CHAPITRE I

DE l'équilibre DE PLUSIEURS FORCES APPLIQUÉES A IN HÉME POINT, DE LA COMPOSITION ET DE LA DÉCOMPOSITION DES FORCES.

1. Soit proposé de trouver les lois de l'équilibre d'autant de forces qu'on voudra, P, Q, R, . . ., toutes appliquées à un même point et dirigées vers des points donnés.

Nommant/?, y, r, . . . les distances rectilignes entre le point commun d'application de ces forces et leurs points de tendance, on aura la formule

pour la somme des moments de toutes les forces, laquelle doit être nulle dans l'état d'équilibre.

Soient or, y, z les trois coordonnées rectangles du point auquel toutes les forces sont appliquées; et soient de même a, h, c les coordonnées rectangles du point auquel tend la force P;/, g, h celles du point auquel tend la force Q; /, m, n celles du point auquel tend la force R, et ainsi des autres; ces coordonnées étant toutes rapportées XI. i5

il4 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

aux mêmes axes fixes dans Tespace. On aura évidemment

q z= v/( .r - /)*-^(y'~^ )"t 4: Cz - /* )» ,

et la quanlité P^/? -h Qrfy -h Rr/r-f- . . . se transformera en celle-ci

\dx-h\ciy-hZdz,

dans laquelle on aura

/? 7 r Y-:- — P -t- - - Q-i-' Un-...,

Il n'est pas inutile de remarquer que, dans ces expressions, les quan-

tités -, • -, - -- sont égales aux cosinus des angles que la

ligne /?, c'est-à-dire la direction de la force P, fait avec les axes des ^,

V, z; que, de même, - - > '■ — ^ > " sont les cosinus des an£;les

que la direction de la force Q fail avec les mêmes axes; et ainsi de

suite (Sect. IF, art. 7).

^ \. — De r équilibre d\in corps ou point tiré par plusieurs /o/vcs.

2. Ola posé, supposons on premier lieu que le corps ou point auquel les forces P, Q, R, ... sont appliquées soit entièrement libre; il n'y aura alors aucune équation de condition entre les coordonnées a-, V, z, et la quantité Xr/.r -h Yr/j -h Z^dz devra être nulle indépendamment des valeurs de rfr, dy, dz (Sect. II, art. 10); ce qui donnera surle-champ ces (rois équations particulières

Ce sont les équations qui renferment les lois de l'équilibre de tant de forces qu'on voudra, concourantes à un même point.

3. Si, dans les expressions de X, Y, Z, on fait V — p, Q = y, R = r, . . . , ce qui est permis, puisqu'il est indifférent à quels points pris dans les directions des forces elles soient supposées tendre, on aura ces équations

.r — a -h .r — f -\- JC — / H- . . . = o, V — ^ -h >' — - ^ -+- V — /;i -+- . . . = o,

d'où l'on tire, en supposant ([ue le nombre des forces P, Q, R, . . .

soit [JL,

h ■-{- ff -\- m -h . . .

et ces expressions de x^ y, z font voir que le point auquel sont appliquées les forces est dans le centre de gravité des points auxquels ces forces tendent.

De là résulte le tbéorème de LeibnitV, que, si tant de puissances qu'on voudra sont en équilibre sur un point et qu'on tire de ce point des droites qui représentent tant la quantité que la direction de cbaque puissance, le point dont il s'agit sera le cenirc de gravité de tous les points auxquels ces lignes seront terminées.

Si donc il n'y a que quatre puissances et qu'on imagine une pyramide dont les quatre angles soient aux extrémités des droites qui représentent les puissances, il y aura équilibre entre ces quatre puissances lorsque le point sur lequel elles agissent sera dans le centre de gravité de la pyramide; car on sait, par la Géométrie, que le centre de gravité de toute la pyramide est le même que celui de quatre corps

égaux qui seraient placés aux quatre coins de la pyramide. Ce dernier théorème est du à Roberval.

1. Supposons, en second lieu, que le corps ou point sur lequel agissent les forces P, Q, R, . . . ne soit pas tout à fait libre, mais qu'il soit contraint de se mouvoir sur une surface ou sur une ligne donnée; on aura alors, entre les coordonnées x, v, z, une ou deux équations de condition, qui ne seront autre chose que les équations mêmes de la surface ou de la lij^ne dont il s'agit.

Soit donc

l'équation de la surface sur laquelle le corps ne peut que glisser; on

ajoutera à la somme des moments des forces X^/a -f- Yrf/ -f-Zrfs le

terme \clL (Sect. IV, art. 3), et l'on aura, pour l'équation générale de

l'équilibre,

\ cU -f- Y dy -h Z dz 4- ). dL r^ o,

A étant une quantité indéterminée.

Or, L étant une fonction connue de .r,y, 3, on aura, par la différen-

tiation,

„ dh . ôL j ()L .

</L -- r dx -h -r - «K -f- -T- dz ; ôx ôy ^ ôz

donc, substituant et égalant ensuite séparément à zéro la somme des termes multipliés par chacune des différences dx, dy, dz, on aura ces trois é(|uations particulières de l'équilibre