SECTION SIXIÈME

SUR LES OSCILLATIONS TRÈS PETITES d'uN SYSTÈME QUELCONQUE DE CORPS.

Les équations différentielles du mouvement d'un système quelconque de corps sont toujours intégrables dans le cas où les corps ne s'écartent que très peu de leurs points d'équilibre; et Ton peut alors déterminer les lois des oscillations de tout le système. L'analyse générale de co cas, qui est très étendu, et la solution de quelques-uns des principaux problèmes qui s'y rapportent sont l'objet de cette Section.

§ 1. — Solution générale du problème des oscillations très petites d*un système de corps autour de leurs points d'équilibre.

1. Soient «y b, c les valeurs des coordonnées rectangles ^, j, z de chaque corps m du système proposé dans le lieu de son équilibre. Comme on suppose que le système, dans son mouvement, s'éloigne très peu de sa situation d'équilibre, on aura, en général,

a:z=za-\-a, y=:b-h^y z=^c-hy,

les variables a, p, y étant toujours très petites; il sulBra, par conséquent, d'avoir égard à la première dimension de ces quantités dans les équations différentielles du mouvement. La même chose aura lieu pour les autres quantités analogues, qu'on distingue par un, deux, . . . traits, relativement aux différents corps m', m", ... du même système.

Considérons d'abord les équations de condition qui doivent avoir lieu par la nature du système, et qu'on peut représenter par

L, M, ... étant des fonctions algébriques données des coordonnées x, XL 47

y, 5, iv\y\ Comme la position d'équilibre est une de celles que

le système peut avoir, il s'ensuit que les mêmes équations L = o, M = o, ... devront subsister en supposant que x, y, 5, x', ... deviennent a, b, Cy a\ ...; d'où il est facile de conclure que ces équations ne sauraient renfermer le temps /.

Soient A, B, ... ce que deviennent L, M, ... lorsque x^ j, 5, x\ ... deviennent a^ A, c, a\ .. .; il est clair qu'en substituant pour ^, j, 5, .r', . . . leurs valeurs a -4- a, /> 4- p, c 4- y, a'4- a', . . . , on aura, à cause de la petitesse de a, p, y» «'» • • • •

«?A„ db^^

dk de''

dk ,

da'

db^-^

<JB de''

dh , da'*

ainsi

(le

suite.

Donc:

i°On

aura

relativement ii l'équilibre; 2^ On aura les équations

lesquelles donneront la relation qui doit subsister entre les variables

En négligeant d'abord les quantités très petites du second ordre et des ordres supérieurs, on aura des équations linéaires par lesquelles on déterminera les valeurs de quelques-unes de ces variables par les autres; ensuite, par ces premières valeurs, on en trouvera de plus exactes en tenant compte des secondes puissances et des puissances plus hautes, comme on voudra. On aura ainsi les valeurs de quelquesunes des variables a, p, y, a', . . . , exprimées par des fonctions en série des autres variables; et ces variables restantes seront alors absolument indépendantes entre elles.

On pourra aussi, dans la plupart des cas, en ayant égard aux conditions du problème, réduire les coordonnées, immédiatement par des substitutions, en fonctions rationnelles et entières d'autres variables indépendantes entre elles et très petites, dont la valeur soit nulle dans l'état d'équilibre.

Nous supposerons donc, en général, que l'on ait

j:* = a -h ûfi Ç -h a, ^ -h flj 9 -h . . . -h a j ^* -h . . . , y = b-^ biL-h b2^-\- ^jcp -h. . .-h ^',1'-+-. . ., C=: c -h C,i H-C,^J; -4- 0,9 -h . . . H- C, |' -h . . . ,

et ainsi des autres coordonnées x\ y, .. .; les quantités a, h, c, a^, hf, ... sont constantes, et les quantités ^, 4*» 9» • • • sont variables, très petites, et nulles dans l'équilibre.

2. Il ne s'agira que de faire ces substitutions dans les valeurs de T et Vde l'article 10 de la Section IV; et il suffira de tenir compte des secondes dimensions pour avoir des équations différentielles linéaires. Et d'abord il est clair que la valeur de T sera de cette forme

en supposant, pour abréger,

(3)=z§m(a;4.6î + cî),

(2,3) = §m(a,fl53 4-6,^>,-hc,c,),

oii le signe ^ dénote des intégrations ou sommations relatives a tous les différents corps m du système, et en même temps indépendantes des variations Ç, ^, ç, . . . , ainsi que du temps /.

Ensuite, si Ton dénote par F la fonction algébrique II, en y mettant a, b, c l\ la place de x, y, z, il est clair que la valeur générale de n sera représentée ainsi

F -H (a,^ -+-a,^-i-aa9 -h. . .) —

ôY

2 ùa

da àh

où il suffit d'avoir égard aux secondes dimensions $, ^, ç,

Multipliant donc cette fonction par m et intégrant avec le signe Q, on aura, en général,

V = H + H.? + H,+ + H,9 4-. . . + Lail±iili!:Lm?LtiL:.

„ Ç^ ( dY , dY dY\

u Ç^ ( àY , dY dY\

II C / <>F , /. àY dY\

'^«da» '^ *db* ■^'"'dc»

dôdc

[.,3] = §mj+(a,6,-Ha,6,)^^^+(a.c,+ a,c,)^^^[,

d6dc

""'•d;iï-^***'dÂ^-^'^''^'d3?

d6dc

3. Ayant ainsi les valeurs de T et V exprimées en fonctions des variables ^, «I'. <p. • • • > indépendantes entre elles, on n'aura plus aucune équation de condition à employer; et comme la quantité T ne contient

que les différentielles des variables, on aura sur-le-champ, pour le mouvement du système, les équations suivantes :

, oT av

^ ÔT ÔV

dont le nombre sera, comme Ton voit, égal à celui des variables.

Ces équations doivent avoir lieu aussi dans l'état d'équilibre, puisque le système, y étant une fois, y resterait toujours de lui-même; or, dans l'équilibre, on a constamment x =1 a, y =^ b^ z — c\ x' ^ a\ . . . , par l'hypothèse, donc

ainsi que

d\, dt

dt^

r. I ♦ ^ <ÎT , ÔT ♦1.1* ÔV ÔV

Donc les termes «5-7?» fi^-jjy •• seront nuls, et les termes -^y tt»

oa:^ Oa^ Oç ou;

ÔV

1^, • • • se réduiront a H< , H2, H3, Par conséquent, on aura

Hi = o, IIj = o, 113 = 0, ....

Ce sont les conditions nécessaires pour que a, 6, c, a\ ... soient les valeurs de o?, j, 5, x\ ... pour l'état d'équilibre, comme on le suppose.

En effet, il est visible que

dV = ^m{Pdp-^Qdq-{-Rdr-h..,)

exprime la somme des moments de toutes les forces mP, mQ, mR, . . . appliquées à tous les corps m du système et qui doivent se détruire mutuellement dans l'état d'équilibre; donc, par la formule générale

donnée (Part. 1, Sect. II), il faudra que l'on ait

d\=:o, par rapport à chacune des variables indépendantes ; par conséquent,

ôv dv ôy___ a?-"^' a-^-"^' ^9""'''

seront les conditions de l'équilibre, lequel étant supposé répondre à

on aura

IIj =^ o, IIj 1= o, Hs = o, . . . ,

de sorte que les premières dimensions des variables ^, 4», ?» . .. dans l'expression de V disparaîtront toujours.

Substituant donc dans les équations générales les valeurs de T et de V, et faisant H,, H^, H,, . .. nuls, on aura, pour le mouvement du système,

(J}Af (p]p cl^Q

équations qui, étant sous une forme linéaire avec des coefficients constants, peuvent être intégrées rigoureusement et généralement par les méthodes connues.

4. On peut supposer d'abord que les variables, dans ces sortes d'équations, aient entre elles des rapports constants, c'est-k-dire que l'on ait

par ces substitutions, elles deviendront

[(l) + (l,2)/+(l,3)5'+...]^-H([l] + Ll.2]/H-[.,3]g- + ...)5 = 0, [(2)/4- (., 2) -(- (2, 3)5- + . . .]^ -1- ([2]/+ [I, 2] + [2, 3]^-(-. . .)? = o,

lesquelles donnent

en faisant

Le nombre de ces équations est, comme Ton voit, égal à celui des inconnues/, g, . . . , X-; par conséquent, elles déterminent exactement ces inconnues; et comme, en retenant pour premier membre le terme k et le multipliant respectivement par le dénominateur du second, on a des équations linéaires en /, ^, . . . , on pourra les éliminer par les méthodes connues, et il n'est pas diiïicile de voir, par les formules générales d'élimination, que la résultante en k sera d'un degré égal a celui des équations, et, par conséquent, égal à celui des équations différentielles proposées; de sorte que l'on aura pour k un pareil nombre de différentes valeurs, dont chacune, étant substituée dans les expressions de/, g, . . . , donnera les valeurs correspondantes de ces quantités.

Maintenant l'équation

donne par l'intégration

E. £ étant des constantes arbitraires; ainsi, comme on a supposé '\f =/?, 9 = g^f . . . , on aura aussi les valeurs de ^^i ?»

Cette solution n'est que particulière, mais elle est en même temps double, triple, etc., selon le nombre des valeurs de k; par conséquent, en les joignant ensemble, on aura la solution générale, puisque d'un coté la somme des valeurs particulières de Ç, ^, ç, . .. satisfera également aux équations différentielles, à cause de leur forme linéaire, et que de l'autre cette somme contiendra deux fois autant de constantes arbitraires qu'il y a d'équations et, par conséquent, autant que les intégrales complètes peuvent en admettre.

Dénotant par k\ k'\ k'", ... les différentes valeurs de k, c'est-à-dire les racines de l'équation en ^, et par /', g' y ...; f'\ g'\ ...; /'", g", ...; ... les valeurs correspondantes ^^ f, g% ..., et prenant un pareil nombre de coefficients arbitraires E', E", E'", ... et d'angles aussi arbitraires e', e", e", ..., on aura ces valeurs complètes de Ç,

> ^ E'sin(^V^F-+-eO-h E'sinl^v^ -+-£'') -H E^sin(/v/^-i- e'"') 4- . . .,

'^ ^/'F sin(^ V^' -^ eO 4-/' E'' sin(/ y/^ -h eO -+- Z*' E'^ sin(^ v/^ 4- €'0 + • • •» 9 - ^'E' sin(r v^ -+- eO -1- ^E'' sin(^ v/^-+- eO -i- ^E"' sin(/ v/^ -h fi-") -+- . . . ,

dans lesquelles les arbitraires E', E", E'^, ... ; £', £", i\ . . . dépendront

des valeurs de Ç, ^, ?, ...; -j-y -j-y ^> ••• lorsque / est égal à o, et,

par conséquent, de l'état initial du système.

En effet, si, dans les expressions trouvéesde Ç, '\, 9, ..., on fait / = o, et qu'on suppose données les valeurs de Ç, ^, 9, . . . , on aura des équations linéaires entre les inconnues E'sin£', E"sin£", . . . , par lesquelles on pourra déterminer chacune de ces inconnues. De même, si l'on fait / = o dans les différentielles des mêmes expressions, et qu'on

regarde aussi comme données les valeurs de ~y -^y -^y • •> on aura

un second système d'équations linéaires entre E'cos£', E^cose", ..., XI. 48

lesquelles serviront à leur détermination. De là on tirera aisément les valeurs de E\ E'\ . . . ainsi que de tange', tange", ... et enfin celles des

angles mêmes i\ e",

Mais voici un moyen plus simple de déterminer ces inconnues directement et sans les embarras de Télimination.

5. Je remarque qu'en ajoutant ensemble les équations difierenti elles de l'article 3, après avoir multiplié la deuxième par /, la troisième par ff, et ainsi de suite, et faisant, pour abréger.

3]ir4-.

on a l'équation PdF-

Cl*<\) (fltf

■^f-jK -+-----i-P^ + Q4' + R<p4-...=o,

Mais les équations de l'article 4 donnent

p = kp, Q — kq, R — kr,

Donc l'équation précédente deviendra de la forme

dont l'intégrale est

L et X étant deux constantes arbitraires.

Cette équation doit avoir lieu également pour toutes les différentes valeurs de k qui résultent des mêmes équations de condition et que

nous avons dénotées par k\ U\ Ainsi, désignant de même par />',

p'\ ...» y'» y"» . . • les valeurs correspondantes de /?, y, . . . , et prenant

différentes constantes arbitraires L', L", ..., X', X", ..., on aura les équations suivantes :

/>' 5 4- 7'^ -+- r' 9 H-. . .^ L' sin(^v^ -4- V ), ;?• 5 -h /ij^ 4- r'9 4- . . . = L' s\n{cs/F -h V), p'I -f- q'^ -f- /•''cp 4- . . . = L''sin( ^ v^4- ^'')»

Ces équations serviraient généralenrïent à déterminer les valeurs de $, '|, 9, ...» et il est clair que ces valeurs devraient coïncider avec celles qu'on a trouvées ci-dessus (art. 4), puisqu'elles résultent les unes et les autres des mêmes équations différentielles. Ainsi, en substituant les valeurs de l'article cité dans les équations précédentes, elles devront devenir entièrement identiques.

D'où il est facile de conclure que, pour la première équation, on aura

ensuite

que l'on aura de même, pour la seconde équation, ensuite

p" -hf q" -^ g' r" -Y- . , . = Oy p" -hf" q" -\- /^ f-^ -^ . . .^ O,

et ainsi des autres.

Donc, substituant dans les équations ci-dessus, pour X', L', X", L'% V\ L"', . . . , les valeurs qu'on vient de trouver, on aura celles-ci

E' sin(.v^ -H^' )= <^— ^',t— ';^^--> ^ ^ ' p'-^q'/'-t-r'g'-^.,.

E' sin (^ 0P + .' ) = <^0^Vt^-- .

• E-sin(.v/F+e')=:<i:%ii:tjfl±iil,

qui sont les réciproques de celles de l'article 4.

Maintenant, la détermination des arbitraires E', E", ..., e', t'\ ... n'a plus de difficulté; car :

r' En supposant / = o, les premiers membres des équations précédentes deviennent E'sine', E'sine", ..., et les seconds sont tous connus, en supposant les valeurs de Ç, vj;» Ç. • • • données dans le premier instant;

2" En différcntiant les mêmes équations et supposant ensuite / = o, les premiers membres seront

V^E' cos£', V FE" cos£% . . . ,

et les seconds seront aussi tous connus, en regardant comme données les quantités ^> -j-y -^-^ • • • lorsque / = o. Donc, etc.

6. La solution du problème est donc réduite uniquement à la détermination des quantités X% /, g^ A, . . . ; et nous avons vu dans l'article 4 que cette détermination dépend de la résolution des équations

/?A: — P m o, <//: — Q = o, rA — R = o, . . . ,

(»n conservant les expressions de/>, y, r, . . . , P, Q, R, . . . de l'article 5. Or, si Ton représente par A ce que devient la quantité T en y changeant ^> ^> ^^, • • en ^, /, ^, .. ., et par B ce que devient la partie

de la quantité V où les variables Ç, vj;» ?» • •• forment ensemble deux

dimensions, en changeant de même ces variables en ^, /, ^, . . . , il est

aisé de voir, et l'on pourrait même s'en convaincre a priori, que l'on

aura

dk ôk dk

P'^Te' ^"^^7' '^àè' "*'

p^B dB ()B

^-^J^' ^--df' ^~d^' ""

en faisant ensuite e = i .

Donc, en général, si l'on fait