XI

i'2'2 MECANIQUE ANALYTIQUE.

consfruire tout trun coup la série dont il s'agit, par le seul développement du radical

suivant les puissances de h et c, en ne conservant que les termes qui contiennent des puissances paires de h et r et transformant chacun de ces termes, comme H/>^'"c-", en

[1.3.5. . .(2m — i)] [f.3.r>...(2/f-r)]II(H»— A')^^*((?-AM^

m étant la solidité du sphéroïde, qui est exprimée par ^ ABC.

Ainsi, pour avoir tout de suite la série ordonnée suivant les puissances de y et z, on fera

rrny .^*-i- v*4- -S

et Ton développera d'ahord le radical (r*— s^v— icz -{- b^ -\- c-) suivant les puissances de y, :;; en ne retenant que les puissances paires, on aura

3 i,iyi^c^-i 5 - ^S'^-h6^*cM'*c--hc'*3*

( ,.2 .-! ^2 ^. ^2 ) i ^ (,.2^^2^cî)' ^ (,.2^-^Î4 c•')'*

On développera ensuite les radicaux (/--h 6"-f-c^) *, ... suivant les puissances de b\ c-, et l'on transformera ces puissances en puissances de B- — A-, C^ — A^ par la formule donnée ci-dessus. De cette manière, si l'on fait, pour plus de simplicité,

B^-Aî— e% C*— A-=/-,

c et / étant les excentricités des deux ellipses formées par les sections qui passent par les demi-axes A, B et A, C, on aura pour 22 une expression en série de cette forme

PUEMIÉKE PAHÏIE. - SECTION V. J23

dans laquelle

3e*' qe'-h3e^i'

On n'a poussé Tapproxiination que jusqu'aux quatrièmes dimensions de e et de i\ mais il est facile de la porter aussi loin qu'on voudra.

Si le sphéroïde était composé de couches elliptiques de différentes densités, alors, en faisant varier dans l'expression de ^ les quantités A,

B, C et par conséquent aussi e et /, on aurait oTrf^ pour la valeur de 22 relative à ce sphéroïde.

Ayant ainsi la valeur de i) en fonction des coonlonnées rectangles a?, y, 2 du point attiré, on aura immédiatement, par la dilTérentiation,

les forces -ï-> t-> -3- suivant ces coordonnées, dues à l'attraction totale

du sphéroï<le.

Et si, au lieu des coordonnées x^ y et z, on prend le rayon /• avec deux angles [x et v tels que l'on ait

.1- = /• COS |l, »' =::z /sin/jL siiiv, :î r=: /• silIjU. cosv,

on aura l'attraction du sphéroïde décomposée, dans le sens du rayon /• qui joint le point attiré et le centre du sphéroïde, perpendiculairement k ce rayon dans le plan qui passe par le demi-axe A, et perpendiculairement au même rayon dans un plan parallèle à celui qui passe par

les demi-axes B et C, par les trois différentielles partielles

àr r d\i r siiifx (?v

Ces formules sont surtout utiles dans la théorie de h figure de la Terre.

CHAPITHE II.

DR L'f-Ql'ILIBRE DE PLUSIEURS FORCES APPLIQUÉES A UN SYSTÈME DE CORPS, CONSIDÉRÉS COMME DES POINTS ET LIÉS ENTRE EUX PAR DES FILS OU PAR DES VERGES.

11. Quelles que soient les forces qui agissent sur chaque corps, nous avons vu ci-dessus (art. 7) comment on peut toujours les réduire il trois, X, Y, Z, dirigées suivant les trois coordonnées rectangles a\ V, z du même corps et tendantes à diminuer ces coordonnées.

Nous supposerons donc, pour plus de simplicité, ici et dans la suite, que toutes les forces extérieures qui agissent sur un même point soient réduites à ces trois, X, Y, Z. Ainsi la somme des moments de ces forces sera exprimée, en général, par la formule

par conséquent, la somme totale des moments de toutes les forces du système sera exprimée par la somme d'autant de formules semblahles qu'il y aura de corps ou points mobiles, en marquant par un, deux, trois, . . . traits les quantités qui se rapportent aux différents corps que

nous nommerons premier, deuxième, troisième,

De cette manière, on aura donc, pour la somme des moments des forces qui agissent sur trois ou sur un plus grand nombre de corps, la (juantité

\'dx' 4- Y' dy' -h 7J dz' -h X" d.v" -h Y" dy' h- /; dz"

+ X'" cLr"' -h Y'" dy" 4- Yf dz"' 4- ... ;

i'\ il ne s'agira plus que de chercher les équations de condition

résultantes de la nature du problème.

Ayant L, M, N, ... on seulement leurs difTérentielles en fondions (le a'\ y, z\ x'\ ... et prenant des coefficients indéterminés A, u, V, ..., on ajoutera à la quantité précédente les termes

et l'on égalera ensuite séparément à zéro les membres affectés iW chacune des différences dx\ rly\ (h\ dx'\ . . . (Sect. IV, art. 5).

§ I. — De r équilibre de trois on plusieurs corps attaches <) un /il inextensible ou extensible et susceptible de contraction.

VI. Considérons premièrement trois corps attachés fixement ;i un fil inextensible; les conditions du problème sont que les distances (»ntrr le premier et le deuxième corps, et entre le deuxième et le troisième, soient invariables, ces distances étant les longueurs des portions de fil interceptées entre les corps.

Nommant/ la première de ces dislances et g la seconde, on aura

df—o, d:r — o^

pour les équations de condition ; donc

dL = d/, dM = dsr^

et Téquation générale de l'équilibre des trois corps sera

\' djr' -h V dy' -h yj dz' -f- X" dx' 4- Y" dy' h- Z" dz"