XI
et il n'y aura plus qu'à substituer ces valeurs dans celles de -^-> -7-> • •• (le l'article précédent.
Kn faisant ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux
différences partielles de û, on voit d'abord que le coefficient de ""
est nul dans la valeur de ^> que celui de ^ est nul dans la valeur de db
dt Ensuite, si, pour représenter la valeur de -^% on emploie la formule
da , ^ dil , ,â^
on aura
/ f X àa db da db da db
d\ dx d\t. d^ dv dy da db da db da db
doL dl
dy dj
da de "^ dl doc
da de ^ d'iM d^
da de dv dy
da de da de da dJ dy. d\ d'^ d[i. dy dv
Kt, pour avoir la valeur de — > il n'y aura qu'à changer dans ces formules a en 6 et h en a, en remarquant que l'on a
{b,a)z=:—{ay b);
on aura ainsi
db / ,x^^ . ,. x^^
. db de db de db de
db de db de db de dx dl d^ d^i. dy d'J
Kii général, si k représente une quelconque des constantes arbitraires a, A, c, . . ., et qu'on observe que la valeur des symboles représentés par deux crocbets devient nulle lorsque les deux lettres renfermées entre les crocbets sont identiques, et qu'elle cbange simplement de signe lorsqu'on cbange Tordre de ces lettres, on aura ces formules
générales
, , dk da dk da dk da
oK 07. ô\i. dp UJ Oy
dk ôci dk ôa ôk ôa
ôoL ô'i. dp ô[i ây ÔJ
19. Le principal usage de ces formules est dans la tbéorie des planètes, pour calculer l'effet de leurs perturbations en le réduisant à la variation des constantes arbitraires qui sont les éléments du mouvement primitif. Elles sont surtout utiles pour déterminer les variations que les astronomes appellent séculaires, parce qu'elles ont des périodes hès longues et indépendantes de celles qui ont lieu dans les variables primitives.
Comme les équations de Tarticle 18 ne contiennent d'autres fonctions du temps que les différences partielles de la fonction ii, si l'on cbercbe, par la résolution en séries ou autrement, la partie A de la fonction 12 qui est indépendante du temps / et ne contient que les constantes arbitraires «, A, c, ..., il suffira de substituer dans ces équations A au lieu de û, et l'on aura directement les équations entre les quantités a, b, r, ..., devenues variables, et le temps /, lesquelles serviront a déterminer leurs variations séculaires, parce qu'elles sont débarrassées de tout sinus ou cosinus.
§ III. — Oà l'on démontre une propriété importante de la quantité qui expritne la force vive dans un système trouble par des forces perturbatrices.
20. Les constantes arbitraires dont nous venons de donner les variations dépendent de la nature de chaque problème et ne peuvent être déterminées que dans les cas particuliers. Il y en a cependant une qui a lieu, en général, pour tous les problèmes où V n'est fonction que de Ç, ^, ç, ..., c'est celle que l'intégration doit ajouter à /; car, comme les équations différentielles ne renferment alors que l'élément rf/, il est clair que, dans les expressions finies des variables en fonction de/, on peut toujours mettre / plus une constante arbitraire a la place de /.
Désignons cette constante par K et rapportons-y les différences marquées par la caractéristique A dans la formule générale de l'article 11. On aura ainsi
Ai2=^AK. A^=fAK. A4>=^AK. ....
Mais, puisque Ç, '|, 9, ... sont fonctions de / -+- K, il est clair qu'on
aura
àl di__^,
et, de même,
ÔK- dt-^' âW- dt -"^^
Donc
A^ = ;'AK, ^ — flK, A9 = cp'AK,
Par la même raison, on aura
âZ àZ
xày^- à^^'xK A^^ ^'^'ak
Mais les équations diflerentielles de l'article 3 donnent
Donc on aura
dt ~ dl
dt ~ d<\i
. dT. d7j ..-
Ainsi ia formule générale de l'article H deviendra par ces substitutions, et après la division par AK,
à^ j. ^,^àT ii^à'L ,^ô7a dl* >w (^Z ^ , d'L ^
— dt^::^-;^, + ^'0-^, + <f'o^, +...--j^a; o|- -09-. .. .
àV
df'
dl ^ d^
Or on a
et comme Z est censée fonction de $, 4^» ?» ••• ^^ ^^ ^'» 'j*'» ?» •••» o" aura
ai
Donc Téquation précédente deviendra
dont le second membre doit être une fonction des constantes arbi traires, indépendante de /.
21. En effet, si l'on change Z en T— Vct Ç', ^',^', ... en —^ d^'d'^ ' (art. 3), il est facile de voir que la quantité
w, (^Z %, à'L , dlà ,.
'^■^^^d^-^'^Ti^---''
sera la même chose que la quantité
que nous avons vue être toujours égale à une constante et qui se réduit àTH-V(SccL IV, art. 14), d'où résulte l'équation T-hV = H, laquelle exprime la conservation des forces vives du système.
Ainsi, en prenant H pour une des constantes arbitraires, on aura, pour sa variation due aux forces perturbatrices contenues dans la fonction 12, cette formule très simple
dll = ^ cit.
22. On pourrait aussi arriver à cette formule par un chemin plus court. En effet, si l'on reprend les équations de l'article 8, qu'on les ajoute ensemble après les avoir multipliées respectivement par rfÇ, d'\f, drf, ..., et qu'on intègre en employant les mêmes réductions que nous avons pratiquées dans l'article 11 de la Section précédente, on parviendra directement à l'équation
^^ V ir ri à^ r- <^^ 71 ^^ ^
dans laquelle la quantité qui est sous le signe n'est pas intégrable en général, parce que la fonction 12, à cause de la mobilité qu'on peut supposer aux centres des forces perturbatrices, est censée contenir, outre les variables ^, j», 9, ..., encore d'autres variables indépendantes de celles-là.
Dans le cas où il n'y a point de forces perturbatrices, on a simplement
Or il est évident qu'on peut conserver cette forme à l'intégrale qu'on vient de trouver, en rendant variable la constante H et en faisant
^11 = -rr^ dz ^ -YT d'if -\- -T- ch -h . . . ;
mais il est visible que la quantité
ât, ^ d'I» ^ do '
n'est autre chose que la différentielle de 12, en ne faisant varier que les quantités $, '|f 9, . . . , qui dépendent des équations différentielles primitives et qui sont supposées connues en fonctions de /-hK, en nommant K, comme dans Tarticle 20, la constante qui peut toujours s'ajouter à la variable /. Ainsi, comme les variables $, '|, 9 ne varient qu'avec le temps /, il est facile de voir que la quantité dont il
s'agit sera la même chose que .r? di; par conséquent, on aura, comme
plus haut, l'équation
dll da de ~ ÔK
