XI

loV MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

39. De plus, comme on suppose le fil appliqué dans toute sa lon- {çueur à la même surface, on aura aussi, pour ses deux points extrêmes.

On fera donc encore ces substitutions dans les termes hors du signe de l'équation générale, ou plutôt dans la formule donnée dans l'article 37, dans laquelle on a eu égard aux forces X', Y', Z', ...; on égalera ensuite séparément ii zéro les quantités affectées de chacune des quatre variations restantes ox\ oy\ ox'\ S/'; on aura ces quatre nouvelles équations déterminées

dx'

auxquelles il faudra satisfaire par le moyen des constantes.

40. Mais, au lieu de substituer, ainsi que nous venons de le faire, la valeur de ^z en èx et 8y tirée de l'équation 8z — pox — q8y = o, on pourrait regarder cette même équation comme une nouvelle équation de condition indéterminée; il faudrait alors multiplier cette équation par un autre coefficient indéterminé jx, en prendre l'intégrale totale et l'ajouter à l'équation générale de l'équilibre (art. 29). De cette manière la partie sous le signe deviendrait

(Zdm-d~ +iA6s^,

et l'on aurait immédiatement ces trois équations indéfinies

Z dm — d —, - -h a — o, as

lesquelles, par Télimination de |jl, redonneront les mêmes équations déjà trouvées (art. 38). Mais ces dernières ont de plus l'avantage de faire connaître en même temps la pression que chaque élément du fil exerce sur la surface, d'après la théorie donnée dans l'article 5 de la Section IV.

En effet, il est facile de déduire de cette théorie que les termes

provenant de l'équation de condition

dz — p ô.r — q dy =: o,

peuvent représenter Teflet d'une force égale à (ji\/i -^ p^ -^^ q^ et appliquée à chaque élément ds du fil dans une direction perpendiculaire à la surface qui a pour équation

àz — pàx — q ô V = 0, ou bien dz — p dx — 7 dy zl. o,

c'est-à-dire à la surface même sur laquelle le fil est supposé couché. Cette surface, par sa résistance, produit la force (Ji\/i -i-//^-+- q'^, laquelle sera, par conséquent, égale et directement contraire à la pression exercée par le fil sur la même surface (Sect. IV, art. 7); de sorte que la

pression de chaque point du fil vSera égale à ^^^ -j- — ^'-y ou hien, en

substituant les valeurs de jjl, (jl/>, [iq tirées des équations ci-dessus.

, ^ ds

On appliquera ensuite les mêmes raisonnements à la partie de l'équation générale qui est hors du signe V et Ton en tirera des conclusions analogues.

41. Si le fil couché sur la surface donnée n'était tendu que par des forces appliquées à ses extrémités, on aurait X = o, Y = o,* Z = o, et, par conséquent, d'k = o (art. 30); donc X est égal à une constante. Ainsi la tension du fil serait partout la même (art. 31), ce qui s'accorde avec ce qu'on sait d'ailleurs. Dans ce cas, la formule générale de l'équilihre du fil se réduirait à

dont le premier terme est la même chose que XSVlrf^ ou XS^. Ainsi

cette éijuation exprime que la longueur de la courbe formée par le fil sur la surface représentée par l'équation dz — pdx — qdy = o doit être un maximum ou un minimum; et la pression exercée par le fil sur chaque point de cette surface sera alors

Or on sait ^^^\/(^-£) "^ (^^) "^ (^5^ ) g^P^*»"^^ l'angle de con-

tingence de la courbe, lequel est égal à — » en nommant p le rayon oscu-

lateur. Ainsi la pression sera égale à - et, par conséquent, en raison inverse du rayon osculateur.

§11. — De r équilibre d'un ^l, ou d'une surf ace flexible et en même

temps extensible et conlractible,

42. Jusqu'ici nous avons supposé que le fil était inextensible; regardons-le maintenant comme un ressort capable d'extension et de con-

traction, et soit F la force avec laquelle chaque élément ds de la courbe du fil tend a se contracter; on aura, comme dans l'article 18 (en mettant ds à la place de/ et en changeant d en S), Ylds pour le moment

de cette force, et xFS^^ pour la somme des moments de toutes les

forces de contraction qui agissent sur toute la longueur du fil. On

ajoutera donc cette intégrale J^ Fôé/y à l'intégrale

Q ( \ Ô^ -h Y av 4- Z 3 ;; ) e/m ,

qui exprime la somme des moments de toutes les forces extérieures qui agissent sur le fil (art. 28), et, égalant le tout à zéro, on aura l'équation générale de l'équilibre du fil à ressort.

Or il est visible que cette équation sera de la même forme que celle de l'article 29 pour le cas d'un fil inextensible, et qu'en y changeant F en X les deux équations deviendront identiques. On aura donc, dans le cas présent, les mêmes équations particulières pour l'équilibre du fil qu'on a trouvées dans l'article 30, en mettant seulement dans celles-ci F a la place de X; et, si l'on élimine la quantité F comme on a éliminé la quantité X, on aura, pour la courbe formée par un fil extensible, deux équations qui seront identiquement les mêmes que celles qui ont lieu pour un fil inextensible.

43. A l'égard de la quantité F qui représente l'élasticité ou la force de contraction de chaque élément dsy il est naturel de l'exprimer par une fonction de l'extension que cet élément subit par l'action des forces X, Y, Z. Ainsi, en supposant que di soit la longueur primitive

de ds, on pourra regarder F comme une fonction donnée de ^; mais,

comme par la nature du Calcul difi^érentiel la valeur absolue des éléments ds demeure indéterminée, la valeur de F sera aussi indéterminée et ne pourra être connue que par le moyen d'une des trois équations de l'équilibre du fil. Ainsi, quoique dans le cas présent notre analyse paraisse donner une équation de trop, elle ne donne néanmoins

que les équations nécessaires pour déterminer la courbe du fil et la résistance de chacun de ses éléments.

Puisque la quantité X de la solution de l'article 30 répond exactement à la quantité F qui exprime la force réelle avec laquelle chaque élément du fil est tendu par l'action des forces extérieures, il s'ensuit' qu'on peut aussi regarder cette quantité X comme représentant la tension du fil inextensible. C'est ce que nous avons déjà trouvé a priori dans l'article 31.

44. Appliquons les mêmes principes à la détermination de l'équilibre d'une surface dont tous les éléments dm soient extensibles et contractibles. L'élément d'une surface dont les coordonnées sonta-, y, z, et où l'on regarde z comme fonction de ,r, j, est exprimé par la formule

Ainsi, en appelant F (*) la force d'élasticité avec laquelle cet élément tend à se contracter, la somme des moments de toutes ces forces sera exprimée par l'intégrale double

ss^-4\/"-isr-(W-''4

(|ui, étant ajoutée à l'intégrale double

( * ) Cette manière d'évaluer l'ensemble des forces que développe l'élasticité sur un point n'est pas suffisamment justifiée. Il est vrai qu'ici, comme dans plusieurs passages précédents, l^grange détourne le moi force de sa signification habituelle; mais il n'est nullement évident que la somme des moments des forces qui agissent sur un élément soit proportionnelle à la contraction de l'élément. Nous pouvons même ajouter que cela n'est pas exact. Poisson en a fait la remarque dans les Mémoires de l'Institut pour Tannée i8ia; du reste, la solution qu'il donne manque elle-même de généralité : elle suppose les tensions d'un élément rectangulaire perpendiculaires aux côtés de cet élément, ce qui n'a pas lieu en général.

(y. BertrtuicL)

oii r/m est l'élément de la surface, donnera la somme des moments de toutes les forces, laquelle doit être nulle dans l'équilibre. En faisant, comme dans l'article 31 de la Section IV,

dz , ôz ÔJC ^ ' ÔY "

on aura

dm V dxdy

z' ô\} z, II ' ôz, Il '

donc(Sect.IV, art. 33, 34)

.WT à\] . ô\}

ÔJT ôy

J ^ i / ,ô6u ô Su

i(Vdx dy) ^ [ôU + U (îj^ + '^)] dx dy.

Substituant ces valeurs dans l'intégrale double xx F o(U r/j;r/v) et faisant disparaître par dos intégrations par parties les différences partielles des variations marquées par o, on aura

C (u ôr + Jl àu\ F </x -H C (u ô.r + y àu\ F dy

OÙ

V — -T 1 r— (îl Su =dz — z' o.r — z.or (arl. cités).

ÔJC ôy '

Les intégrales simples relatives à x et i\y se rapportent aux limite^ et disparaissent d'elles-mêmes, dans le cas où l'on suppose que les bords de la surface sont fixes, parce qu'alors les variations ca\ ov, cz sont nulles dans tous les points du contour de la surface.

Les termes sous le double signe xV étant ajoutés à ceux de l'intégrale double VV (Xo;r -f- Yây -f-Zo2)Ur/a7r/y, on égalera séparément à zéro les coefficients des variations 5.r, o/, ùz, et l'on aura les trois

équations (*)

XU -h¥-z 3 h V-S'ino,

..,, ,,JU dUF ^

àf ôy

ZU - V = o.

Les deux premières donneront la valeur de la force F qu'il faudra substituer dans l'expression de V de la troisième, de sorte qu'on n'aura, on dernière analyse, qu'une seule équation k différences partielles pour déterminer la surface d'équilibre.

En effet, quoique la force F doive être supposée une fonction connue de l'élément ^m de la surface dans son état de contraction ou d'extension, elle n'en demeure pas moins indéterminée, parce que la grandeur absolue des éléments de la surface ne peut entrer dans le calcul; de sorte que la valeur de F ne peut être déterminée que par les conditions mêmes de l'équilibre : c'est ici un cas semblable à celui de l'article 43.

15. Pour éliminer la quantité F, on substituera dans les deux pre-

( 1 ) 11 imporlc de remarquer ici que les conclusions de Lagrango ne subsisteraient plus si Ton supposait $x fonction de la seule variable x et c^ fonction de la seule variable^*, comme on serait tenté de le faire en se rappelant les hypothèses dans lesquelles ont été établies (Sect. IV, art. 33, 31) les formules que Lagrange applique ici. En effet, pour qu'une intégrale

^§ ( A ^x H- B o;M- C (3^3 ) ^ rf/

soit nulle dans ces hypothèses, il n'est plus nécessaire que l'on ail en chaque point

mais il suffit que Ton ait

^Ar//=: o

pour toutes les valeurs de x,

j^Br^r = o

pour toutes les valeurs dc^- et

pour toutes les valeurs de x et de j. Rapprocher cette remarque de la Note relative à l'article 32 de la Section IV. ( G. D.)

inièrcs équations la valeur do V tirée de la dernière; elles deviendront

ÔV ÔY

Soit, comme dans l'article 28,

X djc -i- Y dy 4- Z dz = caj;

on aura, puisque z est ceuvsée fonction de .r, v,

<)II -. „ dz (^11 -, ,. ôz

et les deux équations deviendront, en divisant par T,

(),c âr ÔY ~ ÔY

lesquelles donnent simplement celle-ci

du zzL dv\

F ^ Il + a,

résultat conforme à celui de l'article 36 de la Section IV. Knsuite lu troisième équation donnera, en regardant II comme fonction do .r. v, z,

„<)ii '^-îT '^■r

ôz ô^r ÔY

ce sera Téquation de la surface.

Si la surface différait très peu d'un plan, en sorte que Tordonnée z

fût très petite, alors, en négligeant les quantités très petites du second

ordre, on aurait

F = Il ^ ^,