Faisons, pour plus (le siiD{)Iicité
dl — l' dt, d\ = y dt, d^ — ^'dt, ... ;
la quantité T deviendra une fonction de \, j», 9, ... et de $', ^', 9, ... ; et si les forces tendent à des centres fixes ou à des corps du même système, la quantité V sera une simple fonction de i, 4*» ?» Dans ce
cas, en faisant Z = T — V, on aura
aT I c)Z ÔT I ÔT oT 1 d7.
) "<— rr — '-,- -vv77>
àdl^dtô^' od'\,~^dtdl' dd^^^dtâ^'
où Ton pourra changer la caractéristique 0 en d, puisqu'elle ne sert qu'à représenter des différences partielles.
Ainsi les équations différentielles du mouvement du système (art. 10, Sect. IV), étant multipliées par dt, se réduiront à cette forme plus simple
4. Différentions ces équations par rapport à la caractéristique 0 (' ), que nous regarderons comme relative uniquement aux variations des constantes arbitraires qui sont censées contenues dans les expressions des variables ^, '|, 9, ... dont Z est fonction; et comme la caractéris-
tique r/, qui affecte les termes rf^, » ^xif/» ••» \\^^i relative qu'à la
variable / qui représente le temps, on pourra, par les principes du calcul des variations, changer la double caractéristique od en dl\ de
( 1 ) On suppose ici que, ces équations ayant été intégrées, on ait substitué aux variables I, ^, . . . leurs expressions générales fournies par cette intégration. Les équations deviennent alors identiques et l'on peut les différentior par rapport aux diverses lettres qui y figurent. (7. Bertrand.)
3i8 MÉCANIQUE A^ALYT1QUE.
sorte qu'on aura les équations
tlo -zr: — 0 -TT- dt = O,
De même, si, pour représenter des variations difTérentes des mêmes constantes arbitraires, on emploie la caractéristique A, on aura
— \ .-V rt< — o.
— A -j-rtf o.
— 1 -,— (Il ■=. O,
5. Multiplions maintenant les premières équations respectivement par A$, A']/, A9, ..., et retranchons de leur somme celle des dernières équations multipliées respectivement par o5, 0]/, 09, ...; on
aura
A; ^•î -i^ t- A'L r/o ^ H- Ao ^/o ~ -h . . .
— 0; r/A -..^ — 07 aA -rj^ — 09 dl -r— r -+-... </; ^ ah ^ J9
Or A^^/ap = ^^U^^^) - <l^^'> ^^r, mais r/A^ = Ar/S = A$'r//, à cause de c^ = $'<//; donc
A; ./a g .. ./(a? 5 i| ) - A;' 5 g dl.
On aura pareillement
et ainsi des autres formules semblables.
Par le moyen de ces transformations, l'équation précédente deviendra de cette forme
dt
dt -=. o.
6. Or, si l'on développe les expressions s ^> s -T77>«--> ainsi que les
expressions semblables A-r^^^ ^ ^' '"^ ^" regardant Z comme fonction de i, ']/, (p, ... et de ^' ^', 9', ..., il est facile de voir que les termes multipliés par é?/ dans l'équation précédente se détruisent mutuellement. En effet, on a
o -rr =
F «i'-t--- + :5HF5?'+:5Hr'^'J'' +
«^^jy ~ d? <)<jy " ^ JtJ/» -T ■ • • • ' ^^ f,^ -s ^^ ^^
.dZ d^l .. <^«Z ,, <^»Z ,., d«Z .,,
ce qui donne, en ordonnant les termes par rapport aux différences partielles de Z, ce développement
As. N O/a » I ^ 0^* A ^' '' ^^ A I / "^ ''^
Kn changeant les caraeléristiques o, A Tune dans l'autre, on aura le développement de l'expression semblable
>v. * </A ^, . (J/j ^ta, 4 U/j NI/ 4 ^^
o; A -TvT -h- o'*^ A -r-r -+-... 4- o; A ^=:7 -+- O'i/' A -rv-, 4-
<;; ^ c/'l' ai &Y
Mais on voit que ce changement n'en produit aucun dans le développement précédent; d'où il suit que les deux expressions sont identiques : de sorte que, comme elles se trouvent dans l'équation ci-dessus avec des signes différents, elles doivent s'y délruire.
