SECTION CINQUIÈME

METHODE GENERALE D APPROXIMATION POUR LES PROBLÈMES DE DYNAMIQUE, FONDÉE SLR LA VARLVTION DES CONSTANTES ARBITRAIRES.

Les équations générales que nous avons données dans la Section précédente, étant du second ordre, demandent encore des intégrations qui surpassent souvent les forces de l'analyse connue; on est obligé alors d'avoir recours aux approximations, et nos formules fournissent aussi les moyens les plus propres à remplir cet objet.

I. Toute approximation suppose la solution exacte d'un cas de la question proposée dans lequel on a négligé des éléments ou des quantités qu'on regarde comme très petites. Cette solution forme le premier degré d'approximation, et on la corrige ensuite en tenant compte successivement des quantités négligées.

Dans les problèmes de Mécanique qu'on ne peut résoudre que par approximation, on trouve ordinairement la première solution en n'ayant égard qu'aux forces principales qui agissent sur les corps; et, pour étendre cette solution aux autres forces qu'on peut appeler perturbatrices y ce qu'il y a d(î plus simple, c'est de conserver la forme (le la première solution, mais en rendant variables les constantes arbitraires qu'elle renferme; car, si les quantités qu'on avait négligées e! dont on veut tenir compte sont très petites, les nouvelles variables seront à peu près constantes, et Ton pourra y appliquer les métbodes ordinaires d'approximation. Ainsi la difficulté se réduit a trouver les équations entre ces variables.

On connaît la métbode générale de faire varier les constantes arbitraires des intégrales des équations différentielles, pour que ces inté- XI. 44

grales conviennent aussi aux mêmes équations augmentées de certains termes; mais la forme que nous avons donnée, dans la Section précédente (art. 10), aux équations générales de la Dynamique a l'avantage de fournir une relation entre les variations des constantes arbitraires que l'intégration doit y introduire, laquelle simplifie singulièrement les formules de ces variations, dans les problèmes où elles expriment TefTet des forces perturbatrices. Nous allons d'abord démontrer cette relation; nous donnerons ensuite les équations les plus simples pour déterminer les variations des constantes arbitraires dans les problèmes dont il s'agit.

55 I. — Oti l'on déduit des équations données dans la Section précédente une relation générale entre les v^ariations des constantes arbitraires.

2. Soit un système quelconque de corps m, animés par des forces arcélératrices P, Q, R, ... qui tendent à des centres quelconques, fixes ou non, et qui soient proportionnelles à des fonctions quelconques do leurs dislances /i, y, r, ... à ces centres.

Supposons que, en ayant égard aux équations de condition du système, on ait exprimé les coordonnées .r, y, :; de cbacun des corps en fonctions d'autres variables ^, '|, 9, ... qui soient tout à fait indépendantes entre elles et qui suffisent pour déterminer la position du système à chaque instant.

On aura, pour le mouvement de tout le système, les équations de Tarticle 10 de la Section précédente, et il est facile de voir que ces équations seront du second ordre par rapport aux variables $, 'J;, 9, ... : de sorte que les valeurs complètes de ces variables, qu'on trouvera par l'intégration et qui seront exprimées en fonctions du temps /, contiendront deux fois autant de constantes arbitraires qu'il y a de variables, (lomme ces constantes doivent demeurer arbitraires, on peut les faire varier à volonté; ainsi l'on pourra différentier les équations dont il s'agit relativement à ces constantes, qui sont supposées contenues dans les expressions des variables $, '|, 9,