COS A

COS|Jt= — r

COSV =r

et l'on aura des expressions semblables en marquant les lettres X, ;x, V, s, u d'un trait ou de deux. Ainsi la détermination des trois axes

principaux pourra toujours s'effectuer parées formules dans tout corps solide de figure quelconque, homogène ou non, pourvu que l'on connaisse les valeurs des quantités/, g^ A, /, //?, n pour une position quelconque donnée du corps, relativement aux axes fixes des rr, y^ z.

En substituant ces valeurs de cosX, cosp., cosv dans les trois équations de l'article 22, on aura les valeurs des moments A, B, C qui seront nécessaires pour faire tourner le corps, avec une vitesse constante donnée Ô, autour d'un axe fixe dans l'espace, dont la position sera donnée parles mêmes angles X, p., v et qui sera en même temps un des trois axes principaux du corps, selon qu'on prendra pour s et ii Tune des trois racines de l'équation en s.

-M. Comme ces trois axes sont toujours perpendiculaires entre eux, on pourra les prendre pour les axes des x\ y, z' dans les formules de l'article 20. On aura ainsi, par la nature de ces axes,

^x'y Dm ■=:i o, ^x'z' Dm = o, ^f z' Dm =: o;

et si Ton fait

l' ^ ^x'^ Dm, m'^ J^/« Dm, /i':= ^;;'« Dm,

les trois équations de l'article cité prendront cette forme très simple

(m' -h n'^'=iK\ (/' +m')a)'=:B',

par lesquelles on a tout de suite les vitesses de rotation vp', cd', ^' autour des trois axes principaux.

C'est ici le lieu de démontrer la proposition que nous avons îndi- (|uée dans l'article 19. En effet, en faisant

A mi o, B 1^ o, Cz-. o,

on aura aussi (art. 20)

donc les équations précédentes donneront

^' =10, Cl)' = O, 9' HZ O,

puisque les quantités /, /w, n ne peuvent jamais être nulles pour un corps de trois dimensions. D'où l'on doit conclure qu'il ne peut y avoir de mouvement de rotation si les moments primitifs sont nuls.

Quand, parmi les trois moments A', B', C, deux sont nuls, comme B' et C, ce qui a lieu lorsque l'impulsion se fait dans le plan des y z\

les deux vitesses de rotation w, (p seront aussi nulles et le corps tournera autour de l'axe principal des x' avec la vitesse '}'. Or, par les formules de l'article 20, on a

A'* -h B" H- C/« = A« -+- B» -+- es

à cause des équations de condition entre les quantités a, ^, y» a » • • • ;

donc, faisant

on aura

et, par conséquent. A' sera constant; donc, par la première équation, la vitesse ']/ sera aussi constante.

32. A l'égard des valeurs de /', m\ n\ il sera facile de les déduire de celles de /, /w, w, /, g^ h\ car les expressions de x^ r, z en x\ y\ z\ en vertu des équations do condition (Part. I, Sect. III, art. 10), donnent réciproquement

.?•'= OLX H- cf! y -h aC z^ z'=i yx 4- y' y H- y' z.

Or, en prenant les axes des x\ y\ z' pour les axes principaux, on

voit par l'article 21 que les quantités a, a', a" sont identiques avec

cosA, cos[iL, cosv, que, pareillement, p, P', P'' seront identiques avec

cosX', cosjx', cosv', et y, y', Y avec cosX", cosix", cosv". Ainsi, en suh-