PREMIÈRE PARTIE. - SECTION V. U

art. 6), le terme ^XSds de l'équation générale de l'équilibre du fil (art. 29) représentera la somme des moments de toutes ces forces A qu'on peut supposer agir sur tous les éléments du fil; en effet, chaque élément résiste par son inextensibilité à l'action des forces extérieures, et l'on regarde communément cette résistance comme une force active qu'on nomme tension. Ainsi la quantité X exprimera la tension du fil.

32. A l'égard de la condition de l'inextensibilité du fil, représentée par l'invariabilité de chaque élément de la courbe ds, on ne peut pas l'introduire dans l'équation de la courbe, en remplacement de l'indéterminée X, comme dans le cas où le fil forme un polygone, parce que, par la nature du Calcul différentiel, la valeur absolue des éléments de la courbe et, en général, de tous les éléments infiniment petits demeure indéterminée; mais aussi, par la même raison, il n'est pas nécessaire qu'il y ait autant d'équations que de variables, et il suffit d'une équation de moins pour déterminer une ligne, soit à simple ou à double courbure. Ainsi la solution que nous venons de trouver par notre méthode est complète à l'égard des équations différentielles et ne demande plus que des intégrations qui dépendent des expressions des forces X, Y, Z.

33. Considérons maintenant les termes de l'équation générale de l'article 29 qui sont hors du signe j§; et supposons premièrement que le fil soit entièrement libre. Dans ce cas, les variations ox\ ùy\ ùz' et ùa/\ Sy, Bz", qui répondent aux deux points extrêmes du fil, seront toutes indéterminées et arbitraires; par conséquent, il faudra que chaque terme affecté de ces variations soit nul de lui-même. Donc il faudra que l'on ait X'= o et X''= o, c'est-à-dire que la valeur de X devra être nulle au commencement et à la fin du fil. On remplira cette condition par le moyen des constantes. Ainsi, comme les trois premières équations intégrales de l'article 30 donnent pour le premier point du fil, où les quantités affectées de f deviennent alors nulles.

et pour le dernier point du fil, où / se change en §,

= A-^Sx^m, r^^^B-h^Y^m, r^ = C-^^Zdirï,

on aura, dans le cas dont il s'agit,

A ~ o, n = o, C = o et

j^ X (im = o, [^ \dïn =0, ^ 7.d\w = o.

Os trois équations répondent, comme l'on voit, à celles de l'article 12 de la Section présente.

34. Supposons, en second lieu, que le fil soit attaché par un de ses bouts ou par tous les deux; et, si c'est le premier bout qui est fixe, les variations Sa?', Sj', Ss' seront nulles, et il suffira d'égaler à zéro les coefficients de lx'\ Sy", 0:;", c'est-k-dire de faire X"= o.

Par la même raison, lorsque le second bout sera fixe, il suffira de fiiire A' = o. Mais, si les deux bouts étaient fixes à la fois, alors il n'y aurait aucune condition particulière à remplir, puisque les variations S.r', 5y', oz\ 8a/\ 8y", Ss" seraient toutes nulles.

35. Supposons, en troisième lieu, que les extrémités du fil soient attachées à des lignes ou surfaces courbes, le long desquelles elles puissent glisser librement; et soient, par exemple,

dz'—a'dx'^b'dy', dz" — a'dx'^ b'dy'

les équations différentielles des surfaces auxquelles le premier et le dernier point du fil sont attachés. On aura pareillement, en changeant

d en 0,

èz' = a' dy 4- b' Ôr', àz" =z a" ox' -4- b' dy' ;

on substituera donc ces valeurs dans les termes dont il s'agit, et l'on éj][alera ensuite à zéro les coefficients de 8x\ 8y, ùœ'\ 8y.

Kn général, on traitera la partie qui est hors du signe dans l'équa-

lion générale de l'équilibre comme si elle était seule et qu'elle représentât l'équation de l'équilibre de deux corps séparés et placés aux extrémités du fil.

36. Supposons, par exemple, que le fil soit attaché par ses deux bouts aux extrémités d'un levier mobile autour d'un point fixe. Soient a, />, c les trois coordonnées rectangles qui déterminent dans l'espace la position de ce point fixe, c'est-à-dire du point d'appui du levier; et soient, de plus, /la distance entre ce point d'appui et l'extrémité du levier à laquelle est attaché le premier bout du fil; g la distance entre le même point d'appui et l'autre extrémité du levier à laquelle est attaché le second bout du fil; h la distance entre les deux extrémités du levier, et, par conséquent, aussi entre les deux bouts du fil : il est clair que ces six quantités a, b, c, /, g, h sont données par la nature du problème, et il est visible en même temps que, oc\y, z' étant les coordonnées pour le commencement de la courbe du fil et x'\ y\ z" les coordonnées pour la fin de la même courbe, on aura

tr

Or, ces quantités y, g, h étant invariables, en difierentiant pur o ces trois équations de condition déterminées, on aura

(a — x')ox' -+-(/> — /) ôv' -\-{c — z') oz' — o,

(a - x')dx"-\-(h — v") $y-\-(c - z") oz'^o,

(jf^ -c') (ôx"— dx') -h (y" -y) (à/'-o/) -+- {z'-z') (oV - 6z) - o,

lesquelles, étant multipliées chacune par un coefficient indéterminé, devront être ainsi ajoutées à l'équation générale de l'équilibre. Ainsi, prenant a, p, y pour les trois coefficients dont il s'agit et égalant à zéro les coefficients des six variations ix\ ov', tz\ lx'\ ov", ^z", on aura

îUilaiU (réqualions particulières déterminées, qui seront

djc'

P(c-;;')-Hy(^'--3')+X''ï^ „,

el qui, par l'élimination de a, p, y, se réduiront à trois.

Ces trois équations, étant ensuite combinées avec les trois équations de condition ci-dessus, serviront à déterminer la position des deux extrémités du fil. -

On voit par là comment il faudra s*y prendre dans d'autres cas semblables.

37. Enfin, si, outre les forces qui animent chaque point du fil, il y en avait de particulières appliquées aux deux extrémités du fil, et représentées par X', V, Z' pour le premier bout du fil, et par X", Y", Z" pour le dernier bout, ces forces donneraient les moments

X'oV 4- Y'oy' -h 7Joz'-\- yj'àx" -4- Vày-" -H 7/ èz\

et il faudrait ajouter encore cette quantité au premier membre de l'équation générale de l'équilibre, c'est-à-dire à la partie qui est hors du signe, laquelle deviendrait alors

-. (x' - >/ ^ ) 0..' ... (v - >.' g:) ir' + (z' - >/ g:) ay.

et sur laquelle on opérerait, dans les différents cas, comme on vient de le voir dans les articles précédents.

38. Supposons maintenant que le fil, animé dans tous ses points par les mêmes forces X, Y, Z et tiré de plus, dans ses deux extrémités, par les forces X', Y', Z', X", Y", Z", doive être couché sur une surface courbe donnée, dont l'équation soit

dz = p dx -f- q dvy

et que l'on demande la figure et la position de ce fil sur la même surface pour qu'il soit en équilibre.

Ce problème, qui serait peut-être difficile (*) k traiter par les principes ordinaires de la Mécanique, se résout très facilement par notre méthode et par nos formules; en effet, par l'équation de la surface donnée, on a, en changeant d en o,

ainsi il n'y aura qu'a substituer cette valeur de oz dans les termes sous le signe de l'équation générale de l'équilibre du fil (art. 29), et ensuite égaler séparément à zéro les quantités affectées de ^x et de Sv. On aura par ce moyen ces deux équations indéfinies

X dm — d ^-j— -f- p ( Z dm — d -^ ) = o, Y dm — d ^ — I- 7 ( Z ^cn — d ^-j^ \ = o,

lesquelles serviront à déterminer la courbe du fil, étant combinées avec l'équation dz=^ pdx -h qdy de la surface et étant débarrassées, par l'élimination, de l'indéterminée X.

(*) On no comprend pas comment Lagranj^e a pu considérer ce problème comme dilUcilc à traiter directement. Les équations auxquelles il parvient expriment simplement que les deux tensions aux extrémités d'un élément, étant combinées avec les forces qui sollicitent cet élément, donnent une résultante normale à la surface. Celte condition est évidente a priori, {J. Bertrand.)