On aura donc d'abord ces trois équations
X — 3- = o, lY 7-^=0, rZ 7" = O,
ox f)y ()z
lesquelles doivent avoir lieu pour tous les points de la masse fluide.
Ensuite, si le fluide est libre de tous côtés, les variations oa', By\ oz\ ô.r", ôv", Ss", qui se rapportent aux points de la surface du fluide, seront aussi indéterminées, et, par conséquent, il faudra encore égaler séparément à zéro leurs coeffîdents, ce qui donnera A' = o, X" = o, c'est-à-dire en général X = o, pour tous les points de la surface du fluide, et cette équation servira à déterminer la figure de cette surface.
Il en sera de même lorsque le fluide est renfermé dans un vase, pour la partie de la surface ou le vase est ouvert; mais, k l'égard de la partie qui est appuyée contre les parois, les variations o,r\ oy\ cz\ cx'\ oy\ oz" doivent avoir entre elles des rapports donnés par la figure de ces parois, puisque le fluide ne peut que couler le long des parois; et nous démontrerons plus bas que, quelle que puisse être leur figure, les termes qui renfermeut les variations en question seront toujours nuls d'eux-mêmes; de sorte qu'il n'y aura aucune condition relativement à cette partie de la surface du fluid^i.
19. Les trois équations qu'on vient de trouver pour K>s conditions de l'équilibre du fluide donnent
donc, puisque
on aura
-^=rx, ^=.T\\ ~)=TZ; ojr oy dz
du: oy ^ ôz
cO. = r(X (h' 4- Ydr -+- Zdz);
par conséquent, il faudra que la quantité
T(\dx-h\dy-hZdz)
soit une difl'érentielle complète en ce, y, z, et cette condition renferme seule les lois de l'équilibre des fluides.
Si l'on élimine la quantité X des mêmes équations, on aura les sui-
vantes : *
dT\
âTY
ày
dx
dT\
ÔTZ
dz
dx
dTY
ôTZ
âz dy
équations qui s'accordent a^^ec celles de Tarticlc 9.
Ces conditions sont donc nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre en vertu des forces X, Y, Z. Lorsqu'elles ont lieu par la nature de ces forces, on est assuré que l'équilibre est possible, et il ne reste plus qu'à trouver la figure que la masse fluide doit prendre pour être en équilibre, c^est-à-dire l'équation delà surface extérieure du fluide.
Nous avons vu, dans Farticle précédent, qu^on doit avoir dans chaque point de cette surface X = o. Donc, puisque (rk = T{Xdx-{-\dy-\-Zdz), on aura, en intégrant,
lz=ifT{\dx + Y dy -i-Zdz) -hconst.;
par conséquent, l'équation de la surface extérieure sera
fT(\dx-^Ydf-^Zdz)^K,
K étant une constante quelconque; et cette équation sera toujours en termes finis, puisque la quantité r(X^ -h Yrfy -hZdz) est supposée une différentielle exacte.
20. La quantité Xdx -^ Y dy -^ Zdz est toujours d'eJle-même une différentielle exacte lorsque les forces X, Y, Z sont le résultat d'une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances aux centres, puisqu'on a en général, par l'article 1 de la Section V,
\dx-hYdf-hZdz = Pdp-^Qdq-hRdr-^..,,
Nommant cette quantité rfll, on aura alors d\ = Tdl[; donc, pour que
214 MÉCANIQUE ANALYTIQUÏ.
dX soit une diflercnticlle complète, il faudra que F soit une fonction
de II. Par conséquent, \:= f YdW sera aussi nécessairement une fonction de II.
On aura donc dans ce cas, qui est celui de la nature, pour la figure
de la surface, l'équation
fonction de II = K,
savoir II égal à une constante, de même que si la densité du fluide était uniforme. De plus, puisque II est constante à la surface et que F est fonction de II, il s'ensuit que la densité F doit être la même dans tous les points de la surface extérieure d'une masse fluide en équi-? libre.
Dans l'intérieur du fluide, la densité peut varier d'une manière quelconque, pourvu qu'elle soit toujours une fonction de II : elle devra donc être constante partout où la valeur de II sera constante; de sorte que n = A sera en général l'équation des couches de même densité, h étant une constante. Donc, différentiant, on aura
dH^izo ou \dx -hYdv 'k-Zdz=zo
pour l'équation générale de ces couches; et il est visible que cette équation est celle des surfaces auxquelles la résultante des forces X, Y, Z est perpendiculaire et que Clairaut appelle surfaces de niveau. D'où il s'ensuit que la densité doit être uniforme dans chaque couche de niveau formée par deux surfaces de niveau infiniment voisines.
Cette loi doit donc avoir lieu dans la Terre et dans les planètes, supposé que ces corps aient été originairement fluides et qu'ils aient conservé, en se durcissant» la forme qu'ils avaient prise en vertu de l'attraction de leurs parties, combinée avec la force centrifuge.
21. A l'égard de la quantité X dont nous venons de déterminer la valeur, il est bon de remarquer que le terme S^^L de l'équation générale de l'article 10 représente la somme des moments d'autant de forces \ qui tendent à diminuer la valeur de la fonction L (Sect. IV, art. 7); de sorte que, comme on a fait SL = l{dxdydz) (art. il), on
peut (lire que la force X ( * ) tend à comprimer chaque particule dx dy dz (lu fluide; par conséquent, cette force n'est autre chose que la pression que cette particule du fluide soufl^re également de tous côtés et à laquelle elle résiste par son incompressibilité.
On a donc, en général, pour la pression dans chaque point de la masse fluide, l'expression
et, comme la quantité sous le signe doit toujours être intégrahle pour que le fluide soit en équilibre, il s'ensuit que la pression pourra toujours être exprimée par une fonction finie des coordonnées relatives à la particule qui éprouve cette pression; proposition fondamentale do la théorie des fluides donnée par Euler (*).
22. Pour donner une application ^de l'équation II = const., que nous avons trouvée pour représenter la surface d'une masse fluide en équilibre (art. 20), nous allons considérer l'équilibre de la mer, en supposant qu'elle recouvre la terre regardée comme un solide de figure elliptique et peu diff^érent de la sphère, et que chacune de ses particules soit attirée à la fois par toutes les particules de la terre et de la mer, et soit animée en même temps de la force centrifuge provenant de la rotation uniforme de la Terre autour de son axe.
C'est ici le lieu d'employer les formules que nous avons données dans l'article 10 de la Section V. Nous avons désigné par 2 la valeur de la fonction H, lorsque les forces sont le résultat des attractions de toutes les particules d'un corps de figure donnée, et nous avons donné l'expression de 2 pour le cas oii l'attraction est en raison inverse du carré des distances et où le corps attirant est un sphéroïde elliptique peu diff^érent de la sphère. En conservant les dénominations employées
( ' ) La conclusion est exacte, quoique la démonstration ne soit pas suffisante. Nous avons déjà remarqué plusieurs fois qu'on ne peut considérer > comme une force que si l'on consent à étendre la signification habituelle du moi force. (/. Bertrand.)
(*) Mémoires de VAcad(fmie de Berlin; 1765. (/. Bertrand.)
dans cet article et en s'arrêtant aux termes qui contiennent les secondes dimensions des excentricités e et /, on a trouvé
oii ,r, r, z sont les coordonnées rectangles du point attiré; r= y/^a l- v^ i- -2 est la distance de ce point au centre du sphéroïde,
et m est la masse du sphéroïde égale k ^ ABC, A, B, C étant les demiaxes du sphéroïde.
Si Ton dénote par F la densité du sphéroïde supposé homogène, il faudra multiplier cette expression de i) par F; et si Ton suppose que le sphéroïde ait un autre sphéroïde pour noyau, dont la densité soit difl'érente, il n'y aura qu'à y ajouter la valeur de 2 relative à ce nouveau sphéroïde, multipliée par la difFérence des densités. Ainsi, en marquant par un trait les quantités relatives au sphéroïde intérieur et supposant que sa densité soit F -h F', on aura, pour la valeur totale de 2;,
^ Fm -4- r m' Fm (e» -f- £») -+- Fm' (e'« -h i'^)
FmeM-Tm'e'* , Fm/'M-TmV* ,
^ TTTs y ""^ '
23. Supposons que le point attiré par le sphéroïde soit en même temps sollicité par trois forces représentées par /a?, gy et hz dirigées suivant les coordonnées x, y et z^ et tendantes à les augmenter, on aura —fxdx, —gydy^\. — A^rf^ pour leurs moments, et il en résultera les termes — — — ^^ ~ — à ajouter à la quantité 2 pour
avoir la valeur de II due à toutes les forces qui agissent sur le même point. Ainsi l'équation de l'équilihre sera
2 — '■ '^ = consl.
24. Pour appliquer maintenant ces. formules à la question dont il s'agit, on supposera que le sphéroïde extérieur est la mer, dont la
<iensité est F, et que le noyau intérieur est la terre, ayant la densité r 4- P, et Ton placera le point attiré à la surface de la mer, en faisant coïncider les coordonnées x^ y, z de ce point avec les coordonnées a, />, c de la surface du sphéroïde extérieur. On aura alors, pour que cette surface soit en équilibre, l'équation ^
rm + rm^ rm(g»-H £'»)-hrni^(g^' -h i'^ ) jf^'l r 2,5 r^ 2
=:consl.
Cette équation, dans laquelle r= yjx^ -f- j'-t-:?^, donne la figure de la surface ; mais nous avons supposé dans les formules de l'article iO de la Section V que cette surface est représentée par l'équation
en prenant ici ^, j, z au lieu de a, 6, c; donc il faudra que ces deux équations coïncident.
Tirons de celle-ci la valeur de r en y et z, et, pour cela, substituons
dans r' = ^^"f-y*-f- z^ pour x^ sa valeur A^ ^ — r,Y ; on aura,
en mettant pour B* et C^ les valeurs A^ -f- e^, A^ -f- i^ (article cité), «
A*-he* A* -h/
d'où l'on tire, en rejetant les puissances de e et t supérieures a e^ et l^ auxquelles nous n'avons point égard ici,
On substituera donc cette valeur de -> ainsi que celle de .r-, dans XI. • 28
la première équation, et rejetant toujours les termes qui contiendraient
e\ i\ e^P, .. ., on aura
Tni -\- Tm' VxMe"- -h /-) -\- Y'\\\'{e'- -+- i'^) /A*
