DE DYNAMIQUE
1. La formule à laquelle nous avons réduit, clans la deuxième Section, toute la théorie de la Dynamique n'a besoin que d'être développée pour donner toutes les équations nécessaires à la solution de quelque problème de cette science que ce soit; mais ce développement, qui n'est qu'une affaire de pur calcul, peut encore être simplifié à plusieurs égards par les moyens que nous allons employer dans cette Section.
Comme tout consiste à réduire les différentes variables qui entrent dans la formule dont il s'agit au plus petit nombre possible, par le moyen des équations de condition données par la nature de chaque problème, une des principales opérations est de substituer à la place de ces variables des fonctions d'autres variables. Cet objet est toujours facile à remplir par les méthodes ordinaires; mais il y a une manière particulière d'y satisfaire relativement à la formule proposée, qui a l'avantage de conduire toujours directement à la transformée la plus simple.
2. Cette formule est composée de deux parties différentes qu'il faut considérer séparément.
La première contient les termes
qui proviennent uniquement des forces résultantes de Tinertie d corps.
La seconde est composée des termes
§m (P 3/7 -+- Q 07 -h R âr -h . . .)•
dus aux forces accélératrices P, Q, R, ... qu'on suppose agir effee vement sur chaque corps suivant les lignes/?, y, r, . . . , et qui tende à diminuer ces lignes. La somme de ces deux quantités, étant égal à zéro, constitue la formule générale de la Dynamique (Sect. 1 art. 5 ).
3. Considérons d*abord la quantité il est clair que, si Ton y ajoute celle-ci
dx do.r H- dy doY -H dz dèz,
la somme sera intégrablc et aura pour intégrale
d.r dur -h dy èy -h dz dz.
D'où il suit que Ton a
d^x 6x -h d*y ôy -\- d* z dz =: d {dx 6x -h dy dy -h dz èz)
— dx ddx — dy ddy — dz ddz.
Or, le double signe rfS étant équivalent à Id par les principes c la quantité dxdBx -+- dydly -h dzdùz peut se réduire à la forr
dxddx -f- dy ddy -\- dz ddzy
c'est-à-dire à
\d{dx^^dy^^dz^).
Ainsi l'on aura cette réduction
d^x dx + d^y dy -hd^zdz^ d(dx dx -h dy dy -}- dz 0^) — J d(dx^ 4
par laquelle on voit que, pour calculer la quantité proposée
il suffît de calculer ces deux-ci, qui ne contiennent que des différences premières,
dx Sx -+- dy dy -\- dz dz^ dx^ -\- dy- -\- dz^,
et de différentier ensuite l'une par rapport h d et l'autre par rapport à ô.
4. Supposons donc qu'il s'agisse de substituer a la place des variables x,y, z des fonctions données d'autres variables ^, 1» 9» •••: différëntiant ces fonctions, on aura des expressions de la forme
<ix =: A ^ç H- B d]t -\- C ^9 -h ... , dy =1 A' d^ -¥- B' d']f -h C dcp -^ . , ,, dz =z X'dl -h- Wd^ 4- CV9 -H . . . ,
dans lesquelles A, A', A", B, B', ... seront des fonctions connues des mêmes variables ^, ^, ç, . . . ; et les valeurs de Ix, oy, ùz seront exprimées aussi de la même manière, en changeant seulement rf en §.
Faisant ces substitutions dans la quantité docùx-^-dy^y-^-dz^z, elle deviendra de cette forme
où F, G, H, I, ... seront des fonctions finies de i, ^, 9,
Donc, changeant S en d, on aura aussi la valeur de
dx^ -\- dy^ 4- dz'^
laquelle sera
Ffif?*-h 2G rf? ^^ 4- H (^+«-h 2I ^; ^9 4-. . . .
Qu'on différentie par d la première de ces deux quantités, on aura la différentielle
-^d{{^dl)o'}^^d{Gd^]^)Sl-^GdldS^-\-Gd^dSl -h^(H^i{>)ô^4-H^^r/d+ 4-...;
diflerentiant ensuite la seconde par 5, on aura celle-ci :
oF dç^-h iY dl oeil
2 dCi dl (i^ -+- iikd'\f odl 4- 2G ^; d^'|
Si donc l'on retranche la moitié de cette dernière différentielle de la première, et qu'on observe que do et od sont la même chose, on
aura
d{Vdl)àl-~-\oYdi^
diCw dl) Ô'I -\- ^(G ^'^) 5? - oG dl r/'|
pour la valeur transformée de la quantité
d^x ox 4- d^y oy -\- d*z $z.
Or il est visible que cette valeur peut se déduire immédiatement de la dernière différentielle, en divisant tous les termes par 2, en changeant les signes de ceux qui ne contiennent point la double caractéristique od, et en effaçant dans les autres le rf après le S, pour l'appliquer aux quantités qui multiplient les doubles différences affectées de 8d. Ainsi le terme ^Frf;^ donne — ^âFrf^^, le terme -iFdqod^ donnera r/(Frf$) Si, le terme 2^Gd^d'^ donnera — BGd^d']f, le terme '2Gd'\^od^ donnera d(Gd'\f)8^, et ainsi des autres.
5. D'où il s'ensuit que, si l'on désigne par $ la fonction de $, j», 9. . . . et de d^, d'^, rfç, . . . dans laquelle se transforme la quantité
y{d,r^^dy^-}-dz^)
par la substitution des valeurs de x, v, - en $, 4'» ?• • • •» o" aura, en général, cette transformée
d^u- dx 4- d* y oy -\- d* z oz =^ -\-l — -t:: -{- d
odlj "^
X \- d -zr-r- I 00
en dénotant, suivant l'usage, par -p- le coefficient de S^ dans la différence 0$, pî^r v-^ le coefficient de SrfÇdansla même différence, et ainsi des autres.
6. Ce qu'on vient de trouver d'une manière particulière aurait pu l'être plus simplement et plus généralement par les principes de la méthode des variations.
Soit, en effet, O une fonction quelconque de x, v, :?,... , dx, dy, dz, ..., d^x, d^y, d^z, ..,, laquelle devienne une fonction de ^, 'j*» o, . .., rfÇ, d]f, d^, .. ., rf^$, rf^'j/, rf^ç, .. ., par la substitution des valeurs de X, y, z, ... exprimées en $, 4», o, ... ; en différentiant par rapport à o, on aura cette équation identique
04> == 4- ^— (îo^ -h ir-i— odx 4- >. ,- dd*jc -h . . .
0>r oax od^x ,
ùy ^ ody *^ ad^y
Ov d«5 oa-z
0^5 ^ dé/'l ^ 0^/9 ^
Qu'on y change les doubles signes Sa?, Srf^, ... en leurs équivalents do.d^l, ...; qu'ensuite on intègre par rapport à^et qu'on fasse disparaître, par des intégrations par parties, tous les doubles signes r/§,
d^l, . . . sous le signe intégral / qui se rapporte au signe différentiel r/;
on aura une équation de cette forme
/(AÔX + B57-4-CÔ3 +...)4-Z = l\k'èl -h B'*| -f- C'Ô9 -+-. . .) -h/y,
