XI
On aura de même
35. Comme les valeurs de k sont incommensurables entre elles, la corde ne pourra jamais reprendre sa première position, à moins que les expressions de ^, y], X> ne se réduisent à un seul terme (art. 25). Dans ce cas, en mettant dans les formules de l'article cité, pour X, Y, Z et ky les valeurs qu'on vient de trouver, et faisant, pour abréger.
on aura ces expressions, dans lesquelles j'ai conservé l'angle o à la place de sa valeur ^^ >
^ =:E sin/-9 sinf /i'^sin? -hcj, Yî =iE sinro sinf A^ sin- -h s], Ç 3= E sin rcp sin ( /i^ sin - + £ ] ;
mais il faudra que les valeurs initiales a, p, y, a, ^, y, qui répondent k / = o, soient proportionnelles à sinrç. C'est la solution connue, dans laquelle on suppose que les corps ne font que des oscillations simples et isochrones.
36. Pour avoir des expériences générales applicables à un état initial quelconque, il faut employer les formules de l'article 30, en y substituant les valeurs trouvées ci-dessus (art. 34). Nous appliquerons, pour plus de clarté, aux variables ?, y], \ l'exposant ou indice r placé au bas de ces lettres, pour marquer le rang du corps auquel elles se rapportent, et à l'égard des quantités a, p, y, a, p, y et X, Y, Z, qui sont sous le signe sommatoire §, nous emploierons l'exposant 5 au lieu de r, parce que cet exposant est uniquement relatif au signe §, lequel
indique qu'il faut prendre la somme de tous les termes qui répondent aux valeurs de 5, depuis o jusqu'à n.
On aura ainsi cette formule générale
Qa,sin,Ç9C0S 2(/A -h i)//'^sin-^
y V 2sinr9 j r pT (
^'•-2- ,i-hi ^ . sm 2(/i4-i)A7sinï r
i +!^a,sin^9 ^ — i^
2(/i -h i)/i'sin -
et pour avoir les expressions de r\r et J^^, il n'y aura qu'à changer h en
A et a, a en p, p et en y, y.
Les variables \r représentent les excursions longitudinales des corps dans la ligne droite ou axe qui passe par les deux extrémités fixes do la corde, et les variables y]^, Ç^. représentent leurs excursions transversales ou latérales dans la direction perpendiculaire à l'axe, les seules qu'on ait considérées jusqu'ici dans la solution du problème des cordes vibrantes.
A l'égard du signe 2» on se souviendra qu'il exprime la somme de toutes les quantités, sous ce signe, qui répondent à p = r, 2, 3, ..., n\ d'où l'on voit que les excursions de chaque corps, tant longitudinales que transversales, seront composées en général d'autant d'excursions particulières, analogues à celles de différents penduks dont les longueurs seraient
^ ou ^
4(/i-f-i)»A'«sin»2 4(/i + i)'/*'sin«2
qu'il y a de corps mobiles, g étant la force de la gravité.
Pour que les valeurs de h et h' soient réelles, il faut que les quantités F et F' soient positives (art. 35); donc, suivant l'hypothèse de l'article 32, il faudra que l'exposant m soit positif. Si les corps se repoussaient, F serait une quantité négative, et il faudrait alors que l'exposant m fût aussi négatif, et que, de plus, on eût p = o, p = o, Y = o, Y = o, pour rendre nulles les excursions transversales r\ et X,.
37. Il y a une remarque importante à faire sur l'expression générale <le ^r que nous venons de trouver. Quoique nous ayons supposé que le nombre /? des corps mobiles est donné, et que la corde, dont la longueur est aussi donnée, est fixe par ses deux bouts, le calcul n'est pas arrêté par ces suppositions, et l'expression dont il s'agit donne la valeur de ^r pour tout corps placé sur la même ligne droite dont le rang serait exprimé par un nombre quelconque r entier, positif ou négatif.
En effet, puisque ce nombre r n'entre que dans sinrç, il est visible qu'on peut lui donner telle valeur que l'on veut, et l'on voit en même
temps que, comme 9 = -£îi-, ce sinus ne changera pas de valeur si
l'on y met 2.'k{Fi -h 1) -h r à la place de r, et deviendra simplement négatif si l'on y change r en 2X(w -h i) — r, X étant un nombre quelconque entier, positif ou négatif. D'où il s'ensuit qu'en imaginant, suivant l'esprit du calcul, que la corde s'étende indéfiniment de part et d'autre, et qu'elle soit chargée, dans toute sa longueur, de corps égaux et placés à distances égales entre eux, les mouvements de ces corps seront tels, qu'on aura toujours
Or il est facile de voir que la formule 2'k{n -h i)± r peut représenter tous les nombres entiers, positifs ou négatifs, en supposant r compris entre o et n -h i; car, ayant un nombre entier quelconque, si on le divise par 2(/^ h- i) jusqu'à ce que le reste, positif ou négatif, soit moindre que n-h i, ce qui est toujours possible, et qu'on prenne X pour le quotient et dir pour le reste, ce nombre sera représenté par 2X(/t 4- i) ±: r. Ainsi la valeur de ^ relative à un corps quelconque placé sur la même ligne, à telle distance qu'on voudra de l'origine de Taxe /, se réduira toujours à la valeur de ^ pour un des corps placés sur cet axe.
Comme la relation que nous venons de trouver entre les différentes valeurs de $ est générale, quel que soit le nombre r, si l'on y met
X(w -f- 1) -f- r à la place de r, et qu'on prenne les signes inférieurs, elle devient
D'où il est facile de conclure que, si l'on imagine toute la longueur indéfinie de la corde divisée en parties égales à l'axe / de la corde donnée, les valeurs de ^, dans chacune de ces parties, seront les mêmes à égale distance des points de division, mais de signes différents dans les parties contiguës. Si donc on représente les valeurs de $, pour tous les corps placés sur l'axe /, par les ordonnées des angles d'un polygone décrit sur cet axe, il n'y aura qu'à transporter ce polygone alternativement et symétriquement au-dessous et au-dessus de l'axe prolongé des deux côtés à l'infini , de manière que les côtés qui aboutissent aux points de division soient les mêmes, mais placés en sens contraire et dans la même direction; on aura ainsi à chaque instant les valeurs de Ç pour tous les corps qu'on supposera distribués sur la même ligne droite prolongée à l'infini par les coordonnées des angles de ce polygone composé d'une infinité de branches. Ces valeurs seront nulles dans chaque point de division, de sorte que les corps placés dans ces points seront d'eux-mêmes immobiles; et c'est ainsi que le calcul satisfait à la condition que les deux bouts de la corde donnée soient fixes.
Ce que nous venons de démontrer par rapport aux variables $ a lieu
également pour les différentielles ~; car, en différentiant l'expression
de ^r par rapport à ^ on a une expression de -^ à laquelle on peut appliquer les mêmes raisonnements.
Donc les valeurs de a et de a, qui représentent celles de ^ et de ~
au premier instant, et qui sont arbitraires pour tous les corps placés sur l'axe /, seront représentées par une pareille construction dans l'étendue de la corde de longueur indéfinie.
Comme les expressions des deux autres variables yj et 2^ ne différent de celle de ^ que par les valeurs initiales p, ^ et y, y, qui sont à la
kik MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
place de a, a, les mêmes résultats auront lieu aussi par rapport à ces autres variables.
38. On conclura donc, en général, que, si une corde tendue, d'une longueur quelconque, est chargée de corps égaux et placés à distances égales entre eux, et qu'ayant divisé cette corde en plusieurs parties égales, comprises chacune entre deux corps, tous les corps, à l'exception de ceux qui sont dans les points de division, soient ébranlés à la fois, de manière que Tébranlement soit le même, mais dans un sens opposé, pour ceux qui sont a distances égales de part et d'autre de chaque point de division, les corps placés dans ces points de division demeureront immobiles d'eux-mêmes, et chaque partie de la corde aura le même mouvement que si elle était isolée, et que ses deux extrémités fussent absolument fixes.
11 résulte de là qu'une corde tendue, de la longueur /, fixe par ses deux extrémités et chargée d'un nombre n de corps, étant divisée en V parties égales, v étant un diviseur de /i 4- i, si l'état initial est tel que les corps placés dans les points de division n'aient reçu aucun ébranlement, et que ceux qui sont en deçà et en delà d'un point de division à distances égales aient reçu des ébranlements égaux, mais en sens contraire, la corde oscillera comme si les points de division
étaient fixes et que la corde n'eût que la longueur -•
39. La séparation des variables dans les équations en 5, yj, Ç peut encore avoir lieu sans supposer que les corps soient disposés en ligne droite dans l'état d'équilibre, mais en supposant que leurs distances mutuelles ne varient pas dans le mouvement. Nous avons remarqué dans l'article 14 que ce cas dépend des mêmes formules générales, en y regardant la quantité $, et, par conséquent aussi, la quantité F, comme indéterminées; et nous avons vu, dans, l'article 22, que l'on a alors l'équation de condition
laquelle fait disparaître, dans les équations générales de Tartiele 2i, tous les termes multipliés par G.
En n'ayant égard qu'a la pesanteur des corps, et prenant l'axe des
abscisses x et a, vertical et dirigé de bas en haut, on aura y- égale à
la force accélératrice de la gravité, que nous désignerons par g^ et, de
plus, ^ = o, -^ - = o; et les équations de l'article cité deviendront
dHr. T. /w.I>y}
jDm-D,(.j,^ -|»,n-n,(F|) = „,
où les variables sont séparées.
La valeur de F sera (art. 22)
F = \/{g^ Dm 4- ky 4- B* -h C«.
Les équations en X, Y, Z deviendront donc (art. 23)
X'XDm-t-DYFÎ^Wo, XYDm + DYF^Wo, /rZDm+D/FlJ^Wo,
qui sont, comme l'on voit, tout à fait semblables entre elles; de sorte qu'on pourra supposer X = Y = Z, parce que les constantes arbitraires par lesquelles ces quantités peuvent différer, devant être déterminées par les mêmes conditions, deviendront aussi les mêmes. Ainsi les valeurs $, yj, J^, données par les formules générales de l'article 30, ne seront différentes que par les valeurs initiales a, p, y, a, p, y» qui peuvent être quelconques.
Toute la difficulté se réduit donc à trouver l'expression générale
(le X; mais c'est à quoi Ton ne saurait parvenir par les méthodes connues.
Ce cas est celui d'un fil inextensible chargé de plusieurs poids et fixement arrêté dans ses deux extrémités.
40. Lorsque le fil n'est arrêté que par une de ses extrémités, que nous prendrons pour l'extrémité supérieure, le corps le plus bas devant être libre, il faudra, par l'article 17, que la valeur de $ ou de F soit nulle a Textrémité inférieure. Or, en prenant cette extrémité pour l'origine des abscisses, que nous supposons dirigées de bas en haut, et y faisant commencer la somme §Dm, la valeur de F y sera nulle, pourvu qu'on ait A= o, B = o, C = o. On aura ainsi F = ^§Dm.
(]omme on a, dans ce cas,
les équations de l'article 22 donneront Da = D/, D6 = o, Dc=o, c'est-à-dire que les ordonnées 6, c seront constantes; de sorte qu'on aura, pour l'état d'équilibre, une ligne droite parallèle à l'axe vertical des abscisses a. Ainsi l'on peut faire /> = o, r = o, en prenant pour l'axe des a la verticale qui passe par le point de suspension du fil.
Ce cas, qui est celui des oscillations très petites d'un fil suspendu a un point fixe et chargé d'un nombre quelconque de poids, est aussi susceptible d'une solution générale lorsque les poids sont tous égaux entre eux et placés à distances égales les uns des autres.
41. Dans ce dernier cas, en nommant n le nombre des corps, M la somme de leurs masses Dm et /la longueur du fil, on a
et si l'on nomme, de plus, r le nombre des corps, à commencer du plus bas jusqu'à celui auquel répondent les variables ^, y], 2^, on aura
SDni=:(,-.)Dm = i^::=il^;
et, (le là, on aura
L'équation en X de Tarticle 39, étant multipliée par -^> deviendra,
en mettant X^ au lieu de X, et observant que ,X devient X^, et que
X, devient X^+.^,
— X,4-D[(/--i)DX,..,] = o, gn
savoir, en exécutant les différentiations indiquées par la caractéristique D, suivant la formule de l'article 16,
Ik
— Xr -h (Xr+, — Xr) 4- (r — I ) ( Xr-i — 2 X;. -h Xr+, ) =1 O.
Cette équation, à cause du coefficient variable /% ne peut pas être traitée comme celles qui donnent les suites récurrentes ordinaires; mais on peut en déduire successivement les valeurs de X.^, X,,
Pour cela, il n'y a qu'à la mettre sous cette forme, ou // = — »
De là, en faisant successivement r = i , 2, 3, . . . , on aura
X,= (i-yi)X„
X3=^-=^X,-ix,==(i-2A4--')X„
et ainsi de suite; de sorte qu'on aura, en général,
( ') Lo terme général est (- i)p ''^'' ~'p'' '^^ ~ ^ "^ '^/tPXi. (/. Bertrand.) XI. 53
L'extrémité supérieure du fil devant être fixe, on peut supposer qu'elle réponde au corps dont le rang serait n -+- 1; ainsi il faudra que l'on ait X;,^, = o, ce qui donne l'équation suivante, en remettant pour
h sa valeur — >
__ Ik (n — i)nk^' (/^ — 1)(/^ — 2)/^A'>
g krig' 4-9'* (T
laquelle sera, par rapport à k, du degré w, et donnera, par conséquent, les n valeurs de ^, que nous désignerons en général par kf^\
42. Il n'y aura donc qu'à substituer, dans les formules de l'article 30, l'expression précédente de X^ à la place de X, de Y et de Z, et celle de ^^^^ à la place de k, et ensuite exécuter les sommations indiquées par les signes S et 2]- Mais il faut observer que dans le cas présent, où l'on suppose D6 = o, De = o (art. 40), l'équation de condition de l'article 39 donne Di = o et, par conséquent, Ç égale à une constante pour tous les corps, mais qui peut être une fonction de /; donc on aura, pour le commencement du mouvement, a et a égales à des constantes; or, le premier corps étant supposé fixe, les valeurs initiales a et a sont nulles pour ce corps; donc elles seront aussi nulles pour tous les autres. Par conséquent, l'expression générale de la variable ^ deviendra nulle. Cela a lieu en négligeant, comme nous l'avons fait, les carrés et les puissances supérieures des variables $, Y), ^, supposées très petites. En effet, l'équation D^ = D/ de l'article 19, à cause de
et de
D6 0, De 0,
donne d'où l'on
tire
2Da
de sorte que les variables Ç seront du second ordre par rapport à y]
et L
Désignons maintenant par $^ cette fonction de r,
et mettons dans l'expression générale de la variable yj de l'article 30, à l'imitation de ce que nous avons fait dans l'article 36, y]^ au lieu de y], et$^au lieu de Y dans les termes qui sont hors du signe §; mais, dans ceux qui sont sous ce signe, nous changerons r en s, et nous mettrons p^, Pj au lieu de ^ et ^. On aura ainsi, pour un corps quelconque dont le rang est r en montant,
où le signe § exprime la somme des termes qui répondent à ^ = i, 2, 3, ..., n, et le signe ^ représente la somme des termes qui répondent àp = I, 2, 3, .. ., /i, en supposant que i^*\ k^^\ h^\ .. ., ^'"^ soient les racines de l'équation en k^^\ représentée par
On aura une expression tout à fait semblable pour la variable X^^ en changeant simplement p„ p, en y,, y,.
Le problème des oscillations infiniment petites d'un fil chargé d'un nombre quelconque de poids égaux est donc complètement résolu; il ne reste qu'à déterminer les racines de l'équation en k^^\ ce qui ne paraît pas possible en général.
43. Au reste, quoiqu'on ne puisse pas déterminer ces racines, on peut néanmoins être assuré qu'elles doivent être toutes réelles, positives et inégales; autrement les valeurs de 5, y], X, contiendraient des termes qui iraient en augmentant avec le temps, ce qui ne peut être, puisqu'il est évident, par la nature du problème, que les oscillations
(lu til doivent toujours être de peu d'étendue, si les valeurs initiales de ?, Y), 2^ sont très petites.
Le contraire aurait lieu si Ton supposait la quantité^, qui exprime la gravité, négative, c'est-à-dire agissant en sens opposé; car ce serait le cas oii, le point de suspension du fil vertical étant placé à son extrémité inférieure, le fil culbuterait, pour peu qu'il fût déplacé de la situation verticale. En effet, en faisant g négative dans l'équation en k, tous ses termes deviennent positifs, de sorte qu'elle ne peut avoir que des racines imaginaires ou réelles négatives.
On peut aussi trouver ces résultats a priori, par les principes établis dans l'article 8, ce qui peut servir à montrer la justesse de ces principes. En effet, si l'on a égard à la condition de l'inextensibilité du fil, laquelle donne (article précédent), en prenant les sommes comptées du corps le plus bas,
4 = çi —
2Da
la valeur de V sera simplement §11 Dm, et l'on aura
Mais, puisque le corps le plus haut, qui répond à n-hi, est supposé fixe, la valeur de \ y devra être nulle; ainsi Ton aura
en supposant que la somme renfermée entre deux crochets soit la somme totale. Donc on aura
'Dn^-^])K^
2Da
OÙ le signe § dénote les sommes prises à rebours, à commencer par le corps le plus haut, et qui sont les différences de la somme totale et des sommes partielles dénotées par §, lesquelles doivent commencer au corps le plus bas, ou est l'origine des abscisses.
On aura donc ainsi
v='S«-"--S''"'S'"-4îï^
où Ton voit que la partie de V qui contient les secondes dimensions des variables y] et î^, qui sont maintenant indépendantes, est nécessairement toujours positive, et que, par conséquent, les racines de l'équation en k seront toutes réelles, positives et inégales. Ce serait le contraire si Ton donnait à g une valeur négative.
§ IV. — Sur les inbrations des cordes sonores , regardées comme des cordes tendues y chargées d'une infinité de petits poids infiniment proches iun de l'autre; et sur la discontinuité des fonctions arbitraires.
44. La solution générale que nous avons donnée du problème des cordes vibrantes a lieu, quel que soit le nombre n des corps mobiles, et quel que soit aussi leur étal initial; par conséquent, elle doit s'appliquer aussi au cas où le nombre n deviendrait infiniment grand, et les intervalles entre les corps diminueraient à l'infini, de manière que la longueur de la corde restât la même : alors le mouvement de chaque corps se trouvera représenté par une série infinie de termes dont la somme sera équivalente à une fonction finie, différente de celle de chacun de ses termes. Ce cas est celui d'une corde sonore uniformément épaisse, et l'on a coutume de le résoudre directement par le Calcul différentiel; cependant il peut être intéressant pour l'Analyse de faire voir comment on peut le déduire de la solution générale, surtout parce que, de cette manière, on sera assuré d'avoir une solution applicable à quelque figure que la corde puisse avoir au commencement de son mouvement.
45. Nous remarquerons d'abord qu'en supposant n infini, la valeur de v^ (art. 34) devient y T%i?'^^ parce que la dernière limite de 2(/i H- i) sin —^ — - est pir, de sorte que les racines de l'équation en k.
qui étaient toutes incommensurables entre elles, tant que le nombre n des corps mobiles était fini, deviennent toutes commensurables lorsque
n est infini, ayant pour commune mesure '^\/ Tsi ^^"^ '^^ excursions longitudinales $, et '^-y -j^ dans les excursions transversales yj et î[; d'où il suit que la corde reprendra toujours sa première figure par rap-
port a Taxe, au bout d'un temps égal à 2i/-^> quel que puisse être son état initial.
Il est vrai que, le nombre p pouvant aussi devenir infini, il y aurait
des cas où Ton ne pourrait plus supposer 7L[n->r i)sin ^^ — - = pi:;
mais, comme cela ne peut avoir lieu qu'après un nombre infini de
termes dans les séries infinies marquées par 2] • il s'ensuit de la théorie connue de ces séries que ces cas particuliers ne sont point une exception au résultat général.
On peut d'ailleurs s'en convaincre directement; car, dans le cas de n infini, les différences finies marquées par D deviennent infiniment petites; ainsi l'équation en X de l'article 33 devient, en changeant D
en d, et mettant pour /i -h i sa valeur -i-» laquelle, étant intégrée, donne
X = H sin f rt V/tf' ■*" ^ ) •
Il faut que X soit nul lorsque a = o et lorsque a = /, parce que les deux extrémités de la corde sont fixes; la première condition donne
£ = o, et la seconde donne ' 1/ Tp = p*^» d'où Ton tire v^ = p'^^ 1/ tîî » comme plus haut.
On n'a donc pas besoin, dans ce cas, pour que la corde revienne toujours h son premier état, de supposer qu'elle ne fasse que des oscillations simples et semblables à celles d'un pendule, comme dans Far-
ticle 35; car, quel que soit son état initial, on est assuré que ses vibrations seront toujours isochrones entre elles, et synchrones à celles d'un
pendule simple de longueur égale à ^; mais la loi de ces vibrations
sera différente de celle des vibrations des pendules, et dépendra de Tétat initial de la corde.
Pour connaître cette loi, il faut voir ce que deviennent les expressions générales de Ç, yj, ^ dans le cas de n infini; c'est ce que nous allons examiner.
46. Faisons, dans la formule générale de l'article 36, les substitutions de ^^ a la place de o et de , ^^ , à la place de sin -, en sup-
posant n infini ; et au lieu des exposants ou indices r et 5 qui dénotent le rang des corps auxquels appartiennent les variables Ç et a, employons, ce qui est plus simple, les parties mêmes de l'axe ou les abscisses qui répondent à ces corps, en dénotant para? l'abscisse relative à S et par a l'abscisse relative à a et à a. Comme la longueur totale de la corde est supposée égale à /, on aura
— T' — : — — 7' n ~h i — 'Tz-'}
n -^ i l /i -h I / • Da
et la formule dont il s'agit donnera cette expression générale des excursions longitudinales ^
Ç ^ ^2 sin e^ [a(P) cos(p;r A'O + À<P) ^iiîigf^^] .
en faisant
A(P) = §(sinP^^),
Le signe 2] dénote ici une suite infinie de termes qui répondent à p = I, 2, 3, ..., à l'infini; et le signe j§ dénote d'autres suites infinies de termes qui répondent à* toutes les valeurs de a, Da, 2Da, 3Da, . . ., à l'infini, à cause de Da infiniment petit.
42i MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
On aura de pareilles expressions pour les excursions transversales y]
et 'C en changeant A' en A et a, a en p, p et en y, y.
47. Daniel Bernoulli, en généralisant la solution du problème des cordes vibrantes donnée par Taylor, était parvenu à une formule semblable à la précédente, mais dans laquelle les coefficients À^p^ étaient nuls et les coefficients A^p^ dénotaient simplement des constantes arbitraires dépendantes de la figure initiale de la corde [Mémoires de Berlin, 1753); et il avait cru pouvoir expliquer, par les différents termes de sa formule, les sons harmoniques qu'une corde sonore fait entendre, avec le son principal. Notre formule, dans laquelle ces coefficients sont exprimés par les valeurs initiales a, a, nous met en état d'apprécier cette explication, qui a été adoptée par plusieurs auteurs après lui.
En effet, il est facile de voir que le son principal de la corde sera donné par le premier ou les deux premiers termes de la série, qui répondent k p = i, et que les sons harmoniques successifs, c'est-à-dire l'octave, la douzième, la double octave, la dix-septième, etc., seront
donnés par les termes suivants, qui répondent à p = 2, 3, 4» 5,
Donc, pour que le son principal domine parmi tous les autres, et qu'il n'y ait que les premiers des harmoniques qui se fassent entendre en même temps, il faut supposer que les coefficients A^*^ À^*^ soient beaucoup plus grands que tous les autres pris ensemble, et que les coefficients suivants :
\^-\ A(»>, A(*), ...; À<«), Àî»\ À<*)
forment des séries extrêmement convergentes. Mais, par la manière dont ces coefficients dépendent des valeurs initiales a et à, on voit que cette supposition est inadmissible, en regardant l'état initial de la corde comme arbitraire; on voit même que, dans la plupart des cas, ces coefficients formeront des séries divergentes, ce qui n'empêchera pas que la corde ne fasse des vibrations isochrones ou d'égale durée, seule condition nécessaire pour la formation d'un ton.
48. Quoique les formules de l'article 46 donnent rigoureusement le mouvement de la corde au bout d'un temps quelconque /, les séries infinies qui entrent dans ces formules empêchent néanmoins qu'elles ne représentent ce mouvement d'une manière nette et sensible; mais, en envisageant sous un autre point de vue la formule générale de l'article 36, on peut en tirer une construction simple et uniforme pour déterminer l'état de la corde à chaque instant, quel que puisse être son état initial.
Reprenons cette formule, et mettons-la sous la forme suivante, ce
qui est permis à cause de l'indépendance des signes sommatoires j§ etV:
a, > J sms^ cos 2(/ï -+- i)h ts\n -^ >
l . sin lin 4- i)/i'^sin2 i
(n -h i)/i'sin -
Nous tirerons d'abord de cette formule une conséquence qui nous sera fort utile. Comme on a supposé que a est la valeur initiale de Ç (art. 29), il faut qu'en faisant / = o dans l'expression précédent de Ç^, elle se réduise à a^, et qu'on ait, par conséquent, cette équation identique
Sv^ 2 sin/o .
Il est évident que le second membre de cette équation ne peut se réduire h a^, à moins que l'on n'ait, en général.
> SI n .Ç o :rr o,
tant que s est différent de r; et que, lorsque 5 = r, on ait
2 2 sin/o .
^sin/'o = I,
9 étant égal à > et le signe V étant rapporté aux valeurs succes-
