En effet, on a, en général

en dénotant par x^ le terme qui suit x dans la série des termes consécutifs X, X -^ Dx, .... Donc, en passant des différences aux sommes, on aura

On trouverait de la même manière ^

et ainsi de suite, x, a:,, x^^^ ... étant les termes qui se suivent dans la même série.

Pour compléter ces sommations, il faudra rapporter les termes hors du signe § au dernier point de l'intégrale finie SyDa? et en retrancher les mêmes termes rapportés au premier point. Ainsi, en marquant par un zéro et par un i placés au bas des lettres les termes qui se rapportent au premier et au dernier point, on aura ces sommations complètes

Lorsque la caractéristique ^ indique des sommes totales d'un nomhre de termes donné, il est clair qu'on peut, à la place des termes x^Dy, r,, Dv, . . . sous le signe §, prendre les termes précédents, que nous dénoterons par X D, j, X D,, j, . . . , en marquant d'un trait, de deux» . . . , placés à gauche, les termes ^j, ^y qui précèdent y dans la série indéfinie..., ,r. ,7,r.r,,j,, ....

17. Cela posé, mettons dans les formules précédentes &r à la place de X et WDx à la place de y, on aura ces transformations

et, de même,

^WÎ)fDdy = {WJ)ySf)t-{Wî)ySy),-^dyD,(WÎ)y), ^WDzUà3 = (WI>zàz)t-{WI>si3)^-^SzD,(WDs),

et l'on fera ces substitutions dans l'expression de SV.

Si le premier corps et le dernier sont supposés fixes, les variations 8xq, Svo, ozq et Sxij Sj/, Bzi, qui s'y rapportent, seront nulles. Nous adopterons d'abord cette hypothèse, qui simplifie les formules, et nous aurons, en conséquence.

En général, comme il faut que les variations disparaissent toujours, si le premier ou le dernier corps, ou tous les deux, n'étaient pas fixes, il faudrait supposer la valeur de ^ nulle au commencement ou à la fin.

On aurait ainsi, à cause de ^ = j7-> la condition à remplir $,, = o ou

0, = o, si le premier ou le dernier corps est supposé mobile; et si tous les deux étaient mobiles, on aurait les deux conditions Oo = o et O, = o.

18. La variation SV étant réduite à cette forme simple, les équations générales de la Section IV (art. 10), étant rapportées aux variables x, X, z de chacun des corps du système, donneront pour ces variables les trois équations suivantes, dans lesquelles je remets $ au lieu de ^'D^: :

Dm-+-j^Dm-D,^-j^j=o,

-^^I)m4-^Dm-D,(^-5^j=o,

^Dm4.^Dm-D,(^-j^j=o.

Ces équations sont rigoureuses, quel que soit le mouvement des corps; mais, lorsque ces mouvements sont très petits, les équations se simplifient et deviennent linéaires, comme nous l'avons vu plus haut (§ I).