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d'où, chassant l'indéterminée A, on aura ces deux-ci
ô.r dv ~^ * ^ i)ji' ôz ^
lesquelles renferment, par conséquent, les conditions cherchées de l'équilibre du corps sur la surface proposée.
5. Si Ton applique maintenant ici la théorie donnée dans l'article 5 de la Section IV, on en conclura que la surface doit opposer au corps une résistance égale à
^\mhm-m''
et dirigée suivant la perpendiculaire à la surface qui aurait pour équation rfL = o, c'est-à-dire perpendiculairement a la même surface sur laquelle le corps est posé; et, comme on a
il s'ensuit que la pression du corps sur la surface (pression qui doit être égale et directement contraire à la résistance de la surface) sera exprimée par \/X^ -h Y^ 4- Z^ et agira perpendiculairement à la même surface; c'est uniquement à cette condition que se réduisent les deux équations trouvées ci-dessus pour l'équilibre du corps, comme on peut s'en assurer par la méthode de la composition des forces.
6. Au reste, dans le cas d'un seul corps tiré par des puissances données, on peut trouver encore plus simplement les conditions de l'équilibrci en substituant immédiatement dans l'équation
\d,r -\-Y dy -h Z dz —. o,
à la place de la différentielle dz^ sa valeur
-^-dx -\- r- dv __ dx dy
ôz
tirée de l'équation différentielle de la surface donnée sur laquelle le corps peut glisser et égalant ensuite séparément à zéro les coefficients
(les différentielles dx et dy qui demeurent indéterminées, suivant la méthode générale de l'article 10 de la Section II. On aura ainsi, sur-le-cliamp, les deux équations
dz dz
qui reviennent à celles que l'on a trouvées plus haut. , Pareillement, si le corps était assujetti à se mouvoir sur une ligne de figure donnée et déterminée par les deux équations différentielles dy z= pdx^ dz = qdx, il n'y aurait qu'à substituer ces valeurs de dy et dz dans l^dx -\-\dy -\-Zdz = o, et l'on aurait, en divisant par r/x,
pour la condition de l'équilibre.
Mais, dans tous les cas où il y aurait plusieurs corps en équilibre, la méthode des coefficients indéterminés, exposée dans la Section précédentjB, aura toujours l'avantage, tant du côté de la facilité que de celui de la simplicité et de l'uniformité du calcul.
§ II. — De la composition et de la décomposition des forces. 7. L'équation identique
Vdp-\-(idq-\-Kdr-\-.,. " X dx -h Y dy -f- 7.dz,
trouvée dans l'article i, montre que le système des forces P, Q, R, dirigées suivant les lignes/?, y, r, ... est équivalent au système trois forces X, Y, Z dirigées suivant les lignes x, y, z (Sect. II, art. Ainsi les quantités X, Y, Z donnent les valeurs des forces P, Q, R, décomposées suivant les trois coordonnées rectangles x, y, z e dantes à diminuer ces coordonnées, comme les forces P, Q, R, . . supposées tendre à diminuer les lignes/?, q, r
8. En générai, si des forces quelconques P, Q, R, . . . , dirigées suivant les lignes p, q, r, . . . , agissent sur un même point, on peut toujours réduire toutes ces forces à Ttrois autres dirigées suivant les lignes ^. 4», (p, pourvu que ces trois lignes ne soient pas toutes dans le même plan. Car, comme trois lignes placées dans différents plans suffisent pour déterminer la position d'un point quelconque dans l'espace, on pourra toujours exprimer les valeurs des lignes/?, y, r, . . . en fonctions des trois quantités Ç, 4*» 9» et, par le théorème de l'article 15 de la Section II, les forces P, Q, R, ... seront équivalentes (*) aux trois forces 3, T, $ exprimées par les formules
"^■-"l-^sf-^
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d^ oo c/9
et dirigées suivant les lignes Ç, vj;, f, ou seulement suivant les éléments rfÇ, d^i rfç, si quelques-unes de ces lignes étaient circulaires. Ces formules peuvent être d'une grande utilité dans plusieurs occasions, et surtout lorsqu'il s'agit de trouver les résultantes d'une infinité de forces qui agissent sur un même point, comme l'attraction d'un corps de figure quelconque.
9. Soit m la masse d'un corps dont chacun des éléments dm soit regardé comme le centre d'une force P proportionnelle à dm et à une
fonction /(/>) de la distance />; en faisant ff[p)dp = Y{p), l'élé-
ment dm donnera, dans l'expression de S, le terme — -ti^rfm, dont
l'intégrale relative à toute la masse m sera le résultat de l'attraction de cette masse; et, comme cette intégration est indépendante de la diffé-
( » ) Nou«^ avons remarqué plus haut que co théorème est soumis à des restriclions. \a m^mo observation s'applique à la conclusion qu'on en déduit ici. Foir une Note de M. Poinsot à la fin du Volume. (J. Bertrand.)
rciitiation relative à ^, on pourra donnera Tintégrale dont il s'agit la
forme -Tj^F(/>)</m, de sorte qu'en faisant
on aura
> d2 „, dl ^ dl
d^ â'\f do
et il ne s'agira plus que de substituer au lieu de /?, dans la fonction F(/>), sa valeur. exprimée en fonction des coordonnées qui déterminent la position de chaque particule dm dans l'espace et des coor- <lonnées ^, j», 9 du point attiré, et d'exécuter ensuite séparément l'intégration relative aux premières et les différentiations relatives aux dernières.
Dans le cas de la nature, on a/(/>) = -7; donc ¥{p) = , et, par
conséquent, -1 — — X- •
Soient a, b, c les coordonnées de chaque particule dm du corps; on aura, en supposant la densité de cette particule exprimée par F fonction de a, b, r,
^m -— r da db de ;
donc
^ C\Yda db de
Or, x\y, z étant les coordonnées du point attiré, on a (art. 1)
donc
Tdfïdbdc
Uy
10. Le cas le plus simple est celui oii le corps attirant est une sphère. Dans ce cas, en faisant F = i et supposant le centre de la sphère dans l'origine des coordonnées .r, y, z du point attiré, on a
m étant la solidité de la sphère, qu'on sait être égale à —'r-^ (*n
prenant a pour le rayon et t. pour le rapport de la circonférence au diamètre.
Si la densité F était variable dans l'intérieur de la sphère, en la sup-
On peut encore avoir la valeur de il lorsque le corps attirant est un sphéroïde elliptique, dont la surface est représentée par l'équation
A, B, C étant les demi-axes des trois sections principales, et a, h, c les coordonnées rectangles de la surface prises sur les trois axes et ayant leur origine dans l'intersection commune des axes, qui est le centre du sphéroïde. Mais l'expression générale de cette valeur dépend d'une formule intégrale assez compliquée et par laquelle il est impossible d'avoir 2ii en fonction de x, v, z.
Cependant, si l'on suppose que le sphéroïde soit peu dilférent de \\\ sphère ou que la distance du point attiré au centre du sphéroïde soit fort grande par rapport a ses axes, on peut exprimer la valeur générale de 2il par une série convergente délivrée de toute intégration. M. Laplace a donné, dans sa Théorie des attractions des sphéroïdes ( ' ), une très belle formule par laquelle on peut former successivement tous les termes de
la série et qui montre en même temps que la valeur de — > m étant, la
solidité du sphéroïde, ne dépend que des quantités B- — A- et C- — A-, (jui sont les carrés des excentricités des deux sections qui passent par le même demi-axe A.
J'ai trouvé qu'en partant de ce résultat et faisant usage du théorème que j'ai donné dans les Afémoires de Berlin de 1792-93 (^), on pouvait
(*) Voir Mccamque céleste, t. II, Livre ÏII, Chap. I et II. (/. Bertrand.)
(*) Œuvrex de I^grange, t. V, p. 6î).
