PREMIÈRE PARTIE.- SECTION IV. lO'J

dans lesquels

dz \âx J \ ôr ) \dx^ 1 \ dx ùy ) \ ùy^ ) en faisant, pour abréger.

dz'

ôz.

dz''

ôz,

et supposant que les différentielles partielles renfermées entre deux parenthèses représentent les valeurs complètes de ces différences, en y regardant z comme fonction de x, y.

S5. Ainsi, à cause de ht = 8:; — ^\v — —^y, les termes sous le

ÔX ÔY *^

double signe donneront simplement Téquation

V ôx ôy ' )

d'où, en égalant séparément à zéro les coefficients de S^, t^Xy Sy, on n*aura que l'équation ^ = o, comme si Ton n'avait fait varier que la seule variable z.

On voit donc que, dans les questions de maximis et minifnis relatives à des intégrales doubles, dans lesquelles une des trois variables est fonction des deux autres, il n*y a rigoureusement qu'une seule équation qu'on peut trouver directement, en ne faisant varier par S que la seule v^iriable qui est. censée fonction des deux autres (*); et cette

{^) W ost évident a priori qu'il suffit do faire varier z\ car, quelles que soient deux surfaces infiniment voisines, on peut toujours passer de l'une à l'autre en donnant ù z un accroissement qui dépende d'une manière convenable des doux autres coordonnées .r et/. \\ pourra être plus ou moins commode de considérer celles-ci comme ayant ou n'ayant pas la même valeur aux points correspondants ; mais il est évidemment permis de faire Tune ou l'autre hypothèse. (/. Bertrand.)

équation est celle de la surface qui satisfait à la question. C'est ainsi qu'on a trouvé l'équation aux différences partielles de la moindre surface, en faisant U = y i -+- (^')^^" (^O* 5 ^^ ^^ fl"^ "^"s venons de démontrer prouve que cette équation remplit complètement les conditions du problème, quelques variations qu'on attribue aux trois coordonnées de la surface.

36. On peut appliquer les formules des variations que nous venons de trouver à l'équilibre d'un système superficiel de particules dm tirées par des forces quelconques.

En n'ayant égard qu'a la condition de l'invariabilité de dm, on aura d'abord, comme dans l'article 25, l'équation générale de l'équilibre

CC(8n6fm-i-Xôé/m)=:o.

Ici la valeur de dm sera de la forme VJdxdy, et l'on aura, par conséquent (art. 3i),

Substituant cette valeur, ainsi que celle de SU de l'article 33, dans la formule intégrale Nl^>.î5rfm, et faisant disparaître, par des intégrations par parties, les différences des variations hc, 8/, Sa, il ne restera sous le double signe que les termes

(iôx -h Vov -f- W ou)dxd}\

dans lesquels

d.vôfj \ ôy*

en conservant les valeurs de U', U,, U", U,', ... de l'article 34