aaA -h(3aB-+-yaC-h...=:o

14. Comme les fonctions L, M, ... peuvent contenir non seulement les variables finies œ^ y, z, mais encore leurs différentielles, les variations SL, SM, . . . donneront des termes multipliés par S^r, Sy, Ss, tdx, Srf^, ..., et l'équation précédente, lorsqu'on y aura substitué les valeurs de S/?, 8y, 8r, . . . , 8L, SM, ... en Sa-, Sy, 83, Scir, Srf^, Srfs, . . ., ainsi que celles de ^p\ 8p", ..., Sy', 8y", ..., SA, SB, ... en Sa?', Sj/', ..., Sj', Sy, ..., Srfj?', ..., déduites des circonstances particulières de chaque problème, aura toujours une forme analogue à celles que le Calcul des variations fournit par la détermination des maxima et minima des formules intégrales indéfinies; ainsi il n'y aura qu'à y appliquer les règles connues de ce calcul.

On considérera donc que, comme les caractéristiques rfet S marquent deux espèces de différences entièrement indépendantes entre elles, quand ces caractéristiques se trouvent ensemble, il doit être indifférent dans quel ordre elles soient placées, parce qu'en supposant qu'une quantité varie de deux manières différentes, on a toujours le même

résultat, quel que soit l'ordre dans lequel se font ces variations. Ainsi ^dx sera la même chose que d^ix, et pareillement ^d^x sera la même chose que d^hc, et ainsi de suite. On pourra donc toujours changer i\ volonté l'ordre des caractéristiques sans altérer la valeur des différences, et pour notre objet il sera à propos de transporter la caractéristique d avant la S, afin que l'équation proposée ne contienne que les variations des coordonnées et les différentielles de ces mêmes variations.

Il en est de même des signes d'intégration / ou x, par rapport a la

caractéristique des variations S. Ainsi l'on pourra toujours (dianger les

symboles ^ j on ?5^ en /S ou ^S.

C'est en quoi consiste le premier principe fondamental du Calcul des variations.

15. Or les différentielles d}ix, r/Jy, d'Hz, d^}^x, . . . , qui se trouvent sous le signe V, peuvent être éliminées par l'opération connue des intégrations par parties; car, en général,

fo. dôx -aôx— Çèx dO, fa d' oj' — adou- -^dilojT-i- fox d'il,

et ainsi des autres, où il faut observer que les quantités hors du signe /

se rapportent naturellement aux derniers points des intégrales, mais que, pour rendre ces intégrales complètes, il faut nécessairement en retrancher les valeurs des mêmes quantités hors du signe, lesquelles répondent aux premiers points des intégrales, afin que tout s'évanouisse dans ces points; ce qui est évident par la théorie des intégrations.

Ainsi, en marquant par un trait les quantités qui se rapportent au

commencement des intégrales totales désignées par Vl, et par deux

traits celles qui se rapportent a la fin de ces intégrales, on aura les XI. 12

réductions suivantes

Q £> cr- Sx — ^' dox" - dir ox" — il' dix' -r da' ox' -H ^ âx d'il.

lesquelles serviront à faire disparaître toutes les différentielles des variations qui pourront se trouver sous le signe V, Ces réductions constituent le second principe fondamental du Calcul des variations,

16. De cette manière donc, Téquation générale de l'équilibre se réduira à la forme suivante

C {E dx -^ISy 4- n'ôz) -h A ■= o,

dans laquelle £, i, U' seront des fonctions de ^\y, ^ et de leurs différentielles, et A contiendra les termes affectés des variations ^x\ Sy', ^z; ?5.r", Sv", ... et de leurs différentielles.

Donc, pour que cette équation ait lieu indépendamment des variations des différentes coordonnées, il faudra que l'on ait: i^^H, 1, W

nuls dans toute l'étendue* de l'intégrale V, c'est-à-dire dans chaque

point de la masse; 2*^ chaque terme de A aussi égal à zéro. Les équations indéfinies

S =11 o, i irz o, M * =1 o

donneront, en général, la relation qui doit se trouver entre les variables .r, j, z; mais il faudra pour cela en éliminer les variables indéterminées )., ;y,, . . ., lesquelles (art. 13) sont en même nombre que les équations de condition indéterminées

Or je remarque que ces équations ne sauraient être au delà de trois;

car, puisque ce sont des équations indéfinies entre les trois variables X, V, z et leurs différentielles, il est clair qu6, s'il y en avait plus de Irois, on aurait plus d'équations que de variables, en sorte qu'il faudrait que la quatrième fut une suite nécessaire des trois preniiëres, et ainsi des autres. Donc il n'y aura jamais plus de trois indéterminées)., [/., v à éliminer, en sorte qu'on pourra toujours trouver les valeurs de ces indéterminées en fonction de x,y, z. Mais les équations qui disparaîtront par ces éliminations seront remplacées par les équations mêmes de condition, de sorte qu'on pourra toujours connaître les valeurs de a:, y, z qui doivent avoir lieu dans l'état d'équilibre de tout le système. Au reste, les équations de condition L = o, M = o, ... pourraient contenir encore d'autres variables w, r, . . . avec leurs différentielles, qui devraient être éliminées par le moyen d'autres équations telles que

dans ce cas, on pourrait traiter ces nouvelles équations de condition

comme celles qui sont données par la nature du problème, et, prenant

des coefficients indéterminés <7, u, ..., il n'y aurait qu'à ajouter aux

termes

1 oL -h |JL ôM 4- . . . ,

qui sont sous le signe d'intégration dans l'équation générale de l'article 13, les termes

a ôU -f- 'j ô V 4- . . . ;

et, après avoir fait disparaître foutes les différentielles des variations ir, Sy, §5, 8w, S(^', .. ., l'équation finale de l'article 13 contiendra sous le signe des termes affectés des variations hi, Sr, . . ., qui devront, par conséquent, être égalés séparément à zéro. On aura ainsi autant de nouvelles équations que d'indéterminées g, u, ..., par lesquelles il faudra les éliminer; ensuite on éliminera les nouvelles variables w,

r, ... par les équations données U = o, V = o, Cette méthode

sera surtout utile lorsque, dans les fonctions L, M, . . . , il se trouvera des quantités intégrales; car, en substituant a leur place de nouvelles

92 MÉGANIQUE ANALYTIQUE*

indéterminées, on pourra faire disparaître tous les signes d'intégration, ce qui rendra le calcul plus facile.

17. A l'égard des autres équations résultantes des différents termes de la quantité A qui est hors du signe, ce ne seront que des équations particulières, qui ne devront avoir lieu que par rapport à des points déterminés de la masse, et qui serviront principalement à déterminer les constantes arbitraires que les expressions de a:, y, z, déduites des équations précédentes, pourront contenir. Pour faire usage de ces équations, on y substituera donc les valeurs déjà trouvées de X, [x, . . ., ensuite on en éliminera les indéterminées a, p, ... et Ton y joindra les équations de condition A = o, B = o, . . ., qui serviront à remplacer celles que l'élimination dont il s'agit fera disparaître.

18. Quoique les termes P?5p, QSy, ..., dus aux forces accélératrices P, Q, ..., ne demandent aucune réduction tant que ces forces agissent suivant les lignes/?, q, ..., parce que les quantités/?,^, ... ne sont fonctions que des variables finies x, y, z, il n'en sera pas de même lorsqu'on emploiera des forces dont l'action consistera à faire varier une fonction donnée (Scct. II, art. 9); il faudra alors, si cette fonction contient des différentielles, employer pour ces tcripes l^s mêmes réductions que pour les termes >. SL, . . . , et l'on parviendra toujours à une équation finale de la même forme. Ce cas a lieu lorsque Ton considère des corps élastiques, soit solides ou fluides. ,

§ III. — Analogie des problèmes de ce genre avec ceux de maximis

et minimis.

19. Non seulement le Calcul des variations s'applique de la même manière aux problèmes sur l'équilibre des corps continus et aux problèmes de maximis et minimis relatifs aux formules intégrales, mais il fait naître entre ces deux sortes de questions une analogie remarquable que nous allons développer.

Nous commencerons par donner une formule générale pour la variation d'une fonction différentielle quelconque k plusieui'S variables.

On sait que, dans les fonctions de plusieurs variables et de leurs différentielles des ordres supérieurs au premier, on peut toujoui's prendnî une des différentielles premières pour constante, ce qui simplifie la fonction sans rien oter a sa généralité; mais alors, dans les différentiations par ^^ il faut aussi i*egarder comme constante la variable dont la différentielle a été supposée constante; et, si Ton veut attribuer des variations à toutes les variables, il faudra rétablir la variabilité de la différentielle supposée constante.

dy ci* y

20. Soit U une fonction de x, r, ~) -—^^ • • • j ^\xdx est supposé constant; si Ton fait, comme dans la Théorie des fonctions,

dy , dy' „ dy" „

dx'^-' . dx ~^ ' ^/^ ~ '

la quantité U deviendra fonction de x, y,y\y\ . . . , et la variation Sli sera, en employant la notation des différentielles partielles, de la forme

dx dy " dy * ôy^ '^

Maintenant, en faisant tout varier, on aura

3v'=ô^= ^' — ^' ^. ^__ yi^__ df^^y^yix') ^ ^,^^ dx dx dx dx dx " dx dx

,^..^^(^y-yox)^

dx^ ^

Substituant ces valeurs et faisant, pour abréger,

oy — y ox =11 ou

et, par conséquent,

dy::^âa + v'(5.r,

on aura

\djr ôf^ dY"^ ôv "^

'^ôy'^''~^ôy dx '^ oy dx^ "^••••

Mais, en différentiant par r/la fonction U et substituant y ^/j? pourrfy, y" dx pour (ly\ on a

,,, (ÙM au , (}U , àV„ \ ,

A\\\\ Ton tire

a.r c// " ày * «^/"

Donc enfin

.,- dM. . (?U . ()U don /)U r/S//

a./' ùy ov dx a y dx^

Si la quantité U contenait une autre variable :; avec ses difrcrcnlielles

d' d^z ' ' dz dz'

-1^) -7-^» •• » en faisant -^ = z\ ~ = z'\ ... et opérant de la même manière, on trouverait les termes suivants

dz ôz' dx dz" dx^

dans lesquels

ov^=.oz — z ox

à ajouter à la valeur précédente de SU, et ainsi de suite.

21. Donc, si Ton a la fonction intégrale JMdxk rendre un maximum ou un minimum par les principes du Calcul des variations, on fera

è l\}dx=.lè(\} dx) — f(dV dx-i-\] ddx) = o.

Substituant la valeur de SU, changeant ^dx en d^x et faisant disparîiitre, par des intégrations par parties, les différences de ^x, hi, Sr, il

ne restera sous le signe que des termes de la forme

(Z ôj: -h r ou •+- W oi') dx,

dans lesquels

Y d}l £ ô^ r^ ^i __ ~ ÔY dx dy "^ dx^' 0/ '"'

xir-.àV d â\] d^ dj] dz dx dz' dx^ dz"

Ces termes doivent être nuls, quelles que soient les variations ^x\ ?{>', î5j; or, en remettant pour SwetSç^ leurs valeurs %y — v'?5.r, %z — z'Kv, les termes dont il s'agit deviennent, à cause de 3 = o,

[T ar 4- ^' oz — {Xy' -h ^Vz') rU] dx,

d'où Ton ne tire que les deux équations

la troisième, dépendante de ^a?, étant contenue dans ces deux-ci.

On voit par là qu'on peut se dispenser d'attribuer aussi une variation h la variable .r, dont l'élément est supposé constant dans la fonction U, puisque les équations nécessaires à la solution du problème résultent uniquement des variations des autres variables. C'est une remarque qui a été faite dés la naissance du Calcul des variations el qui est une suite nécessaire de ce Calcul.

Cependant il peut être utile de considérer toutes les variations à la fois, par rapport aux limites de l'intégrale, parce qu'il peut résulter de chacune d'elles des conditions particulières dans les points qui répondent à ces limites, comme nous l'avons fait voir dans la dernière Leçon sur le Calcul des fonctions.

22. La fonction intégrale dont on demande le maximum ou le minimum peut contenir aussi d'autres intégrales; mais, quelle qu'elle soit, on peut toujours la réduire h ne contenir que des variables finies avec leurs différentielles et à dépendre d'une ou de plusieurs équations de

m MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

rondition entre ces mêmes variables, auxquelles on pourra toujours satisfaire par la méthode des multiplicateurs.

Supposons, par exemple, que U soit une fonction de or, y, z et de leurs différentielles, et qu'en même temps la variable z dépende de l'équation de condition L = o. Cette équation étant différentiée par ^ donnera 55L = o; il n'y aura donc qu'à multiplier celle-ci par un cocflicient indéterminé X, ou par Idx, pour l'homogénéité, lorsque L est

une fonction finie, ajouter l'équation intégrale /xSJLrflr = o à Téqua-

tion du maximum ou minimum ^ j \]clx= o, et considérer ensuite les

variations ?>a:, \y, Sg comme indépendantes. Or on a, en regardant L comme fonction de x, y,y\y\ ...» ^, -', ^'\ .. .,

Donc, si l'on fait les mêmes substitutions que ci-dessus pour \y\ 8^', ^,v", . . ., on aura aussi

^, c/L ^ ()L ^ dL ^ ôL don dL dov

OL = -7- OV H- -^-QU -\- ~r- Oi' -h -r— , -T h -r-T -7 r . . . ,

ax or ôz UY "-^ Oz aw

et les termes sous le signe provenant de l'équation

( oU cLr H- }. oL du- ) ^=. o

seront de la forme

dans lesquels on aura Z—l dL.

(Z ô.r 4- y ait -h ^' Oi' ) d.Vy

„, \d\^ . ÔL d fdV, .ÔL\ d' fdl] .dL\ 1,

Or, L = o étant l'équation de condition, on aura aussi dL= o, ce (|ui donnera Z = o. Ainsi, en égalant à zéro les coefficients des trois

variations hc, }yy, ^z, on n'aura que les deux équations

dont Tune servira a éliminer l'indéterminée X, de sorte quil ne restera, pour la solution du problème, qu'une seule équation en ^» v, z^ qu'il faudra combiner avec l'équation donnée L = o.