hYdx\ or 4- ( -Tzdm -^Wdx ) dj = o
laquelle donne ces trois-ci :
dU
^ dm 4- Z e/x — Ydy — Wdz = o,
-r— dm 4- 1 rtwF =1 o,
or
dz
dm 4-^''r/.r = o.
Ainsi Ton a ici autant d'équations que de variables, ce qui parait mettre une différence entre les problèmes de ce genre relatifs à la Mécanique et les problèmes de maximis et minimis.
27. Mais j'observe d'abord qu'à cause de l'indéterminée \, les trois équations se réduisent à deux, par l'élimination de cette indéterminée; et, quoiqu'on général les équations de condition remplacent toujours celles qui disparaissent par l'élimination des indéterminées, la condition introduite ici Srfm = o, c'est-a-dire dm constant, ne peut pas fournir une équation particulière pour la solution du problème, parce que, suivant l'esprit du Calcul différentiel, il est toujours permis de prendre un élément quelconque pour constant, puisqu'il n'y a, à proprement parler, que les rapports des différentielles entre elles, et non les différentielles elles-mêmes, qui entrent dans le calcul. Ainsi les trois équations seront réduites à deux et ne serviront qu'à déterminer la nature de la courbe, comme dans les problèmes de maximis et minimis.
28. J'observe ensuite qu'on peut aussi rappeler les problèmes de Statique dont il s'agit ici à de simples problèmes de maximis et minimis.
Car, si Ton ajoute ensemble les trois équations trouvées ci-dessus, après avoir multiplié la première par dx, la deuxième par dy et la troisième par dz, on aura, à cause de
Téquation
mais on a
an , an, du. ,„
-7— aj? 4- -T— dy -\- -^— dzi=: aU, uv dy ' oz
dW dm -h 2 dx* = o ;
Edx = ld{] — dl[]=:—lid).,
et, comme dm = Ue/.r, on aura, en divisant par rfm, dli — (tk = o; d'où Ton lire
a étant une constante arbitraire.
Ainsi, à cause de Mj = Wm, le terme >.SL, dans l'équation de l'article 25, deviendra
et puisque Xllr/m -f-nSrfm = S(IIrfm), cette équation deviendra
c'est-à-dire
V d{Udm)-ha W ât/m = o, ô^nrfm4-«dvrfm=o;
c'est l'équation nécessaire pour que la formule intégrale Vlï^/m devienne un maximum ou un minimum parmi toutes celles où la formule ^e/m aura une même valeur.
De cette manière on pourra, comme dans les questions de rnaximis et minimisy regarder une des variables comme constante, relativement aux variations par ^, ce qui simplifie l'analyse; mais la méthode générale a l'avantage de donner la valeur du coefficient >., qui, par la théorie exposée dans la présente Section, exprimera (*) la force avec
( ») Foiry à ce sujet, Tarticle 6, Section IV, et la note relative à Tarticlo 9, Section IJ.
(/. Bertrand.)
laquelle Télément dm résiste à Taction des forces P, Q, R, ... qui ajçissent sur le svstènie.
29. Nous avons supposé, pour plus de simplicité, qu'il n'y avait point d'autre équation de condition; mais, s^'il y avait de plus l'équation M = o, M étant une fonction de or, j, z, y\ y", . . ., z\ z'\ . . . , il faudrait ajouter au terme l^L sous le signe, dans l'équation de l'équilibre, le terme (/.8M, ou plutôt, pour l'homogénéité, le terme aXMrte, (*e qui donnerait à ajouter aux valeurs de S, r, W de l'article 25 les (I nanti tés respectives
^ Or dx \^ Oy ) "^ dx^ Y' dy")
dM d i (m \ d^ ( im \
Ainsi l'on aurait trois équations de la même forme que celles de l'article 26, lesquelles, par l'élimination des deux indéterminées >. et j/., se réduiraient à une seule; mais, en y joignant l'équation de condition M = o, on aurait, comme auparavant* deux équations entre les trois variables x, y, z.
Ces trois équations donnent, comme dans l'article 28, l'équation
dW d\\i 4- S dx'^ = o.
Ici Ton a
E dx :=— \J d). -j- iJ. dM ;
mais l'équation M = o donne aussi dM = o; donc on aura simplement,
comme dans l'article cité,
S.dx = ^Vdl,
et de là on trouvera le même résultat
ô V n dm -^ ad dm = o.
30. Donc, en général, le problème de l'équilibre d'un système de particules dm animées des forces P, Q, R, . . . , qui agissent suivant les
directions des lignes/;, 7, r, ..., et qu'on suppose telles que l'on ait
se réduit simplement à rendre la formule intégrale Vllr/m un maximum
ou un minimum, en ayant d'ailleurs égard aux conditions particulières du système; ce qui, comme l'on voit, fait rentrer tous les problèmes de l'équilibre dans la classe des problèmes de rnarirnis et minimis connus sous le nom \\q problèmes des isopèrùnètres.
Dans le cas de la chaînette, en prenant les ordonnées y verticales, on a n = gy^ g étant la force constante de la gravité. Donc il faut que
la formule Vyr/msoitun maximum ou un minimum parmi toutes colles
de gravité à l'horizontale; donc, puisque la masse entière est supposée donnée, il faudra que cette distance soit la plus grande ou la plus petite : ce qu'on sait d'ailleurs.
31. Jusqu'à présent nous n'avons considéré que des fonctions de variables regardées comme indépendantes; mais, si la variable :; était censée fonction de x, y et que l'on eût une fonction U qui contint x\ y, z avec les différences partielles de z relatives àr et j, on pourrait demander la variation SU en ayant égard aux variations simultanées de x^jy z.
Soit, pour plus de simplicité,
ôJc--^' Ihr--'^ J?-^^ ~dJd^'-^'' 'd?-'''
t- V fc
SV y dm dm est la même; mais ^ est la distance du centre
la quantité U sera fonction de a-, v, z, z\ z^, z'\ z,, z^^, . . . , et l'on aura
OJc Ov oz dz' uz, Oz oz,
lOV MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
et la difficulté se réduira à trouver les valeurs des variations Ss', iSs,, ^z'\ . . ., en faisant varier à la fois les éléments dx, dy dans les différences partielles.
Nous pouvons supposer, pour rendre le calcul plus simple, que la variation %x est une fonction de x indépendante de y, et la variation %y une fonction de y indépendante de x. Nous verrons par la suite que cette supposition a toute la généralité que Ton peut désirer (*).
{}) li y a ici un point qui api>clle quelques explications. Dans le passage d'une surface à la surface infiniment voisine, on peut, à coup sûr, établir la correspondance de telle manière (juo <?-r, 8y aient, on chaque point de la surface primitive, telles valeurs que l'on voudra. S'il s'agit d'étudier un problème de maximum et de minimum, il n'y a donc aucun inconvénient, mtVmo pour les conditions aux limites, comme ou s'en assurera aisément, à supposer que ^x no dépende que de x et ^y de j. Mais plus loin (Sect. V, art, 44) Lagrange applique les formules des articles 3i à 3i, établies dans cette hypothèse, au cas où $x, $y définissent un déplacement virtuel quelconque et sont, par conséquent, des fonctions de x et de y tout à fait arbitraires. Il ne sera donc pas inutile de rétablir le calcul dans rhypothèse où ^.r, h' sont quelconques.
Posons
( I ) oz — z' ^x — z,^) = n ;
on aura
( 2 ) du = dSz — z'dox — zd^y — dz'Sx — dz âr.
(écrivons Téquation aux différentielles totales
dz ^= z' dx -\- z dy et diiférentions-la par $, Nous aurons ( 3 ) odz = z'^dx -h z,^dj -\- $z'dc -^ oz,dy.
Ajoutons les équations (2) et (3) et remarquons que l'on peut intervertir l'ordre des caractéristiques d, (?, ce (|ui fait disparaître les termes en d§. Il viendra
( i ) du — Sz'dx -h (?3, dy — dz'Sx — dz^Sy,
Dans cette équation, dx^ djr peuvent prendre toutes les valeurs possibles. Supposons d'abord
dy = o :
on aura
Un
du = -r- dx, dz = z'*dx, dz = z'.dx, Ox
el, par conséquent, l'équation (4) nous donnera la formule
Ox • '
