OZ

dôu dv

àz'

d-oa dx^

d*du dx dv

d^da

"- dy- ^ dx '^^^ dy^'

Faisant ces substitutions dans l'expression de SU, mettant

dz ^ dz ^

ou + T- o.r -f- -r- 0 )' dx dv *

à la place de Ss et ordonnant les termes par rapport a S.r, ^v, hi, on aura

\<^a7 (^-3 dx ' dz' dx dz, dx dz" dx dz, dx

dV dU dz dU dz' dU dz, diJ dz" dV dz'

fU ^' dVdz^ \ .

h" dy '^'dz, dy -^"')'^^'

dv dz dv dz' dv dz, dv d

d[} . d\} ddu d{} dou d[] d^àu dU d-àu ou

dz dz' dx dz, dv dz" dx^ dz', dx dy

Désignons par (;t- )> (tt) 1^^ diirérences partielles de U, relatives k.r et y, en regardant s comme fonction de ces deux variables; il est

clair qu'on aura

dx I ôjc ôz ôx âz' dx dz, âx

/çRJ\ ^ dU dz rKJ d^ dUâz, \dy J ^ dy ôz ôy ôz' ôf ôz, ôy

Ainsi la variation complète de U se réduira à cette forme simple

du.

-r— OU

ÔZ

Ô\J ôou ôllôSu Ô\] ô^ ÔV ô'âu ÔU ô'du ôz' ôx ôz, ôf ôz" ôx^ ôz', ôx ôy ôzi, ôy*

34. Donc, si Ton a une fonction intégrale double ^jiUrfj?rf>^ à rendre un maximum ou un minimum, on aura l'équation

d^^Udxdy=^^d{{]dxdy)^o.

Or, en faisant tout varier, on a ^{{Jdxdy) = Wdxdy-^\]}i{dxdy), où il faut remarquer que, dxdy représentant un rectangle qui est l'élément du plan des xy, ce rectangle demeurera rectangle après les variations 8.r, Xv des coordonnées x, y, dans la supposition adoptée que Sa? ne dépende point dej, ni ^y de x; de sorte que la variation de dxdy f>ersL ^\m\i\ementdy%dx -hdx^dy; donc, comme

ddx =1 dSx = -j— dx, Sdy =zSdyz=: -j- dy,

puisque X.r et ty sont censés fonctions de x seul et de y seul, on aura

ô ( U ^o: rf/ ) = ( a U -4- U ^ 4- U ^ ") ^x df r .

Substituant la valeur de SU et faisant disparaître par des intégrations partielles les différentielles des variations Sr, S/, Sw. il restera sous

le double signe xSl les termes

(S ax -+- r 0/ 4- V ôa) cfx dy.