X'" dx'" -h Y'" dy'" 4- V dz" -+- >. df -h \i dir -^ o

Or il est visible qu'on aura

-^s\-^'"'-x')'-^(j^-yr--^-(z'^-z''y;

donc, en différentiant,

(^^ __ .r') (^.r" — d.r') -h {y" — y') {dy" — dy') ^(z" — z') (dz" — dz')

df^z

^^^ {x''--,r''){dx''-dr'') -f. (.»;;'--.>''') {dy" — dy") -h (z" - z'^ (dz'^-dz")^

ces valeurs étant substituées, on aura les neuf équations suivantes pour les conditions de l'équilibre du fil

^ -h / • y- IJ. ' T-^- — O,

A -h / — j. — — Pi = o;

• tr

Cl il n\v aura plus qu'à éliminer de ces équations les deux'inconnues X el u.; ce (jui peut se faire de plusieurs manières, lesquelles fourniront aussi des équations différentes, ou présentées différemn>ent, pour l'équilibre des trois corps attachés au fil : nous choisirons celle qui paraîtra la plus simple.

On voit d'abord que, si l'on ajoute respectivement les trois premières écjuations aux trois suivantes et aux trois dernières, on obtient ces trois-ci, délivrées des inconnues A et [x,

lesijuellcs montrent que la somme de toutes les forces parallèles à chacun des trois axes des coordonnées doit être nulle, et ne sont

rUEMIÈHE PARTIE. - SECTION V. 127

qu'un cas particulier des équations générales trouvées dans la Section III, § I.

Il ne reste donc plus qu'à trouver quatre autres équations; pour cela, faisant abstraction des trois premières, j'ajoute respectivemeni les trois du milieu aux trois dernières; j'ai celles-ci, où [u ne se trouve plus,

X^-hX^-h).

l't qui, pur rolimiiialion de A, doiinonl les deux suivaiUcs

Enfin, considérant séparément les trois dernières équations <jui con tiennent jjl seul et éliminant [jl, on aura ces deux autres-ci

Zm ^ l! V"' TU 7 -»■ ^'•

Ces sept équations (*) renferment les conditions nécessaires pour l'équilibre des trois corps et, étant jointes aux équations de condition /et g égales à des quantités données, suffisent pour déterminer la position de chacun d'eux dans l'espace.

(M II est à pcîino besoin do faire observer quo ces sept équations sont, en (|iielquo sorte, évidentes n priori, et qu'on pourrait les écrire sans recourir au principe des vitesses virtuelles. Mais le but do Lagrani^e n'est pas de traiter chaque question particulière de la manière la plus simple : il veut seulement montrer comment on peut se dispenser d'un raisonnement spécial à chaque cas, et réduire la Statique à un simple mécanisme de calcul, liigranf^e, du reste, n'a jamais dit ni prétendu dire qu'il filt convenable d'aborder ainsi l'étude do la Mécanique. (/. Bcrtramî.)

13. Si le fil, supposé toujours inextensible, était chargé de quatre

corps, tirés respectivement par les forces X', Y', Z'; X", Y", Z"; \'\ . . . ^

suivant les directions des trois axes des coordonnées rectangles, on

trouverait, par des procédés semblables qu'il me parait inutile de

répéter, les neuf équations suivantes pour l'équilibre de ces quatre

X' H-V -hX"' -hX'*'=o,

yj 4- // -h // 4- z- — o,

// 4-Z" -hZ- - A" -tCX^-^X'+X'^^zo,