II— 2^nm

laquelle dépend simplement des forces accélératrices qui agissent sur les corps, et nullement de leur liaison mutuelle, de sorte que la force vive du système est à chaque instant la même que les corps auraient acquise si, étant animés par les mêmes puissances, ils s*étaient mus librement chacun sur la ligne qu'il a décrite. C'est ce qui a fait donner le nom de conservation des forces vwes à celte propriété du mouvement.

35. Ce principe a lieu aussi lorsqu'on rapporte les mouvements des corps à leur centre de gravité; car, en nommant, comme ci-dessus, (art. 3) x\ y\ z' les trois coordonnées du centre de gravité, et faisant

les coordonnées Ç, yj, X, auront leur origine dans le centre de gravité On aura ainsi

S(dx^ dy^ dz^\ '" (^^ -^ i^ -^ dF)

rfx'o dl rfv'o dr, ds' r\ dX

même en se choquant, parce que toutes les forces intérieures disparaissent des équations qui renferment ces deux principes.

L'équation de la conservation des forces vives contient tous les termes dus aux forces tant extérieures qu'intérieures et n'est indépendante que de l'action des corps provenant de leur liaison mutuelle. Aussi ce principe a-t-il lieu dans le mouvement des fluides non élastiques, tant qu'ils forment une masse continue et qu'il n'y a point de choc entre leurs parties ; et, si la quantité Ae forces vives ^si la même avant et après le choc des corps élastiques, c'est qu'on suppose que les corps se sont rétablis après le choc dans le même état où ils étaient auparavant; de sorte que les termes fvdp de l'expression n, qui proviennent des forces P dues au ressort des corps, et dont la valeur est la plus grande lorsque la compression est à son terme, décroissent ensuite par degrés égaux pendant la restitution et redeviennent nuls à la fin du choc. C*est uniquement dans cette hypothèse que la conservation des forces vives peut avoir lieu dans le choc des corps élastiques.

Dans tout autre cas, lorsqu'il y a des changements brusques dans les vitesses de quelques corps du système, la force vive totale se trouve diminuée de la quantité des forces vives dues aux forces accélératrices qui ont pu produire ces changements; et cette quantité peut toujours s'estimer par la somme des masses multipliées par les carrés des vitesses que ces masses ont perdues, ou sont censées avoir perdues dans les changements brusques des vitesses réelles des corps. C'est le théorème que M. Carnot avait trouvé dans le choc des corps durs.

37. On peut aussi, dans l'équation de l'article 11 de la Section précédente, supposer les variations Sa?, Sy, 8z proportionnelles aux vitesses X, y, z que les corps reçoivent par l'impulsion. On aura ainsi l'équation

§ [m(i:-4- V»-H i») 4- xi -h Yj -+- Z5] 1= o,

dans laquelle la partie ^m(a7^-i-j^-hG^) représente \a force twe de tout le système.

par la caractéristique ^{'), on aura

OU' zzi zof») — y 3(p, ôf =z xdo — ;; ô'j», oz = y o'b — jr oa>.

Or les trois équations de Tîtrlicle 14, étant multipliées respectivement par ôo, Sco, ô'i et ajoutées ensemble, en faisant passer sous le signe C les différentielles 09, ô(o. S']/, qui sont les mêmes pour tous les corps, donnent, par la substitution des valeurs précédentes,

^ [m (x ou,- -f- j oy -K i ôi) 4- X èà^ 4- Y (5/ -+- Z oz] — o.

Mais l'équation de la force vive trouvée ci-dessus, étant différentiée relativement à S (^), donne

[im^xox 4- JÔ/-+- ;;ô-) -H Xô»r 4- Y ô j 4- Zov] nu o.

Donc on a, par la comparaison de ces deux équations,

^ m (a? dj" 4-^>' oy 4- z oz) = o

et, par conséquent,

ce qui fait voir que la force vive que le système acquiert par l'impulsion est toujours un maximum ou un minimum ('), par rapport aux

(0 Ces variations, représentées par la caractéristique 0, se rapportent aux ebangomonts (lu*éprouvcnt les vitesses par suite de rintroduction de liaisons nouvelles, les forces motrices restant les mêmes. Ainsi, par exemple, dans le cas d'un corps solide, les variations o peuvent résulter de introduction d*un axe fixe dans le système. (7. Bertrand,)

(' ) Si Ton suppose que les variations désignées par 0 soient finies, on aura, en différcntiant l'équation des forces vives,

^ J2m(ioi4-j-o/4-i5i)-hm[(o^r)«H-(d>-)«4-(33)«]4-Xox4-Yoy-4-Z^5 j =0:

et si Ton continue le raisonnement en ayant égard aux nouveaux termes introduits |)ar cette hypothèse, on trouvera

ce qui montre que raccroisscment des forces vives est négatif et égal à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues par les différents points. (/. Bertrand,)

(') Il résulte de la note précédente qu'elle est toujours un maximum. Cette remarquo a'été faite pour la première fois par M. Dclaunay, qui la justifie d'une manière très différente. {Journal de Liouville, i^ série, t. V. p. 255.) (/. Bertnuid.)

rotations relatives aux trois axes; et, comme ces trois rotations se composent en une rotation unique autour de Taxe spontané, il s'ensuit que la position de cet axe est toujours telle que la force vive de tout le système est la plus petite ou la plus grande, par rapport à ce même axe.

Euler avait démontré cette propriété de Taxe spontané de rotation pour les corps solides d'une figure quelconque; on voit par l'analyse précédente qu'elle est générale pour un système de corps unis entrée eux d'une manière invariable ou non, lorsque ces corps reçoivent des impulsions quelconques.

38. Lorsque le système est un corps solide qui peut tourner librement autour d'un point et qui n'est animé par aucune force accélératrice, on peut tirer de la combinaison de l'équation des/orces vives avec celle des aires une relation digne d'être remarquée par sa simplicité, et qui

ne l'avait pas encore été, que je sache, entre les vitesses de rotation l, (o, ç par rapport aux trois axes fixes des coordonnées ^, j, z. Dans ce cas, on a simplement (art. 17)

dx =ix dt^=L{z(ù — y<^)dty dy =zy dt =i(j7cp — z^)dtj

dz =1 zdt z=L{y^]^ — X{ù)dl,

Donc, si l'on ajoute ensemble les trois dernières équations de l'article 9, après les avoir multipliées par 9, (o, '|, qu'on fasse passer ces

quantités sous-le signe §et qu'on substitue -^y ^> 57 ^ '^ place de leurs valeurs, on aura

Sfdx^ dy^ dz^\ . • ^ ,, •

mais l'équation de l'article 34 donne, lorsque n = o,

10 /dx^ dy^ dz^\

Donc on aura

A^-+-Bw-hCcp=:2H, XL 4o

3i'+ MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

A, B, C étant les moments des forces primitives d'impulsion et H étanl

une constante arbitraire, qui doit être nécessairement positive.

Si, dans cette équation, on substitue pour A, B, C les expressions

de l'article 11,

yC, /C, /C,

ou

C'cos/, (]'cos/?i, Ccos/j,

et pour l», (o, ^ celles de Tarticle 17,

Ocosl^ Ocosii, Ocosv, on aura

X ^(cos/cos}. -+- cosm cosjjl h- cosw cosv) =: -py

Dans cette formule, /, m, n sont les angles que Taxe perpendiculaire au p/an irwariable fait avec les axes fixes des x, j, :?, et X, [ii, v sont les angles que Taxe instantané de la rotation composée, dont 0 est la vitesse, fait avec les mêmes axes; donc, si l'on nomme cr l'angle que Taxe instantané de rotation fait avec l'axe perpendiculaire au plan invariable, on aura, par une formule connue,

ces (7 — cos/cosÀ -+-cosmcos]JH- cos/i cosv et, par conséquent.

OcOSfJ z=:

OÙ la quantité -..,- est une constante qui dépend de l'état initial; ce qui

donne un rapport, indépendant de la figure du corps, entre la vitesse réelle de rotation a chaque instant et la position de l'axe de rotation relativement au plan invariable.

Au reste, si l'on prend le plan des.rv de manière qu'il passe par le» centre du corps et par la droite suivant laquelle se fait l'impulsion, les constantes A et B deviendront nulles (art. 16), et l'équation générale trouvée ci-dessus se réduira à

Cq — 2II,

SECONDE PARTIE. - SECTION lll. 315

laquelle fait voir que la vitesse de rotation par rapport à Taxe des z, c'est-à-dire parallèlement au plan de Timpulsion, demeure toujours la même.

§ VI. — Propriétés relatwes à la moindre action,

39. Nous allons maintenant considérer le quatrième principe, celui de la moindre action.

En nommant u la vitesse de chaque corps m du système, on a

j dx^ dy* dz^

et l'équation des forces vives (art. 34) devient

laquelle, étant différcntiée par rapport à la caractéristique 8, donne

Or, Il étant une fonction de />, y, r on a

on r= P (5/7 H- Q Ô7 ^ R 3/ -+- . . . .

Donc

§m (P d/> -^ Q 3^ -f- R 3/ -h . . . ) = — ^m // Su.

Kt cette équation aura toujours lieu, pourvu que

P dp -\- Q dq ^ R dr -{- . . .

soit une quantité intégrable et que la liaison des corps soit indépendante du temps; elle cesserait d'être vraie si l'une de ces conditions n'avait pas lieu.

Qu'on substitue maintenant l'expression précédente dans la formule générale de la Dynamique (Sect. II, art. 5), elle deviendra

Or

d^jc ox -h (l-y oy -\- d^z oz =: d{dx ox h- dy oy -+- dz ôz )

— dx dôx — dy doy — dz doz.

Mais, parce que les caractéristiques d et o représentent des différences ou variations tout a fait indépendantes les unes des autres, les quantités dojL-, doy y doz doivent être la même chose que ùdx, ùdy^ Zdz. D'ailleurs, il est visible que

dx odx -h dy èdy -H- dz odz =i \ o{dx^ H- dy^ H- dz-).

Donc on aura

d*xox -r-d^yoy-i-d^zdz =zd{dxox -h dy oy -^ dz oz) — { o{dx^ -h dy^ -\- dz*).

Soit S l'espace ou Tare décrit par le corps m dans le temps / ; on aura

ds

ds =: \/dx*-\- dy*-t- dz*. dt =: — •

Donc

d*x ox H- d*y èy *-h d* z oz =z d{dx dx -{- dy oy -\- dz oz) — ds àds ;

et, de là,

d*x ^ d*y ^ d*z ^ d(dx ox -h drov -^ dz oz) . ods

-j-r ox H — 7~- Oy H — TV oz ;— 1 — U* —7- •

dt' dt* -^ dt* dt* ds

Ainsi la formule générale dont il s'agit deviendra

S[d(dxox -^dvoY -^dzoz) ^ods ^ "j

ds

OU, en multipliant tous les termes par l'élément constant df = — et remarquant que uods -h dsou = o{uds),

S\~d(dxdx -h dyoy -hdzôz) ^, ,1 '"[ i-' o(«^)j = o.

Comme le signe intégral J^ n'a aucun rapport aux signes différentiels r/ et S, on peut faire sortir ceux-ci hors de celui-là; et l'équation

De là résulte donc ce théorème général :

Dans le mouvement d'un système quelconque de corps animés par des forces mutuelles d'attraction, ou tendantes à des centres fixes y et proportionnelles à des fonctions quelconques des distances, les courbes décrites par les différents corps, et leurs vitesses, sont nécessairement telles que la somme des produits de chaque masse par V intégrale de la vitesse multipliée par l élément de la courbe est un maximum ou un minimum, pourvu que Von regarde les premiers et les derniers points de cliaque courbe comme donnés, en sorte que les t^ariations des coordonnées répondantes à ces points soient nulles.

C'est le théorème dont nous avons parlé à la fin de la première Section, sous le nom de Principe de la moindre action (* ).

40. Mais ce théorème ne contient pas seulement une propriété très remarquable du mouvement des corps, il peut encore servir à déterminer ce mouvement. En effet, puisque la formule ^vàj uds doit être un maximum ou un minimum, il n'y a qu'à chercher, par la méthode des variations, les conditions qui peuvent la rendre telle; et, en employant l'équation générale de la conservation des forces vives, on trouvera toujours toutes les équations nécessaires pour déterminer le mouvement de chaque corps. Car, pour le maximum ou minimum, il faut que la variation soit nulle et que, par conséquent, on ait

ô^m / u ils 1=0; et de là, en pratiquant dans un ordre rétrograde les opérations expo- Ci) L'intégralo Smjudx ost un maximum ou un minimum, si on la compare aux inlcgralcs analogues relatives à tout autre mouvement du système (]ui serait produit par les m^mes forces et dans lequel, malgré rinlroduclion de liaisons nouvelles laissant subsister le principe des forces vives, les positions initiales et finales resteraient les mêmes. Peutêtre cet énoncé, qui résulte évidemment de la démonstration, n'est-il pas rendu assez explicite dans le texte. (/. Bertrand,)

On pourra consulter, au sujet de ce principe, un article d*Ôlinde Uodrigues inséré dans la Corrcxpondaiice de l' École Polytechnique, t. III, p. iSg, et les yorlesungen àber Dr/iamik de Jacobi. G. D.

sées ci-dessus, on trouvera la même formule générale d'où l'on était parti.

Pour rendre cette méthode plus sensible, nous allons l'exposer ici en peu de mots. La condition du maximum ou minimum donne, en général,

et, faisant passer le signe différentiel S sous les signes ^ Gt I (ce qui

est évidemment permis par la nature de ces différents signes), on aura l'équation

ou bien, en exécutant la différentiation par S,

^m / {dsàu -h udds) — o.

Je considère d'abord la partie en mettant pour e/y sa valeur i/rf/, elle devient

xm ju àudty

ou, changeant l'ordre des signes § et f, qui sont absolument indépendants l'un de l'autre,

J dt^muôu.

Or l'équation générale du principe des forces vives donne (art. 34)

§m««=2H-2§mn, (lu étant égal à

Vdp-^Qdq -hl\dr -h. . .;

donc, différentiant suivant o, on aura

^m « 5« =^ - §m dn =12 - ^m (P 3/? -h 0 Ô7 -h R ar + . . .).

320 MÉGANIQUE ANALYTIQUE.

parce que, n étant supposée une fonction algébrique de /?, 7, r, . . . , la différentielle SlI est la même que du, en changeant seulement ri

en S. Ainsi la quantité

m / dsoi/

se réduira à cette forme

— fdt §m (P dp 4- Q 07 -+- Il or -t- . . .). Je considère ensuite l'autre partie

jCm / uods,

et j'y substitue, à la place de ds, sa valeur exprimée par des coordonnées rectangles, ou par d'autres variables quelconques. En employant les coordonnées rectangles .r, y, z, on a

ds z=z \/dx^ 4- dy^ -^dz^;

donc, différentiant suivant 0,

, . d.r ^ dy ^, dz ^ .

ods —- —r- odx -H -T-ody -+- -r-odz, ds ds " ds

ou bien, en transposant les signes d, 0 et écrivantes au lieu de or/, ce qui est toujours permis à cause de l'indépendance de ces signes,

, , dx .^ dy j^ dz ,^ ods=^ —r dox H — ^ doy -h -r doz ; ds ds '^ ds

on aura ainsi, en substituant cette valeur et mettant 6^/ à la place de ~>

* li

Comme il se trouve ici, sous le signe intégral /, des différentielles des variations 6cc, ôv, oz, il faut les faire disparaître par Topération connue des intégrations par parties, suivant les principes de la méthode

des variations. On transformera donc la quantité / -^rfSa? en celle-ci, qui lui est équivalente,

djr ^ r^ ,dx

-j~ox — I oxd-j-:

dl J dl '

et, supposant que les deux termes de la courbe soient donnés, en sorte que les coordonnées qui répondent au commencement et à la fin de rintégrale ne varient point, on aura simplement

dx .^ r^ ,dx

/rf7''^^ = -./'°""^^

On trouvera de même

et, pareillement,

de sorte qu'on aura cette transformée

Donc la quantité

^m fudds

deviendra, en transposant les signes § et / et supposant di constant,

fdl^m(ôa:d^+èyd^+ôzd

L'équation du maximum ou minimum sera donc

laquelle devant avoir lieu, en général, pour toutes les variations possibles, il faudra que la quantité sous le signe y soit nulle h chaque instant; on aura ainsi Téquation indéfinie

équation qui est la même chose que la formule générale de la Dynamique (Sect. II, art. 5), et qui donnera par conséquent, comme celleci, toutes les équations nécessaires pour la solution du problème. XI. 4i

41. Au lieu (les coordonnées x, y, 5, on peut eniployer d'autres indéterminées quelconques, et tout se réduit a exprimer l'élément de Tare ds en fonction de ces indéterminées. Qu'on prenne, par exemple, le rayon ou la dislance rectiligne à l'origine des coordonnées, qu'on nommera p, avec deux angles, dont l'un >[' soit l'inclinaison do ce rayon sur le plan des xy et l'autre 9 soit l'angle de la projection du même rayon sur ce plan avec l'axe des x\ on aura

c = psin'|, y — pros']/sin9, ./• =ipcos'<{^coscp,

et, de là, on trouvera

ds^— djT'-^- dr*-{- dz^—dp^-\- p*(é/'|»*-h cos^^^o*),

expression qu'on pourrait aussi trouver directement par la Géométrie. DifFérentiant donc par 0 et changeant od en dû, on aura

cfs 0 ds =: dp {/ op -f- p {d-y -h cos* •>[; ^9* ) 00

-r- p' ( dl do'\f -- si n «i; cos -^ do^ ô*^ 4- cos' ^doddc^);

d'où, en divisant par di -- — et en intégrant, on aura

/• > / r jA'do dop (dY , , do^\ , 1

C , ( * d'h {/d'b , . , , d^^ ^ , - . , do ri do\

On fera disparaître de dessous le signe / les doubles signes ^0 par des intégrations par parties et l'on rejettera d'abord les termes qui contiendraient des variations hors du signe /, parce que ces variations, devant alors se rapporter aux extrémités de l'intégrale, deviennent nulles par la supposition que les premiers et derniers points des courbes décrites par les corps soient donnés et invariables. On aura ainsi cette transformée

laod, = - I diios^- jcitU-^-p-j^-pcos-'l^'-Up

depuis le moment où ils partent des points donnés jusqu'à celui où ils arrivent à d'autres points donnés, soit un maximum ou un minimum. On pourrait donc l'appeler, av(»c plus de fondement, le principe de la plus grande ou plus petite force rive; et cette manière de l'envisager aurait l'avantage d'être générale, tant pour le mouvement que pour l'équilibre, puisque nous avons vu, dans la troisième Section de la 1*^* Partie (art. 22 ), que la forre vive d'un système est toujours la plus grande ou la plus petite dans la situation d'équilibre.