XI
expression fort simple, qui ne contient ni sinus ni cosinus de îj», mais seulement sa difTérentielle rfç. De cette manière, la quantité (Iv^ -4- dy^ H- dz^ se trouvera changée en r* do^ -{-dr^-^ dz^.
On pourrait encore substituer, au lieu de r et z, un nouveau rayon vecteur p avec Tangle ^ que ce rayon fait avec r, qui en est la projection; ce qui donnerait
r:=r:p cos 4»» 5 = p sîn ^|;
et, par conséquent,
(le sorte que la quantité
dj^^-\- dy^-\- dz*
serait transformée en celle-ci :
Ici il est clair que p sera le rayon mené du centre des coordonnées au point de l'espace où est le corps m, '\f sera Tinclinaison de ce rayon sur le plan des œy, et ç l'angle de la projection de ce rayon sur U» même plan avec Taxe des .r ; et l'on aura, comme dans l'article 4 de la Section 11, V^ Partie,
.r = pcos4^cos9, / — 9 cos'^^sino, ^i^psin^»-
Knfin, on pourra employer à volonté d'autres substitutions, et, lorsque le système est composé de plusieurs corps, on pourra les rapporter immédiatement les uns aux autres par des coordonnées relatives; les circonstances de chaque problème indiqueront toujours celles qui seront le plus propres. On pourra même, après avoir trouvé, d'après une substitution, une ou quelques-unes des équations du problème, déduire les autres d'autres substitutions; ce qui fournira de nouveaux moyens de diversifier ces équations, et de trouver les plus simples et les plus faciles à intégrer.
13. Les autres termes des équations dont il s'agit dépendent des forces accélératrices qu'on suppose agir sur les corps et des équations
de condition qui doivent subsister entre les variables relatives a la position des corps dans l'espace.
Lorsque les forces P, Q, R, . . . tendent à des centres fixes ou à des corps du même système et sont proportionnelles à des fonctions quelconques des distances, comme cela a lieu dans la nature, la quantité V, qui exprime la somme des quantités
J'(Pdp-{-Qdq-hRdr-^-.,.)
pour tous les corps m du système, sera une fonction algébrique des distances et fournira, pour chaque variable Ç dont elle se trouvera
ôV
composée, un terme fini de la forme -rr- De même, les équations de condition
fourniront pour la même variable Ç les termes ^-gr» -rr^ •••? et ainsi
des autres; de sorte qu'il n'y aura qu'à ajouter à la valeur de V les quantités XL, [jlM, ..., en regardant ensuite X, jx, ... comme constantes dans les différentiations en S.
Si donc quelques-unes des variables qui entrent dans la fonction T n'entrent point dans V, ni dans L, M, . . ., les équations relatives à ces variables ne contiendront que des termes différentiels, et l'intégration n'en sera que plus facile, surtout si ces variables ne se trouvent dans Tque sous la forme différentielle. C'est ce qui aura lieu lorsque, les corps étant attirés vers des centres, on prendra, pour coordonnées, les distances a ces centres et les angles décrits autour d'eux.
14. Une intégration qui a toujours lieu, lorsque les forces sont des fonctions de distances et que les fonctions T, V, L, M , . . . ne contiennent point la variable finie /, est celle qui donne le principe de la conservation des forces vives. Quoique nous ayons déjà montré comment ce principe résulte de notre formule générale de la Dynamique (Sect. III, art. 34), il ne sera pas inutile de faire voir que les équa-
lions particulières déduites de cette formule fournissent toujours une équation inlégrable, qui est celle de la conservation des forces vives. Ces équations, considérées dans toute leur généralité, étant chacune de la forme (art. 11)
oT ^ oV ^ . aL ^M
0 az, oc, o; 0; o;
si on les ajoute ensemble après les avoir multipliées par les différentielles respectives d^.d]/, ... et qu'on fasse attention que les quantités V, L, M, ... sont par l'hypothèse des fonctions algébriques des variables $, 'j», . . . sans /, il est clair qu'on aura l'équation
d^, — ^]dl-{- (ci ^-77 s, W'J' -H. . .-h dV -\-ldL~{- !J.d^l -^. . .— o;
mais,
étant les équations de condition, on aura généralement
dL ■=^ o, dM rr: o, ... ;
par conséquent, l'équation précédente se réduira a
Or on a
d v-p — -yr ) ^ 4- . . . -i- dV — o .
od^ \ 0 «4 / od:^
et comme T est une fonction algébrique des variables $, J;, ... et de leurs différentielles rf$, e/'|, . . . sans /, on aura
jrr. 'îT ,„ oT ,, w oT , , ^ f 7* I
04 Odç 0']t ^ 6 d'if
donc l'équation deviendra
laquelle est évidemment intégrable et dont l'intégrale est
^-ïv dl -f- =— 77 t/d» -h . . . — T 4- V — const.
Maintenant, puisque
d,v^ dy* dz^
il est évident que, quelques variables qu'on substitue pour x, y, z, la fonction résultante sera nécessairement homogène et de deux dimensions relativement aux différences de ces variables; donc, par le théorème connu, on aura
d^-\- ^r:jjd^-\'.. .=:2T.
odi "^ ' àd^
Donc l'intégrale trouvée sera simplement
T H- Vi=:consl.,
laquelle contient le principe de la conservation des forces vives (Sect. III, art. 34).
Si la quantité V n'était pas une fonction algébrique ( '), on n'aurait
pas
