J dl-\-, ..-jrfV

et si les quantités T, L, M, ... contenaient aussi la variable /, alors

( ') Il faut, pour comprendre ce passage, se rappeler la définition de la fonction V. On a

posé (art. y)

du — l» dp -T- Q dq -\-V< dr -h . . . ,

puis ensuite

V = Smn.

Pour que V soit, suivant l'expression do Lagrange, une fonction algébrique, il faul et il suffit que n en soit une, c'est-à-dire que

Vdp-^Qdq-^-^dr^...

soit une différentielle exacte; si cela n'a pas lieu, la fonction U n'existe plus, et il en est de môme de V : fonction algébrique signifie simplement ici fonction, et cette expression ne doit, en aucune façon, être regardée comme opposée à celle de fonction non algébrique.

(/. Bertrand.)

leurs (lifTérentielIes eTT, dL, dM, ... contiendraient aussi les termes

jicft, Tj dt, -jrdt, ...; donc les réductions qui ont rendu Téquation

intégrable n'auraient plus lieu, ni par conséquent le principe de la conservation des forces vives.

15. Quoique le théorème sur les fonctions homogènes dont nous

venons de parler soit démontré dans différents ouvrages, et qu'on

puisse, par conséquent, le supposer comme connu, la démonstration

que voici est si simple que je ne crois pas devoir la supprimer. Si F est

une fonction homogène de différentes variables a-, y^ .... et qu'elle

soit de la dimension n, il est clair qu'en y mettant ax^ ay^ ... k la

place de J?, y, . . ., elle deviendra nécessairement «"F, quelle que soit

la quantité a. Donc, faisant a == i -4- a, et regardant a comme une

quantité infiniment petite, l'accroissement intiniment petit de F, dû

aux accroissements infiniment petits aj?, ay, ... de .t, j^, ..., sera /2aF.

Mais, en faisant varier ^r, j, . . . de a^, aj, . . ., on a, en général, pour

la variation de F,

oF ÔF ,

■î; 5C vT — r~ ^> Cf. y ~t- ....

Donc, égalant ces deux expressions de l'accroissement de F et divisant par a, on aura

^, ÔF ÔF

ùx oy^

16. L'intégrale relative à la consennlion des forces vives est d'une grande utilité dans la solution des problèmes de Mécanique, surtout lorsque la fonction T ne contient que la différentielle d'une variable qui ne se trouve point dans la fonction V; car cette intégrale servira alors a déterminer cette même variable et k éliminer des équations différentielles.

A l'égard des intégrales qui se rapportent k la conservation du mouventent du centre de gravité et au principe des aires, et que nous avons déjà trouvées d'une manière générale dans la Section III, elles se présenteront d'elles-mêmes dans la solution de chaque problème, pourvu

qu'on ait soin, dans le choix des variables, de séparer le mouvement absolu du système des mouvements relatifs des corps entre eux, ainsi que nous l'avons fait dans la Section citée.

Les autres intégrales dépendront de la nature des équations différentielles de chaque problème, et l'on ne saurait donner de règle générale pour les trouver. Il y a cependant un cas très étendu qui est toujours susceptible d'une solution complète en termes finis : c'est celui où le système ne fait que de très petites oscillations autour de sa situation d'équilibre. Nous destinons une Section particulière à ce problème, k cause de son importance.

17. Lorsque le système dont on cherche le mouvement est composé d'une infinité de particules ou éléments dont l'assemblage forme une masse finie de figure variable, il faut employer une analyse semblable à celle que nous avons exposée dans le § II de la Section IV de la r« Partie; mais à la place de la caractéristique d^ que nous y avons employée (art, H et suiv.) pour désigner les différences des variables relatives aux différents éléments du système, il faudra substituer la caractéristique D, qui répond à la caractéristique intégrale §, relative à tout le système, afin de pouvoir conserver l'autre caractéristique d pour les différences relatives au temps, auxquelles nous l'avons destinée dans la Section II de la 11*^ Partie, article 7.

Ainsi, en nommant m la masse entière et Dm un de ses éléments, il faudra mettre Dm au lieu de m dans les expressions de T et de V de l'article 10.

S'il y a pour chaque élément du corps des forces F, G, . . . qui tendent à diminuer les quantités/, g^, ... dont ces forces sont fonctions, il faudra ajouter à la valeur de V les expressions S/Frf/*, SJ Gdg, ....

Et s'il y a des équations de condition

qui doivent avoir lieu à chaque point de la masse m, il faudra mettre

[^XoL, §[jlSM, ... à la place de XSL, [jloM, ..., dans les formules de rarticle H.

Les quantités/, g, . . . , ainsi que L, M, . . . , pouvant renfermer des différences des variables relatives à la caractéristique D, il faudra alors faire disparaître les doubles signes SD, SD*, . . . par l'opération connue des intégrations par parties, de manière qu'il ne reste sous le signe j^ ([uo les variations simples marquées par S; et les termes hors du signe § se rapporteront uniquement aux extrémités des intégrales.

Il faudra enfin avoir égard aussi aux forces et aux équations de condition relatives k des points déterminés de la masse m, et en tenir compte dans la formule générale; mais elles ne donneront que des termes indépendants du signe §.

Les variations qui resteront sous le signe § donneront, en égalant

leurs coefficients a zéro, autant d'équations indéfinies pour le mouvement de chaque élément du système; et les variations hors du signe donneront des équations déterminées pour certains points du système.