AA-B = K

les équations pour ia délerminalion dos inconnues k, /, g, ... seront

âK âK dK

de-''' 0/-""' d'è"'"'

en supposant ^^ = i . Ainsi, comme la quantité K se forme immédiatement des quantités T et V, on pourra aussi trouver directement les équations dont il s'agit, sans avoir besoin de les déduire des équations différentielles du mouvement du svstème.

Je remarque maintenant que, puisque K est une fonction homogène de deux dimensions de ^, /, g", ..., on aura, par la propriété de ces sortes de fonctions démontrée (Sect. IV, art. 15),

de •' df ^ ôg

Donc on aura aussi

par conséquent, les inconnues/, g, h, ... doivent être telles que non seulement la quantité K soit nulle, mais que chacune de ses différentielles relatives à ces inconnues le soit aussi; d'où il s'ensuit que la quantité k, regardée comme une fonction de ces inconnues dépendante de l'équation K — o, devra être un maximum ou un minimum.

Si l'on fait d'abord e = \, et qu'on remplace par K = o l'équation

^ = o, on aura, pour la détermination des inconnues/, g, h, . . . , les

équations

àf dg

Si donc on tire d'abord la valeur de /de l'équation -j-; = o, et qu'en la substituant dans K = o on change cette équation en

K' = o, il n'y aura qu'à faire ensuite

àg et substituer de même la valeur de g tirée de cette dernière équation

dans K'= o; alors, nommant

Téquation résultante, on fera de nouveau

dh

et ainsi de suite. Par ce moyen, on parviendra a une équation finale qui ne contiendra plus les inconnues/, ^, A, ..., mais seulement la quantité k, et qui sera Téquation cherchée en k dont les racines ont

été nommées k\ k\ k"^

On peut même réduire cette équation en une formule géne^le, en considérant que, puisque les quantités/, g-, A, ... ne forment ensemble

dans la valeur de K que deux dimensions, la quantité ^K-^^ — -^

sera nécessairement sans/, sa différentielle relative à/étant 2K -^^ df, et par conséquent nulle. De sorte qu*on pourra faire

dp dp'

et comme, dans cette quantité K', les inconnues restantes ^, A, ... ne montent aussi qu'à la seconde dimension, on pourra faire de même

et ainsi de suite. La dernière des quantités K, K', K'', . . . , étant égalée à zéro, sera Téquation cherchée en k. Il est vrai que cette équation pourra monter à un degré plus haut qu'il ne faut, à cause des facteurs étrangers introduits dans les équations K''=o, K*'=o, ...; mais si, en développant ces équations, on a soin de les débarrasser successivement de ces mêmes facteurs et de ne prendre ensuite pour les valeurs de K", K'^, . . . que leurs premiers membres ainsi simplifiés, Téquation finale se trouvera rabaissée d'elle-même à la forme et au degré dont elle doit être.

Quant aux valeurs de /, ^, . . . , on les déterminera ensuite par les équations

en commençant par la dernière, et remontant à la première par la substitution successive des valeurs trouvées.

7. Comme la solution précédente est fondée sur la supposition que les variables Ç, '!> ?» ••• soient très petites, il faut, pour qu'elle soit légitime, que cette supposition ait lieu en effet ; ce qui demande que les racines t, k*^ ... soient toutes réelles, positives et inégales, afin que le temps /, qui croît à Tinfini, soit toujours renfermé sous les signes de sinus ou cosinus. Si quelques-unes de ces racines devenaient négatives ou imaginaires, elles introduiraient dans les sinus ou cosinus correspondants des exponentielles réelles, et si elles devenaient simplement égales, elles y introduiraient des puissances algébriques de Tare; c'est de quoi on peut s'assurer, par les méthodes connues, en mettant dans le premier cas, à la place des sinus ou cosinus, leurs expressions exponentielles imaginaires, et en supposant, dans le second, que les racines égales diffèrent entre elles de quantités infiniment petites indéterminées; mais, comme le développement de ces cas est inutile pour l'objet présent, nous ne nous y arrêterons point.

Si la condition de la réalité et de l'inégalité des coefficients de / a lieu, il est visible que les plus grandes valeurs de ^, cp, ... seront moindres que les sommes des quantités E', E'S E"', ..., /'E', /"E^ y^E'*', ..., en prenant toutes ces quantités positivement; par conséquent, si ces différentes sommes sont fort petites, on sera assuré que les valeurs des variables le seront toujours aussi.

Mais, comme les coefficients E', E", E'% . . . sont arbitraires et dépendent uniquement du déplacement initial du système, il est possible que les variables Ç, 4^» ••• restent fort petites, quand même, parmi les quantités slk\ \fk", . . . , il y en aurait d'imaginaires ou d'égales; car il suffit pour cela que les quantités correspondantes E',

E\ . .. soient nulles, ce qui fera disparaître les termes qui croîtraient avec le temps /. Alors la solution, sans être exacte en général, le sera néanmoins dans le cas particulier où la condition précédente aura lieu.

8. On a des méthodes pour reconnaître si une équation donnée, de quoique degré qu'elle soit, a toutes ses racines réelles ou non, et pour juger, dans le cas de la réalité, de leur signe et de leur inégalité; mais, l'application de ces^ méthodes étant toujours un peu pénible, voici quelques caractères simples et généraux qui serviront à juger de la forme des racines dont il s'agit, dans un grand nombre de cas.

En prenant l'équation K = o ou A^ — B = o (art. 6), on a ^ = j;

or il est facile de se convaincre que la quantité x\ a toujours nécessairement une valeur positive, tant que/, g^ ... sont des quantités réelles;

car la fonction T, d'où elle résulte en changeant ^> ^> ^> ••• en i,

/, g, ... (art. cité), est composée de la somme de plusieurs carrés multipliés par des coefficients nécessairement positifs. Donc, si la quantité B est aussi toujours positive, ce qui a lieu lorsque la partie de la fonction V où les variables Ç, vj;» ?» ••• forment ensemble deux dimensions est réductible k la même forme que la fonction T, parce que la quantité B résulte aussi de cette partie de V en changeant Ç, ^, 9, . . . en I, /, g^, . . . , on est assuré que les valeurs de ^, c'est-à-dire les racines de l'équation en k, seront toujours positives toutes les fois qu'elles seront réelles.

Au contraire, si la quantité B est toujours négative, ce qui arrivera quand elle sera composée de plusieurs carrés multipliés par des coefficients négatifs, les valeurs réelles de k seront toutes négatives. Dans ce dernier cas, la solution ne pourra pas être bonne, parce que, les racines de l'équation en k ne pouvant être qu'imaginaires ou réelles négatives, les expressions des variables Ç, vj;» ••• contiendront nécessairement le temps / hors des signes de sinus et cosinus.

Dans le premier cas où B est positive, on voit seulement que, si les racines sont réelles, elles sont nécessairement positives; et il serait

peut-être difficile de démontrer directement qu'elles doivent être toutes réelles; mais on peut se convaincre, d'une autre manière, que cela doit être ainsi.

Car le principe de la conservation des forces vives, que nous avons démontré dans le § Vde la Section III, donne l'équation T-h V= const. (Sect. IV, art. 14), laquelle a toujours lieu puisque T et V sont fonctions sans / (Sect. V, art. 21). Or, si l'on désigne par V la partie de V qui contient les termes de deux dimensions* en sorte que

à cause de

on aura (art. 3)

T -+- H -h V'=: consl. = (T) H- H -h ( V),

en dénotant par (T) et (V) les valeurs de T et V au premier instant;

donc

T-hV'=(T)4-(V').

Donc, puisque T est, par sa forme, une quantité toujours positive, si V l'est aussi, on aura nécessairement

de sorte que la valeur de V et, conséquemment aussi, celles des variables Ç, ^, ç, ... seront renfermées dans des limites données e( dépendantes uniquement de l'état initial. Ces variables ne pourront donc pas contenir le temps / hors des signes de sinus et cosinus, parce qu'alors elles pourraient aller en croissant à l'infini. Or, lorsque la valeur de B est constamment positive, celle de V l'est aussi; par conséquent, les racines de l'équation en k seront nécessairement toutes réelles, positives et inégales (art. 7), et la solution sera toujours bonne.

Dans ce cas, l'état d'équilibre d'où le système a été déplacé sera stable, puisque le système y reviendra, ou tendra toujours \ y revenir, XI. 49

par des oscillations très petites; du moins il ne pourra jamais s'en écarter que très peu.

9. C'est de cette manière que nous avons démontré (Part. I, Sect. III, art. 23 et suivants) que, lorsque la fonction II est un minimum dans l'état d'équilibre, cet état est stable; car il est facile de voir que la fonction nommée II, dans l'article 21 de la Section citée, est la mémo que nous représentons ici par V, puisque l'une et l'autre est l'intégrale de la totalité des moments des forces agissantes sur les différents corps du système, totalité qui doit être nulle dans l'équilibre. Or, comme Ton a V = H -h V', et que V ne contient les variables $, 'j». ?» • • • qu'à la seconde dimension, il s'ensuit que Y sera un minimum ou un maximum, selon que la valeur de Y' sera positive ou négative, en donnant à ces variables des valeurs quelconques. Donc l'équilibre sera nécessairement stable dans le cas du minimum de Y (art. 8).

Au contraire, dans le cas du maximum de Y, la quantité Y' étant toujours négative, la quantité B le sera aussi, puisqu'en faisant

la valeur de Y' devient ^^B (art. 6); et, par ce que nous avons démontré dans l'article précédent, les expressions des variables contiendront nécessairement des termes où / sera hors des signes de sinus et cosinus; l'équilibre ne pourra donc pas être stable, car le système, en étant tant soit peu déplacé, s'en éloignera toujours davantage. Cette seconde partie du théorème énoncé dans l'endroit cité de la Statique n'avait pu y être démontrée faute des principes nécessaires ; nous en avions remis la démonstration à la Dynamique, et celle que nous venons de donner ne laisse plus rien à désirer.

10. Au reste, entre ces deux états de stabilité et de non-stabilité absolue, dans lesquels l'équilibre, étant tant soit peu dérangé d'une manière quelconque, tend à se rétablir de lui-même ou à se déranger de plus en plus, il peut y avoir des états de stabilité conditionnelle

et relative, dans lesquels le rétablissement de l'équilibre dépendra du déplacement initial du système. Car, si quelques-unes des valeurs de v'A sont imaginaires, les termes correspondants dans les valeurs dos variables contiendront des arcs de cercle, et l'équilibre ne sera pas stable en général; mais, si les coefficients de ces termes deviennent nuls, ce qui dépend de l'état initial du système, les arcs de cercle disparaîtront, et l'équilibre pourra encore être regardé comme stable, du moins par rapport à cet état particulier.

il. Lorsque toutes les valeurs de yfk sont réelles et inégales et que, par conséquent, l'équilibre est stable, les expressions de toutes les variables seront composées d'autant de termes de la forme

Esin(^ V^- H- e)

qu'il y a de variables.

Or ce terme représente les oscillations très petites et isochrones d'un

pendule simple dont la longueur est^> en prenant^ pour la force de la

gravité. Donc les oscillations des différents corps du système pourront être regardées comme composées d'oscillations simples analogues à

celles des pendules dont les longueurs seraient p' ^' p' —

Mais, les coefficients E', E", ... étant arbitraires et dépendant uniquement de l'état initial du système, on peut toujours supposer cet état tel que tous ces coefficients, hors un quelconque, soient nuls; alors tous les corps du système feront des oscillations simples, analogues à celles d'un même pendule; et l'on voit qu'un même système est susceptible d'autant de différentes oscillations simples qu'il y a de corps mobiles (*). Donc, en général, les oscillations quelconques d'un système ne seront composées que de toutes les oscillations simples qui pourront y avoir lieu par la nature du système.

( 1 ) Le nombre des oscillations simples n'est pas égal au nombre des corps mobiles, mais au nombre des variables indépendantes. C'est, du reste, ce que Lagrange dit lui-môme au commencement du paragraphe. (/.Bertrand.)

Daniel Bernoulli avait remarqué cette composition d'oscillations simples et isochrones dans le mouvement d'une corde vibrante chargée de plusieurs petits poids, et il l'avait regardée comme une loi gé-nérale de tous les petits mouvements réciproques qui peuvent avoir lieu dans un système quelconque de corps. Un seul cas, comme celui des cordes vibrantes, ne suffisait pas pour établir une telle loi; mais l'analyse que nous venons de donner établit cette loi d'une manière certaine et générale et fait voir que, quelque irrégulières que puissent paraître les petites oscillations qui s'observent dans la nature, elles peuvent toujours se réduire à des oscillations simples, dont le nombre sera égal à celui des corps oscillants dans le même système.

C'est une suite de la nature des équations linéaires auxquelles se réduisent les mouvements des corps qui composent un système quelconque, lorsque ces mouvements sont très petits.

12. Si les valeurs des quantités v^, v/F, y/P, ... sont incommensurables, il est clair que les temps de ces oscillations seront aussi incommensurables et que, par conséquent, le système ne pourra jamais reprendre sa première position.

Mais, si ces quantités sont entre elles comme nombre à nombre et que leur plus grande commune mesure soit (x, on verra facilement que le système reviendra toujours à la même position au bout d'un temps

6 = — ) îr étant l'angle de i8o**. Ainsi 0 sera le temps de l'oscillation

composée de tout le système.

13. La solution que nous venons de donner demande que les coordonnées puissent être exprimées par des fonctions en série de variables très petites, et qui soient nulles dans l'état d'équilibre, ainsi que nous l'avons supposé dans l'article 3.

Or c'est ce qui est toujours possible, comme nous l'avons vu, lorsque les équations de condition, réduites en série, contiennent les premières puissances des variables supposées très petites, parce que ces termes donnent d'abord des équations résolubles rationnellement, et qu'en-

suite on peut toujours, par la méthode des séries, avoir des solutions rationnelles de plus en plus exactes.

Il peut néanmoins arriver que les termes de la première dimension manquent dans une ou plusieurs des équations de condition, ce qui aura lieu, par exemple, si, dans Téquation L = o, les valeurs des coordonnées pour Téquilibre sont telles, qu'elles rendent non seulement L nulle, mais aussi chacune de ses différences premières; car on

aura alors

d\ dA

et l'équation L = o ne contiendra que les secondes puissances et les puissances ultérieures de a, p, y, a', ... (art. 1). Dans ce cas, si l'on réduit les coordonnées en fonctions de variables indépendantes, ces fonctions ne pourront plus être rationnelles, et les équations différentielles ne seront ni linéaires, ni même rationnelles. Ainsi la supposition des mouvements très petits du système ne servira pas alors à simplifier la solution du problème, ou du moins ne la rendra pas susceptible de la méthode générale que nous avons exposée.

Pour résoudre ces sortes de questions de la manière la plus simple, on fera d'abord abstraction des équations de condition oii les premières dimensions des variables ne se trouveraient pas; on parviendra ainsi à des expressions de T et de V de la forme de celles de l'article 2. Ensuite on ajoutera à cette valeur de V les premiers membres des équations de condition auxquelles on n'aura pas encore eu égard, multipliés chacun par un coefficient indéterminé et qu'on supposera constant dans les différentiations par §; et il suffira, dans ces termes dus aux équations de condition, de tenir compte des plus basses dimensions des variables très petites. De là on trouvera les équations différentielles à l'ordinaire, et il s'agira d'en éliminer les coefficients indéterminés.

Si les équations de condition étaient du second degré et que les coefficients indéterminés pussent être supposés constants, la valeur de V serait encore de la même forme que dans la solution générale; par conséquent, on pourrait l'appliquer aussi à ce cas; on déterminerait en-

suite les eoeflficients, en sorte que les équations de condition fussent satisfaites. On pourra donc toujours commencer par adopter cette supposition, on verra ensuite si les valeurs qui en résultent pour les variables peuvent satisfaire aux équations de condition» auquel cas la supposition sera légitime et la solution exacte; sinon il faudra chercher à intégrer les équations différentielles par des méthodes particulières.

§ II. — Des oscillations d'un système, linéaire de corps.

14. Lorsque les corps qui composent le système proposé sont disposés, les uns par rapport aux autres, d'une manière uniforme et régulière, on peut simplifier le calcul et parvenir à des formules générales et symétriques, en employant la notation et l'algorithme des différences finies. Nous allons en donner un exemple, en examinant le cas où un nombre quelconque de corps, rangés sur une ligne droite ou courbe, oscillent en vertu de forces quelconques combinées avec leur action réciproque.

Soient ic, j, z les coordonnées rectangles d'un quelconque des corps du système, que nous dénoterons par Dm, en employant la lettre majuscule D pour dénoter les différences finies (Sect. IV, art. 17). On aura d'abord

^=-.^[-dF-^W-^dcO^^'^'

la caractéristique ^ représentant les sommes relatives à tout le système. La fonction V doit contenir la somme ^11 Dm provenant des forces accélératrices P, Q, R, .. ., qu'on suppose telles que l'on ait

n= l\Vdp-{-Qdq-^Rdr-^..,).

Cette fonction doit contenir aussi la somme Q /$D^, en supposant que 4> soit la force avec laquelle deux corps voisins qui sont à la distance D^ l'un de l'autre s'attirent, et que cette force soit une fonction (le la même distance D^, en sorte que f ^dDs soit une quantité inté-

grable dont la différentielle par 8 soit^oD^. Cette force $, que nous supposons fonction de D^, pourra varier d'un corps a l'autre et sera, par conséquent, aussi fonction du nombre ou de la quantité qui représente la place de chaque corps dans la série de tous les corps, et à laquelle se rapporte le signe sommatoire Q. Si les corps, au lieu de s'attirer, se repoussaient, il faudrait prendre $ négativement. On aura ainsi

et, par conséquent,

Et il est bon de remarquer que cette expression de 6\ serait la même si les corps étaient liés entre eux de manière que leurs distances mutuelles fussent invariables; car on aurait dans ce cas l'équation do condition SD5 = o, laquelle donnerait dans l'expression de ôV le terme

S^ S D^ (article cité).

15. En exprimant l'élément D^ par les différences finies de .r, r, -, il est clair qu'on aura

donc, différentiant par â,

I)^ èDx 4- Dr ôDv 4- DzoDz

dDs =

Substituant cette valeur, et faisant, pour abréger, jr- = ^^, fonction de D^, on aura

d V — § on D m 4- § ^" ( I) X ô D X -h D j a Dj H- D 5 5 n 5 ) .

Comme les caractéristiques D et S sont indépendantes entre elles, on peut changer oD en DS, et l'on aura

ÔV == j§5n Hm 4- §^(Da7 Dôo: 4- I)/ nô/ 4- D5 Dâ:;).

On peut aussi faire disparaître le D avant le ô, par l'intégration par parties appliquée aux différences finies.