CHAPITRE III
DE L*ÊQUILIBRR U'UN FIL DONT TOUS LES POIMS SONT TIRÉS PAR DES FORCES QUELCONQUES, ET QUI EST SUPPOSÉ FLEXIBLE, OU INFLEXIBLE, OU ÉLASTIQUE, ET KN MÊME TEMPS EXTENSIBLE OU NON.
28. C'est ici le lieu d'employer la méthode que nous avons exposée dans le § II de la Section IV.
Nous supposerons toujours, pour plus de simplicité, que toutes les forces extérieures qui agissent sur chaque point du fil soient réduites à trois, X, Y, Z, dirigées suivant les coordonnées rectangles a% v, z- de ce point. Ainsi, en nommant dm l'élément du fil, lequel est proportionnel à l'élément ds de la courbe multiplié par l'épaisseur du fil, on
aura, pour la somme des moments de toutes ces forces, relativement XI. 19
à la longueur totale du fil, cette formule intégrale (Sect. IV, art. 12)
^{\d.r + Yoy -r Zdz) dm;
et, comme la quantité XS.r h- YSj-hZos n'est qu'une transformée (le r dp -^Qdq -hRcir-h.*. (art. 1), si les forces P, Q, R, ... sont telles que cette quantité soit intégrable, en nommant II son intégrale, on aura, comme dans l'article 25 de la Section IV,
\ox -H \dy -h 7jdz r= oII,
et la somme des moments sera exprimée par [^SlWm.
^ l. — De l'équilibre d'un fil flexible et inextensible.
29. Considérons d'abord le cas d'un fil parfaitement flexible et inextensible; l'élément ds de la courbe de ce fil étant exprimé par
\^dx^ -f- dj' -\- dz^ ,
il faudra, par la condition de l'inextensibilité, que ds soit une quantité invariable et qu'ainsi l'on ait, par rapport à chaque élément du fil, cotte équation de condition indéfinie ods = Q. 31ultipliant donc ods par une quantité indéterminée X et prenant l'intégrale totale, on aura
^Aods; et, si l'on n'a point d'autre équation de condition, on aura l'équation générale de l'équilibre en égalant à zéro la somme des
deux intégrales S^n^'^i et ^"kods.
Or, ayant ds = yjdx^ -^ dy^ -h dz'^ , on aura, en diflerentiant suivant 0,
^ , d,z' odr -+- dv ôdy -h dz odz
ods:^ — -. — • ;
ds
donc
changeant id en do et intégrant par parties pour faire disparaître le d
avant S, suivant les règles données dans Tarticle 15 do la Section IV, on aura ces transformées
S^dx ^ ^„dx" ^ „ ^,dx\ , Ç\ Adx ^
K-rodx— V —np ox" — V -rr ox — \d -, ox, ds ds" ds' O ds '
Ainsi Téquation générale de l'équilibre deviendra
30. On égalera d'abord à zéro (Sect. IV, art. 16) les cootlîcients (le oûT, Sy, ùz sous le signe Q, et l'on aura ces trois équations particulières et indéfinies
X dm — d — ,- = o,
ds
I dm — d —r- = o, ds
Ti dm — d-^-j^ :=o; ds
d'où, éliminant l'indéterminée X, il restera deux équations qui serviront à déterminer la courbe du fil.
Cette élimination est très facile, car on n'a qu'à intégrer les équations précédentes, ce qui donnera celles-ci
dz
'^Ts =C+/Zrfm,
A, B, C étant les constantes arbitraires; ensuite on aura, en chassant X,
^^ ^B-h fYdm
''■^ ~ A +f\ dm '
dz C + /'Z ''■n
dx
équations qui s'accordent avec les formules connues de la chaînette.
Si Ton veut parvenir directement à des équations purement différentielles et sans signe Ç, on mettra les équations trouvées sous cette forme
X ^m — X d—, ^ éfX =: o,
ds ds
\dxx\ -Id^^-^dl^o, ds ds
Zdm —Id—i^ ^ dlz=zo;
ds ds
d'où, éliminant rfX, on aura d'abord ces deux-ci :
\dy-\ dx
ds
p f -. fdy , dx dx . dy\
-d\xi = k\-~- d-^ -r ^-TV
\ds ds ds ds)
\dz — Z dx , ^ /dz . dx dx , ^;;\
ds \ds ds ds ds J
Ensuite, si l'on multiplie les mêmes équations respectivement par
dx dy dz ^ y
-7-' -^^ :7-> <^n aura, a cause de
ds ds ds
dx ^dx dy ,dy dz .dz i , dx^ -+- dy^ -h dz^
ds ds ds ds ds ds 2 ds^ '
l'équation
et il n'y aura plus qu'à substituer successivement dans cette dernière équation les valeurs de X tirées des deux précédentes.
31. Comme la quantité \^ds peut représenter le moment d'une force A tendante à diminuer la longueur de l'élément ds (Sect. IV,
