Ainsi l'on aura simplement l'équation
dans laquelle on peut changer Z en T, puisque Z = T — V et que V ne doit point contenir les variables $', '\\ o', .. . ( art. 3). On voit par cette équation que la quantité
A>o^4-A.].o^4-Aoo^^-,4-...
oçA^-o'».A^-o9A^-...
veau problème, lesquelles seront ainsi
a -T^. — T^ dt ^=1 -^ lit, c^; c>; de,
. dl 07. ,, OU .
(l --p, ^ — dt— -TY dt,
r/ -r— , — — dt -- -r- dt.
9. Si Ton suppose connues les expressions des variables ^, ']/, ç, . .. en / et en constantes arbitraires dans le cas où les seconds membres (le ces équations sont nuls, on peut, en conservant ces mêmes expressions mais en rendant variables leurs constantes arbitraires, faire en sorte qu'elles satisfassent aussi a la totalité de ces équations; et l'objet de Fanalyse que nous allons exposer est de donner les formules les plus simples pour la détermination de ces constantes devenues variables.
Nous remarquerons d'abord que, puisque ces constantes sont en nombre double de celui des variables ^, vp, (p, . . ., comme nous l'avons déjà observé (art. 2), et, par conséquent, en nombre double de celui des équations auxquelles il faut satisfaire, on pourra encore les assujettir à un nombre de conditions arbitraires égal à celui de ces variables.
Les conditions les plus simples et en même temps les plus appropriées à la chose sont que les valeurs de — y -^, ^^, ••• conservent aussi
la même forme que si les constantes n'y variaient point. De cette manière, non seulement les espaces parcourus par les corps, mais encore leurs vitesses seront déterminés par des formules semblables, soit que les constantes arbitraires demeurent invariables, comme lorsqu'il n'y a point de forces perturbatrices, soit qu'elles deviennent variables par l'effet de ces forces.
Ces conditions auront de plus l'avantage de réduire au premier ordre les équations différentielles entre les nouvelles variables, de sorte
valeurs, il est clair que les termes
se détruiront d'eux-mêmes et pourront, par conséquent, être effacés. On aura donc simplement, pour la variation des constantes arbitraires, les équations
^âï'^jr' Vf-"5ï;''^' ^(V^"^^^' ■-
qu'il faudra combiner avec les équations données ci-dessus
Ces équations, étant en nombre double de celui des variables ^, ^f o, ... et, par conséquent, en même nombre que les constantes arbitraires (art. 2), serviront à déterminer toutes ces constantes devenues variables.
11. Les équations qu'on vient de trouver, étant multipliées respectivement par AH, A'j», A9, ... et ensuite ajoutées ensemble, donnent
Ici A^, A'>|^, A9, . . . indiquent, comme dans l'article 4, des différentielles des fonctions Ç, ]/, 9, •.. prises en faisant varier seulement les constantes arbitraires d'une manière quelconque, soit qu'elles varient toutes en même temps, ou quelques-unes seulement à volonté.
Or, en regardant Cl comme une fonction de H, 4'» ?» • • • » on aura, en différentiant par rapport à A,
Donc on aura
... àil.. âil., ail.
t't qu'on substitue ces valeurs dans le second membre de Téquation de Tarticle précédent, on pourra j faire / = o, ce qui les réduira aux seuls
premiers termes a, p, y, . . . , X, (jl, v,
Cette équation se réduira ainsi a la forme
Ml dt — Aa ÔX -h A;3 ô/Ji 4- Ay ôv -}-... — AX da — Ajui d(3 — Av oy —
13. Les quantités a, p, y, . . . , X, (ji, v, . . . ne peuvent être que fonctions des constantes arbitraires que la double intégration introduit dans les expressions finies des variables Ç, 4*» ?» • • • » ^^ ''^" P^^^ aussi les prendre pour ces mêmes constantes.
En effet, les constantes arbitraires qui donnent à la solution d'un problème de Mécanique toute l'étendue qu'elle peut avoir sont les valeurs initiales des variables, ainsi que celles de leurs différences premières, c'est-à-dire les valeurs de H, 4'» ?» ••• et de ~> -^> -^> •••>
lorsque / = o; ces valeurs sont donc, dans les expressions de Ç, '^» ?» ••• que nous avons adoptées, a, p, y, . . . , a', P', y', Or, T étant une
fonction donnée de i, '4, ç, ... et de $'= ~> 4* = ^' ?'= ^' ' '»
/îT /IT /îT
il est clair qu'en faisant / = o dans les fonctions -p,? -r-n» t-/*"' c^ qui
les réduil à X, (x, v, ..., ces constantes X, (ji, v, .. . seront les mêmes fonctions des constantes a, p, y, ..., a', P', y', ... que les fonctions
W' ^* X"'' '" '^' ^^"^ ^^^ variables Ç, 4» ?» • • •» ^'» 4» ?» ^^^
conséquent, au lieu de prendre immédiatement a', P', y', . . . pour constîintes arbitraires, on peut prendre celles-ci, X, (jl, v, ..., qui en dépendent. Ainsi l'on aura a, p, y, . . . , X, (jl, v, . . . , pour les constantes arbitraires des expressions de $, 4'» ?» • • • ; et Ton voit que le nombre (le ces constantes sera précisément double de celui des variables $,
De celte manière, la différentielle Au, dans laquelle la caractéristique A ne doit affecter que les constantes arbitraires contenues dans 12, à raison des valeurs de $, 4» ?» ••• qui renferment ces con-
stantes, deviendra
AÎ2 = 3— A« 4- -T^ Ap -f- r— Ay H- . . . H- -3r- AA H- ^— AiJH- -y- Av 4-
â<x âp oy ' oK dix. * c/v
En la substituant dans le premier membre de l'équation de rarticlo précédent et ordonnant les termes par rapport aux différences marquées par A, on aura
(g.,-«)4«.(|*-a^)4f.(f*-av)i......
Comme on peut donner aux différences Aa, Ap, ... marquées par la caractéristique A une valeur quelconque, il faudra que l'équation soit vérifiée indépendamment de ces différences, ce qui donnera autant d'équations particulières, telles que
—- dt^i oh, -T-o- dt =^ OU.y —- Cf/ zn dv, . . . ,
ooL dp ' oy
--^dt^=z — da, -^—-dtz= — op, -^dt:=. — oy, ....
ah a/JL a^J '
14. Les différences marquées par la caractéristique S sont proprement les différentielles des constantes arbitraires devenues variables (art. 10); ainsi, comme ces différentielles peuvent maintenant être rapportées également au temps /, il est permis et même convenable de changer les S en rf, et l'on aura, pour la détermination des nouvelles variables a, p, y, . . . , X, (jl, v, . . . , les équations
doL d^ dt âl'
6/(3 dil dt dix'
dy dil
dt " dv '
dk dQ.
dt "*" da '
dfj. dil dt "'^ d^'
c^v dil dt "^ dy '
qui sont, comme l'on voit, sous une forme très simple, et qui fournissent ainsi la solution la plus simple du problème de la variation des constantes arbitraires.
Vi» MÉCAMQIE AXALYTIQLE-
i.j. i'jjmme la fonction il renferme les quantités z, 3, 7. ...: /.• u,
/ il faudra les regarder aussi comme variables dans les différences
(lartielles de cette fonction: mais, lorsque la valeur de û, qui dépend dt's forces perturbatrices, est supposée fort petite, il est clair que les variations de ces quantités seront aussi fort petites, et qu*on pourra, dans la première approximation, les regarder comme constantes dans les différences partielles de û et n'avoir égard à leur variabilité que dans les approximations suivantes.
Dénotons par a, 6, r, . . .; /, /ti, /i, . . . les parties constantes de z, ^. Y, ...; A, a, V, ..., et par a', ^', y'; //, a', v', ... leurs parties variables, qui, étant de Tordre de la quantité û, seront nécessairement très petites, et soit 0 la valeur de û en y changeant a, ^, y* --•• ^* H-* ^« -en a, 6, r, ...;/, /ti, /i, ....
On aura ainsi
y. ^z i -r //, yi^i m -T- IJl\ V ^r /J -r- v', ,
ef Ton aura, par le développement.
dl ' dm ^ an
Les équations ditrérentiolles de rarticle précédent donneront
,/«..__.^^,, rf^=__^,, cly^z-^^di
cO. — 4- , dt, fiijL'= -T- -T7- dt, dj' —-^—-di^ . . . ;
<;« '^ c/t' oc
car il est évident que les différences partielles relatives à a, p, y» •••? A, UL, V, ... peuvent être rapportées aux quantités analogues a, 6, c, ...; /, //2, n^ ....
Pour la première approximation, on aura
G étant une simple fonction de t; donc on aura par l'intégration
En substituant ces valeurs dans l'expression de Q, on aura, pour la seconde approximation,
do rdo ,. do rào ^
al
^ ~~ dl J âa âaj
âaj dl dm J db ôb j dm
dt
et ainsi de suite.
16. Il y a ici une remarque importante a faire. Si la fonction 0 ne contient le temps que sous les signes de sinus et cosinus, il est clair que la valeur de H ne contiendra, dans la première approximation, que les mêmes sinus et cosinus. Mais on pourrait douter si, dans l'approximation suivante, elle ne contiendrait pas des termes où le temps / serait hors des signes de sinus et de cosinus, et qui, croissant continuellement, augmenteraient à l'infini la valeur de £1 et rendraient, par conséquent, l'approximation fautive.
Pour lever ce doute, nous remarquerons que de pareils termes ne pourraient venir que d'une partie constante de û, c'est-k-dire dégagée de tout sinus ou cosinus renfermant le temps t.
Soit donc A cette partie qui sera fonction des constantes arbitraires a, p, y, ...; X, (x, v, .... Ainsi G contiendra une pareille fonction de «, 6, c, ,..; /, m, n, ..., que nous dénoterons encore par A.
En substituant A au lieu de G dans l'expression de û de l'article précédent, on aura la partie de 12 due à la constante A dans la seconde
approximation, et cette partie sera
ôl âa âa âl dm ôb db dm
OÙ l'on voit que les termes affectés de t se détruisent mutuellement.
Ainsi Ton est assuré que la seconde approximation ne donne dansÛ aucun terme qui croisse avec le temps t\ mais il resterait à voir s'il en pourrait naître dans les approximations suivantes.
Au reste, le même terme constant A pourrait donner encore dans û des termes multipliés par /, étant combiné avec des termes non constants de la même fonction û; mais alors le / qui se trouverait dégagé des sinus et cosinus serait en même temps multiplié par des sinus ou cosinus d'angles proportionnels au temps. La même chose aurait lieu si le coefficient de t sous les signes de sinus et cosinus était fonction des constantes arbitraires a, p, y, ..., parce qu'alors les différentiations partielles de 12, relatives à ces constantes, feront sortir t hors des sinus ou cosinus. Mais on peut remarquer, en général, que, lorsque les approximations successives font paraître des termes de la forme dont il s'agit, dans lesquels des sinus ou cosinus se trouvent multipliés par l'angle qui est sous ces sinus ou cosinus, ces sortes de termes sont presque toujours le résultat du développement d'autres sinus ou cosinus, et l'on peut les éviter en intégrant directement les équations différentielles entre les constantes arbitraires devenues variables.
17. Quoique les constantes arbitraires que nous avons employées soient celles qui se présentent le plus naturellement et qui donnent les résultats les plus simples, il arrive souvent que les différentes intégrations introduisent à leur place d'autres constantes, mais qui ne peuvent être que des fonctions de celles-là.
Nous désignerons, en général, les constantes arbitraires qui sont censées entrer dans les expressions des variables H, ^, ç, ... par «, i, r, ..., dont le nombre doit être également double de celui des variables; et, pour avoir les relations entre ces nouvelles constantes et
SECONDE PAUTIE. - SECTION V. 361
les premières, il suffira de supposer ; = o dans les valeurs des fonc-
/YV /W /)T
lions H, 4*» Çf ..•; ^jr> Tr,9 -r-?> ••• et d'égaler les résultats aux quantités a, p,Y, ...; X, [X, V, .... De cette manière on aura autant d'équations entre ces différentes constantes, par lesquelles on pourra déterminer
les valeurs de a, 6, c, . . ., en fonctions de a, p, y, , . .; X, (jl, v,
Nous supposerons donc ces fonctions connues, et la différentiation nous donnera tout de suite
, âa . da ,^ da ,
da j^ âa , da , -h ^^r-ai. 4- ^r- au 4- -t- «V -h
Donc, substituant les valeurs trouvées ci-dessus (art. 14) de rfa, r/p, . . ., et divisant par r//, on aura
cla__ àaà^ da d^ âa â^
dt ~"^ dl â^ ~^ âii â^ '^ â-^ ây '^'"
àad^dadilâaâil doc dl ô^ diJ. dy d^
\\ en est de même des valeurs de ^> ^> •••> pour lesquelles il n'y aura qu'à changer dans l'équation précédente a en A, en c,
18. Mais ces formules contiennent encore les différences partielles de li relatives aux constantes a, ^, y, . . ., et il s'agit de les changer en différences partielles relatives à a, 6, c, ..., ce qui est facile par les opérations connues.
En effet, comme H est censée maintenant fonction de a, b, c, ... et que ces quantités sont elles-mêmes fonctions de a, p, y, •..; X, [jl, V, . . ., on a tout de suite, par l'algorithme des différences partielles,
âil â^âa â^âO ^ de
âx âa âoL âb âa âc âoc " ' ' '
âil â^âa â^âb dû de
d(3 — da â^~^ âb â^'^ âc â^'^'"
