Cela posé, on aura, en diflérentiant
„ , ^ dz 5()z dz od'T
qui fera connaître ^z'. On trouvera de môme, en faisant de = o, (6) -^ = ^z,— z'Jx — zJj-\
ce sont les deux premières formules de Lagrange. Comme elles s'appliquent à une fonction quelconque, on peut y remplacer z par z'. La valeur de u deviendra alors
iz'—z'^x^z'fir,
et les formules (5) et (6) nous donneront
-^(^z'- z'âx - zlSf) = âz"- z"'^jc - z:$j', y- (<yy — 3"<?.r — z,$f) = Bz.— z^^x — z:,^j\
On peut se servir encore des équations (5) et (6) pour simpliGer les formules précédentes, et l'on trouvera alors
= de* — 3 OX — z'tQ)\
dx^
-^z', — z'',$x-^z,By.
dx df A ces relations on peut évidemment ajouter la suivante
-^ = ^z^-z'M-zJjr,
qui complète l'ensemble de celles que Lagrange démontre dans Thypothèse particulière où il s'est placé et par l'emploi de différentiations qui sont légitimes, mais ne sont peut-être pas sufBsamment expliquées.
L'affirmation de Lagrange, « nous verrons par la suite que cette supposition a toute la généralité que l'on peut désirer », parait se rapporter à une autre partie du calcul, donnée à l'article 3i, celle qui est relative à la variation de l'élément superficiel dxcfy. Dans le cas où Sx dépend de la seule variable x et $/ de la seule variable j, la variation du rectangle dxdy est en effet très facile à calculer; car ce rectangle se transforme en un rectangle de côtés dr-hS(Lc, dy-^Sdy, et, par conséquent, sa variation s'obtient immédiatement et est é.a:ale à
dx dd) -h d) âdx = dxdy ( —r^ H r- V
' \ dx dj I
Le calcul serait moins simple si Sx, Sy dépendaient à la fois des deux variables jrel j. Mais ce calcul est complètement développé pour le cas de trois variables aux articles 12, 13 et 1 i de la Section VII, auxquels Lagrange a eu sans doute l'intention de renvoyer le lecteur.
XL i4
Il est clair (\\\e
ZZ2 cl =: "
ôjo Or djc ÔJ' ^
ainsi Ton aura
ou bien
^ . doz ,dS.z' â(oz — z'o.r) dz' ^
nz'— z' -r— := — ^ 4- -T- o.r,
Ox ux ôx ox
^ , dioz — z ox — z,oy) àz\ Oz, ^
Ox ox ()x '■
On aura de même
dioz — z' Sx — z.or) dz\ ôz, ^
OZ, — ~ '- h -r- OO: 4- -r- 0>-,
Or ôv Or
à cause de
dôx . ddv
-r— zzi o cl -T— =o.
Of ox
On aura ensuite
^ ^ ^dz' doz' dz' ôox
ôx Ox Ox ôx
Substituant la valeur de ^z\ on aura
^„ <)^{oz — z'ox -^ ZfOy) d'z\ d^z, ^
OZ" — r-— : h — -• OX -H -T— ' àV.
ôx^ ô>i^ ax^ •
Orl aura de nièiTie
. , .ôz' ôdz' dz' ddv or Or or or
Substituant aussi la valeur de ^z\ on aura, à cause de -^^ = ^>
ox Ov
., O^Sz — z'ox—z,Sy) (V-z' . ô^z, .
OZ, — — '— h - — -- ox H- 3 f- 0>'.
OXOY ÔX ÔV ÔX ÔY '
On trouvera pareillement
ô^oz—z'dx — z.ov) ô'z\ ô'z,^ " <;>'* ôy* ÔY* "
(»t ainsi de suite.
Xi. Donc, si Ton fait, pour abréger,
dz ^ ôz ^
-r- OX — -T-
ôx ôy
OZ r- dx r- oy z= ou.
dz, dz' dx à Y
dz' dz, dy dx
d'z' dz" dx* dx
i^^z' dz.
d^z, dz', dxdv dv
d'z' dz„
dvd y dx^
dy^ dx '
et qu'on observe que
d' z. dz'' dx' '^ dr'
fv dv oy Ox
on aura plus simplement
^ , ddti dz' ^ dz' ^
dx dv
dx dy *
dz" , dz" .
dx dy "
dz', ^ dz', ^ dx dy '■'
" ox H r-^ 0 >•
dx
