Il résulte de là que, pour avoir la valeur de la quantité
en fonction de l, '\i, 9, ..., il suffira de chercher la valeur de la quantité
en fonction de $, '^j 9, ... et de leurs différentielles; car, nommant T cette fonction, on aura sur-le-champ la transformée
/' 3T dT\,. /,ÔT arx,, / . 8T 8T\ , ^
Et celte transformation aura lieu également quand même, parmi les nouvelles variables, il se trouverait le temps /, pourvu qu'on le regarde comme constant, c'est-à-dire qu'on fasse Bt = o.
De plus, il est facile de voir qu'une pareille transformation aura lieu aussi dans le cas où les variations S^, Sj», S^, ... ne seraient pas des diiTérenlielles exactes, pourvu qu'elles représentent des quantités indéterminées et que la variation ST soit de la forme
^,„ oT ^^ oT , ^v oT ^ , oT . ^ , ,
rîX rïT fîX
quelles que soient d'ailleurs les coefficients ^.j -7^» tt> —
8. Au reste, il est bon de remarquer quo, si l'expression de T renferme un terme rfA, qui soit la différentielle complète d'une fonction A <lans laquelle une des variables, comme Ç, n'entre que sous la forme finie, ce terme ne donnera rien dans la transformée précédente, relativement à cette variable. Car, faisant
Oc, a']f '
on a
Donc djj^ — ^> coeflficient (le SÇ, deviendra
Il s'ensuit de là que, si l'expression de T contenait un terme de la forme BrfA, A étant fonction de i, 'j», ..., sans rf$, et B une fonction quelconque sans Ç, ce terme donnerait simplement, relativement à la
variation de i, le terme ^rfB.
Car, donnant au terme BrfA la forme rf(BA) — A e/B, on voit d'abord que le terme rf(BA) ne donnerait rien relativement a la variation de $, puisque AB contient ^ sans rfÇ; ensuite, comme dB ne contient point $ ni dl et que A contient l sans rf^, on voit qu'en faisant T = — Ar/B, on aura
-T-Tv =0 et ^ = — -j^ rfB ;
de sorte que le coefficient de ôÇ se réduira a -^dB.
9. A l'égard de la quantité Po/i-f- Qoy -h RSr-f-.. ., elle est toujours facile à réduire en fonction de $, '\f, ç, ..., puisqu'il ne s'agit que d'y réduire séparément les expressions des distances p.Çy r, ... et des forces P, Q, R, — Mais cette opération devient encore plus facile, lorsque les forces sont telles que la somme des moments, c'est-à-dire la quantité
Vdp-\-Q dq 4- R ^/- -h . . . ,
est intégrable, ce qui, comme nous l'avons déjà observé, est proprement le cas de la nature.
33i MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
(]ar supposant, comme dans rarticlc 34 de la Section III,
dnz=:P dp -^Qdf/-^l\dr -{-..,,
on aura II exprimé par une fonction finie de />, q, r, ...; par conséquent, on aura aussi
on = Pôyr,-+-Qo7-hRô/ -h...
Multipliant par m et prenant la somme pour tous les corps du système, on aura
j§m(P ô/? -H Q 07 -f- Rôr -+-. . .) = S'^ ^'^^ ^ S"^'^'
puisque le signe § est indépendant du signe 8.
Il n'y aura ainsi qu'à chercher la valeur de la quantité ^i^^U en fonction de ^, '|, 9, ...; ce qui ne demande que la substitution des valeurs de .r, V, :?,... en Ç, ']f, ç, ..., dans les expressions de />, y, ... (P* Partie, Sect. Il, art. 1); et cette valeur de ^mll étant nommée V, on aura immédiatement
10. De cette manière, la formule générale de la Dynamique (art. 2) sera transformée en celle-ci
dans laquelle on aura
-—./il. ?I ^X
n - ^ il __ ^ av
. . 3T ÔT d\
en supposant et
r/n = P ^/> 4- Q ^y 4- K dr
Si les corps m et m' du système, regardés comme des points dont la distance mutuelle estp, s'attiraient avec une force accélératrice représentée par P fonction de p, il est facile de voir que le moment de cette force serait exprimé par mm'P dp, et il faudrait ajouter à la valeur de V
la quantité ïïinfi'/ Pdp; et ainsi s'il y avait dans le système d'autres
forces d'attraction mutuelle.
En général, si le système renfermait des forces quelconques F, G, . . ., tendantes à diminuer la valeur des quantités/, g, ..., on aurait Fâ/, Go^, ..., pour les moments de ces forces (P^ Partie, Sect. II, art. 9); et en regardant F comme fonction de/, G comme fonction de g, etc., il faudrait ajouter à la valeur de V autant de termes de la forme f^df, j Gdg, . . . qu'il y aurait de pareilles forces.
Or, si dans le choix des nouvelles variables Ç, ^, ç, . . . on a eu égard aux équations de condition données par la nature du système proposé, en sorte que ces variables soient maintenant tout à fait indépendantes les unes des autres, et que, par conséquent, leurs variations S$, S'j'» 09, ... demeurent absolument indéterminées, on aura sur-le-champ les équations particulières
lesquelles serviront à déterminer le mouvement du système, puisque ces équations sont en même nombre que les variables ^, '\f, 9, . . . d'où dépend la position du système à chaque instant.
11. Mais, quoiqu'on puisse toujours ramener la question a cet état, puisqu'il ne s'agit que d'éliminer, par les équations de condition, autant de variables qu'elles permettent de le faire, et de prendre ensuite pour i, '^, 9, . . . les variables restantes, il peut néanmoins y avoir des cas où cette voie soit trop pénible et où il soit à propos, pour ne pas trop compliquer le calcul, de conserver un plus grand nombre de variables. Alors les équations de condition auxquelles on n'aura pas encore satisfait devront être employées à éliminer, dans la formule générale, quelques-unes des variations ôÇ, S'j'^ •*• -5 w^ais, au lieu de
réiimination actuelle, on pourra aussi faire usage de la méthode des
multiplicateurs, exposée dans la 1'* Partie (Sect. IV).
Soient
* les équations dont il s'agit, réduites en fonctions de Ç, 4» ?• •••• ^^
sorte que L, M, N, ... soient des fonctions données de ces variables. On ajoutera au premier membre de la formule générale (article précédent) la quantité
>.oL-H.uoM-+-vfîN-H...,
dans laquelle X, [jl, v, ... sont des coefficients indéterminés; et Ton pourra regarder alors les variations 0$, S'J;, 8ç, ... comme indépendantes et arbitraires.
On aura ainsi Téquation générale
Z 5; -+- ^r «î']; 4- 4> ^9 -h . . . 4- X «îL 4- |Jt dM 4- V 3N -4- . . . = o,
laquelle, devant être vérifiée indépendamment des variations S$, 8'\f,
09, ..Tt donnera ces équations particulières pour le mouvement du
svstème
« .3L ÔM 8N
,-, ^ oL <5\I âN
*!' 4- / -^ 4- ft ^rr -^ '-^ T1- 4- . . . = O,
d'où il faudra ensuite éliminer les inconnues X, [jl, v, ..., ce qui diminuera d'autant le nombre des équations; mais, en y ajoutant les équations de condition qui doivent nécessairement avoir lieu, on aura toujours autant d'équations que de variables.
12. Comme ces équations peuvent avoir différentes formes plus ou moins simples, et surtout plus ou moins propres pour l'intégration, il n'est pas indifférent sous quelle forme elles se présentent d'abord; et c'est peut-être un des principaux avantages de notre méthode, de
fournir toujours les équations de chaque problème, sous la forme la plus simple relativement aux variables qu'on y emploie, et de mettre en état de juger d'avance quelles sont les variables dont l'emploi peut en faciliter le plus l'intégration. Voici, pour cet objet, quelques principes généraux, dont on verra ensuite l'application dans la solution de différents problèmes.
Il est clair, par les formules que nous venons de donner, que les termes différentiels des équations pour le mouvement d'un système quelconque de corps viennent uniquement de la quantité T qui ex-
I [ dx^ dy* dz^\
prime la somme de toutes les quantités -m ( ^ "^ 5? "^ ^) r^'^^'~ vement aux différents corps; chaque variable finie, comme i, qui en-
(îT
trera dans l'expression de T donnant le terme — ^) et chaque variable
différentielle, commet?, donnant le terme d^r^p^- D'où Ton voit d'abord
que les termes dont il s'agit ne pourront contenir d'autres fonctions des variables que celles qui se trouveront dans l'expression même de T; par conséquent, si, en employant des sinus et cosinus d'angles, ce qui se présente naturellement dans la solution de plusieurs problèmes, il arrive que les sinus et cosinus disparaissent de la fonction T, elle ne contiendra alors que les différentielles de ces angles, et les termes en question ne contiendront aussi que ces mêmes différentielles. Ainsi il y aura toujours à gagner, pour la simplicité des équations du problème, à employer ces sortes de substitutions.
Par exemple, si, à la place des deux coordonnées cc,y^ on emploie le rayon vecteur r, mené du centre des mêmes coordonnées et faisant avec l'axe des x l'angle ç, on aura
jr = /cos9, r=:rsin9
et, différentiant,
dx = cos <p dr — r sin 9 ^9, dy :=: sincp dr -{- r cos 9 e/9 ;
donc
^ dx* -h dj'* — dr* -h /•* É^9*,
