dt ■~'^' dt
ces six quantités seront données par l'état initial du système : si donc
on les introduit dans l'équation précédente et dans sa différentielle relative à /> en y faisant / =: o, on aura les valeurs suivantes des constantes arbitraires :
§(Xa4-Y(3-+-Zy)Dm
E sine=:
§(X»-HY»-t-Z«)Dm
, j§(Xi-f-Y(3-hZy)Dm
v'^ j§(X'-HY»-hZ»)Din
Donc enfin, si l'on substitue ces valeurs dans. les expressions de ^, r,, s de l'article 26, on aura
/ Q(X« + Yp + Zy)Dm
^=+y( X ^:^ COS^A-
\v^ ^(X*+Y» + Z')Din '
/ S(X=rH-Y?+Zy)Dm
ri=-+-y( \ ^- cos<v^
\ S(X'-HY« + Z»)Din
v/y S(X« + Y^ + Zy)Dm .
^\fk §(X' + Y-4-Z')Dm '
/ S(Xa + Y?4-Zy)Dm K = +y.( Z 4- costsTk
v/z S(X« + Y(^ + Zy)Dm .
H- > ( — = sm ^ V ^
Ces formules, remarquables par leur généralité autant que par leur simplicité, renferment la solution de plusieurs problèmes dont l'analyse serait fort difficile par d'autres méthodes. Nous allons en faire l'application à deux problèmes déjà résolus dans différents Ouvrages, mais d'une manière plus ou moins complète.
§ III. -— 0/i ron applique les formules précédentes aux vibrations cVune corde tendue et chargée de plusieurs corps, et aux oscillations d* un fil inextensible, chargé d'un nombre quelconque de poids et suspendu par ses deux bouts ou par Un seulement.
30. Les expressions des variables ^, y], ^ que nous venons de trouver se simplifient beaucoup lorsque, dans les équations différentielles de l'article 21, les variables dont il s'agit se trouvent séparées. Alors les variables X, Y, Z se trouvent aussi séparées dans les équations aux différences finies de l'article 23; et chacune de ces équations donne, par le procédé de l'article 2i, une équation particulière en k du degré m. Si l'on dénote par k, X:,, k.^ les valeurs des k qui répondent aux quantités X, Y, Z données par ces trois équations, et que Ton conserve les dénominations de l'article précédent, les expressions de ^, r^, C se réduiront, dans le cas précédent, à celles-ci :
^\ §Y«Dm / ^\V^'i §YM)m /
31. Ce cas a lieu premièrement lorsque les corps sont supposés placés en ligne droite dans l'état d'équilibre; car, si Ton prend cette ligne pour l'axe des x, les ordonnées A et c deviennent nulles ainsi que leurs différences D6, De; et les équations de condition de l'ar*ticle 20 exigent que Ton ait
dU dU
kW MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
c'est-à-dire que les forces perpendiculaires à Taxe soient nulles. On aura donc aussi
et les équations de l'article 21 deviendront, à cause de a'= i, b'= o, r = o et de G = F-F,
Dm-^^^Dm-D,(F^) = o,
dt dt
jd™d,(f;^)=o.
|Din-D,(F2^)=o;
par conséquent, les équations de Farticle 23 se réduiront à celles-ci :
A-YDoi + d/f^) =o, AZDnn-D/FJJ^) = o,
dans lesquelles on voit que les variables sont séparées, de manière qu'on peut les déterminer chacune en particulier.
La constante indéterminée k pourra donc être différente dans ces trois équations, et chacune d'elles donnera une équation du w*^"** degré pour la détermination de cette constante. On aura ainsi les formules de l'article précédent.
32. Puisqu'on a, dans le cas dont il s'agit, Dè = o, Ôc=o, on aura D/=Da (art. 19), et les équations de l'équilibre (art. 22) donneront
dlL
Scçu
Dm -+- A.
Mais, pour avoir la valeur de la quantité F' (art. 19), il faudra con-
naitre la valeur de F en fonction de D/ ou Da; et Ton déduira, par la différentiation, la valeur de F' en fonction de F.
Si, par exemple, on suppose $ = K(D^)"*, on aura F = K(D/)'" et, de là.
Dans le cas où Ton ferait abstraction de toute force étrangère, on aurait ^ = o, ce qui donne F = A et, par conséquent, F constante
pour tous les corps. Mais la valeur de F' pourra varier d'un corps à l'autre, k moins que l'intervalle Da entre les corps consécutifs ne soit aussi le même pour tous les corps. Dans ce dernier cas, les quantités F et F' seront deux constantes qu'on pourra déterminer a posteriori, sans connaître la loi de la fonction <^.
Ce cas est celui d'un fil ou corde tendue, dont les deux extrémités sont fixes, et qui est chargée d'un nombre quelconque de corps placés à distances égales entre eux; la quantité F exprime alors la tension de la corde ou le poids qui peut la produire; mais, pour la quantité F', on ne peut la déduire de F sans connaître la loi de Télasticité de la corde.
Ce problème, qui est connu sous le nom de problème des cordes vibrantes, mérite un examen particulier, tant parce qu'il est susceptible d'une solution générale, que parce qu'il est intimement lié avec le fameux problème des vibrations des cordes sonores.
33. Nous supposerons que tous les corps Dm dont le fil est chargé soient égaux entre eux et sans pesanteur, et que les intervalles D/ou Da qui les séparent dans l'état d'équilibre soient aussi tous égaux.
Comme n est le nombre des corps mobiles, si l'on désigne par M la masse entière ou la somme de toutes les masses Dm, en y comprenant la dernière, qui est supposée fixe, et par / la longueur de la corde dans l'état d'équilibre, il est clair qu'on aura
Dm = -^ et D/=D«= ^
et les trois équations en X, Y, Z de Tarticle 31 deviendront
^-r^ rr; X -h D%X = O,
/MX* .- ... -,
lesquelles étant semblables entre elles, il suffira de résoudre la première, et il n'y aura plus qu'à changer F' en F pour avoir aussi la résolution des deux autres.
34. Soit r l'exposant ou l'indice du rang qu'un terme quelconque X tient dans la série des X; nous désignerons en général ce terme par X^, ot le terme précédent ,X sera X^ <; ainsi la première équation sera
Supposons, pour résoudre cette équation,
Xr= IIsin(/'9 -h e),
H et ^ étant deux constantes arbitraires; on aura, par les formules connues de la multiplication des angles,
I)îX,.-, = Xr-Hi — aXr-l- Xr i = — 4Hsin(r9 -\- e) sin*?>
et ces valeurs étant substituées dans l'équation précédente, elle deviendra, après la division par X^,
/MX-
rr, — /4Sin*2 =0,
(/^^-l)*F laquelle donne
v/^:=2(/i-M)y/-^jgsinï.
Or on a (art. 24) les deux conditions à remplir
Xo = o et Xrt-»-i = o;
SECONDE PARTIE. - SECTION VI. km
la première donne e = o; la seconde donne sin(w -f- i)(p = o; d'où Ton tire (/^ -H i)(p = pir, t: étant l'angle de i8o** et p un nombre quelconque
entier. Donc on aura ç = —- — ; par conséquent, en faisant, ce qui est
permis, H == r,*on aura, en général,
Xr = sm — - —
Et Ton aura la même expression pour Y^ et pour Z^, qu'on substituera à la place de X, Y, Z, dans les expressions de ^, y], J^ de l'article 30.
La même valeur de ç, étant substituée dans l'expression de yXtrouvée ci-dessus, donne
y/A-— 2(/i -f-i) i/y^sin —, -^ — - ^ ^ ^ V /M 2(n 4-0
où Ton peut mettre pour p tous les nombres entiers depuis o jusqu'à n inclusivement; car p = w -+- 1 donne X, Y, Z nuls, et, au-dessus de
/? -f- 1, les sinus de -~ — : reviennent les mêmes.
Ainsi l'on aura autant de valeurs différentes de i qu'il y a de corps mobiles; ce seront les racines de l'équation en k.
En changeant F' en F, on aura les valeurs des racines ^^ et k^ d^^ deux autres équations en k.
On fera donc ces substitutions dans les formules générales de l'article 30, et l'on observera que la caractéristique sommatoire § doit se rapporter uniquement aux exposants ou indices de rang r, depuis /== i jusqu'à r=n, et que la caractéristique sommatoire ^ doit se rapporter aux indices p des différentes racines depuis p = i jusqu'à p = n.
A l'égard de la valeur de §X^Dm = Dm§X^, on aura, à cause d(»
9 = /^ > la sommation suivante :
j^X-= sin*9 -+- sin'29 -+- sin*39 +...-+- sin*/i9
