Dans le cas oii la quantité

P é//> -4- Q rf-7 H- R c^/' -+- . . .

est intégrable, lequel a lieu lorsque les forces P, Q, R, ... tendent à des centres fixes ou à des corps du même système et sont fonctions des distances p^ q^ r, . . . , en faisant

P df/> -h Q é/^ -h R é//* -h . . . = e/n, l'équation précédente devient

j^™(^rf-r + grfrH-^rf. + rfn) = o,

dont l'intégrale est

dans laquelle H désigne une constante arbitraire, égale a la valeur du premier membre de l'équation dans un instant donné.

Cette dernière équation renferme le principe connu boub le nom de conservation d^ forces vives. En effet, dx^ -h dy^ -h dz^ étant le carré de l'espace que le corps parcourt dans l'instant di,

dx* dy^ dz* W^dF'^dî^

sera le carré de sa vitesse, et

\ dl^ "^ dt' "^ dt' )

sa force vive. Donc

Sfdx^ dv^ dz^\ ""'[-dF^dï^-^dï^)

sera la somme des forces vives de tous les corps, ou la force vive de tout le syslème; et Ton voit, par Téquation dont il s*agit, que cette force vive est égale h la quantité