibre; nous allons maintenant démontrer que, si cette fonction est un minimum, l'équilibre aura de la stabilité, en sorte que, le système étant d'abord supposé dans l'état d'équilibre et venant ensuite à être tant soit peu déplacé de cet état, il tendra de lui-même à s'y remettre en faisant des oscillations infiniment petites : qu'au contraire, dans le cas où la même fonction sera un maximum, l'équilibre n'aura pas de stabilité, et qu'étant une fois troublé, le système pourra faire des oscillations qui ne seront pas très petites, et qui pourront l'écarter de plus en plus de son premier état.

Pour démontrer cette proposition d'une manière générale, je considère que, quelle que puisse être la forme du système, sa position, c'est-à-dire celle des différents corps qui le composent, sera toujours déterminée par un certain nombre de variables, et que la quantité II sera une fonction donnée de ces mêmes variables. Supposons que, dans la situation d'équilibre, les variables dont il s'agit soient égales à r/, i, c, ,.,, et que, dans une situation très procbe de celle-ci, elles soient a-h iTf b -h ff c -h 5, .. ., les quantités j?, j, g, ... étant très petites; substituant ces dernières valeurs dans la fonction n et réduisant en série suivant les dimensions des quantités très petites oc, y, z, ..., la fonction n (* ) deviendra de cette forme

n = A -+- Ba: -h C/ ^- 1)^ 4- . . ,

•+■ Fjj'h- Gjtv 4- II r* -h Kj75 4- L>.3 -h M:;M-. . .,

les quantités A, B, C, ... étant données en a, 6, r, — Mais, dans l'état d'équilibre, la valeur de r/n doit être nulle, de quelque manière qu'on fasse varier la position du système; donc il faudra que la différentielle de n soit nulle en général, lorsque x, y, z, ,.. sont égales à zéro; donc

(*) M. Lojeuno-Dirichlot a simplifiô cette démonstration en la rendant plus rigoureuse. (Voir Journal de Crelle, t. 32, et Journal de Liouville, i™ série, t. XII, p. Î74.)

(7. Bertrand.)

r2 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

On aura donc, pour une situation quelconque très proche de celle (le l'équilibre, cette expression de n

n = A 4- F X- 4- G j;r H- Il r' + R.r;; -h L r5 + M c'* 4- . . . ,

dans laquelle, tant que les variables ôt, y, z, ... sont très petites, il suffira de tenir compte des secondes dimensions de ces variables.

2i. Maintenant il est clair que, pour que la quantité II soit un minimum, lorsque x, y, z, .. . sont nulles, il faut que la fonction

F^^ H- G ;r/ 4- H r' 4- K.iz 4- L je 4- M e- 4- ... ,

que je nommerai X, soit constamment positive, quelles que soient les

valeurs des variables x, y, z

Or cette fonction est réductible à la forme

en faisant

(j V K 3 Il ^''

'1/ ^ér

Donc, pour qu'elle soit toujours positive, il faudra que les coefticients/, g, A, ... soient positifs; et Ton voit en même temps que, si res coefficients sont positifs, la valeur de X sera nécessairement positive, puisque les quantités E, r,, s. . . . sont réelles lorsque les variables ,r, V, :;,... le sont.

Si, au contraire, la quantité n devait être un maximum lorsque a-, V, z, . . . sont nuls, il fîiudrait que la fonction X fût constamment néga-