XI
sives 1 , 3, 3, .... n de p : ce qui donne une série formée des produits de sinus d'angles multiples de et > dont la somme devra
être toujours nulle dans le premier cas, et égale à dans le second.
C'est aussi ce qu'on peut démontrer directement par les formules connues, pour la sommation de ces sortes de suites.
Dans ces formules, r et 5 sont supposés des nombres quelconques
entiers compris entre o et n -h i; mais, a cause de ç = ^^ > p étant
aussi un nombre entier, si l'on met 2'k[n -i- i) =i= r a la place de r, X étant un nombre quelconque entier positif ou négatif, on aura
si n [ 2 X ( /i -h I ) dt /•] 9 1^ ih si n /• 9 ;
par conséquent, on aura, en général,
2(2sinr2>v(w-i-0it:/*l9 . ) != -■ =^sm59 > = ±:i ou =: o, ( /«-ri ^ )
selon que s sera égal à r ou non.
La formule 2'k{n -{- i)±r peut représenter tous les nombres entiers positifs ou négatifs, comme nous l'avons vu dans l'article 37; ainsi, ayant un nombre quelconque entier N, on peut faire N = 2X(/i -{- i)dtr, ce qui donnera
rr=zit:[N — 2X(/i-f-i)],
et l'on aura, en général, quel que soit N,
sinNo sin.Ç9 i
n rh i 2
in - ou =o,
selon que s sera égal à ±: [N — 2'k{n -h i)] ou non, s étant un nombre entier entre o et n-h i.
49. Cela posé, comme l'expression de ^^ est composée de deux parties, dont la première contient les valeurs initiales a de la variable ^,
et dont la seconde contient les valeurs initiales a des différentielles -r >
al
nous considérerons ces deux parties séparément, et nous désignerons
SECONDE PARTIE. - SECTION VI. i27
la première par Ç). et la seconde par $]J., de manière que l'on ait
En supposant /i infini, Tangle ç = ^^ devient infiniment petit, et sin? se réduit à ? (art. 46). Faisant cette substitution dans l'exprèssion de ^^, on aura (art. 48)
£,.=: Va,N^ sin/*9 sin5ocos(/i 4- i)/t'^9;
et développant le produit sin/:9cos(/i ■+- \)h'tr^.
Comme n est supposé un nombre infiniment grand, on pourra toujours regarder comme un nombre entier le nombre [n 4- i)A'/, quel que puisse être le nombre exprimé par h i.
Ainsi, en faisant, dans la dernière formule de l'article précédent.
on aura où
; !: ±J- Cl n c m \ — -t- I ,
et faisant N = r — (/i 4- i)A'/, on aura pareillement
^^2-|— ^TTl =^sm.9J-:ti«.,
où
X et X' étant des nombres entiers quelconques, ou zéro. Donc, réunissant ces deux valeurs, on aura simplement
oii les sij:;nes ambigus de a, et de a,' répondent à ceux des valeurs de s et de s\
•i 50. Mais, à la place des exposants ou indices r et 5 qui dénotent le
rang des corps auxquels appartiennent les variables ^ et a, il est plus
commode d'employer les parties mêmes de la corde comprises entre la
première extrémité fixe et ces mêmes corps.
Désignons, comme dans l'article 46, par x la partie de l'axe ou
l'abscisse qui répond à i, et para celle qui répond à a; la longueur
de la corde étant /, on aura
et de même
ce qui donne
et à la place de $,., a„ a, , on pourra écrire simplement i^, a^, a^ .
Substituant ces valeurs de r, s, s' dans les formules de l'article précédent, multipliant par /et divisant par /^ -h i, on aura
a =±1(0? -h l/l't — 2ll)y
Sx -— - ï V — ^a — ^a/y
les signes ambigus de a^ et a^' répondant à ceux de a et a; et l'on déterminera ces signes, ainsi que les valeurs de a et de a\ par la condition que ces valeurs soient positives et moindres que /.
51. Représentons par A et A' les valeurs de ±: a^ et dz a^', en sorte
que l'on ait, en général,
sx= — .: — •
Donc:
i"" Si a? 4- Ih't est entre o et /, on prendra a = a? 4- /A7 et A = +- a^;
2" Si a? -4- Ih't est entre /'et 2/, on prendra a= — [x-^-lh't — il) et A = — a^;
3° Si a? 4- Ih'i est entre 2/ et 3/, on prendra a = a? -f- Ihi — 2/ et A = 4- a^. Et ainsi de suite.
De même :
1*^ Si X — Ih't est entre / et o, on prendra a' =^ x — Ih't et A'= a,,;
2'' Si a? — Ih't est entre o et — /, on prendra a' = — [x — Ih't) et
3** Si a? — Ih't est entre — / et — 2/, on prendra a' = o- — Ih' t 4- 2/
et A'= a^'. Et ainsi de suite.
On voit que ces différents cas se réduisent à déterminer les abscisses a ou a', en ajoutant ou en retranchant de l'abscisse x la ligne Ih't^ de manière que, lorsqu'elle passera l'une ou l'autre extrémité de l'axe /, elle soit repliée en arrière et comme réfléchie par des obstacles placés à ces deux extrémités, et à prendre l'ordonnée correspondante a^ ou oLa' positive, si le nombre des réflexions est pair, ou négative, si ce nombre est impair.
52. Mais il est encore plus simple de continuer la courbe des a sur le même axe /prolongé des deux côtés, de manière qu'on ait directement les ordonnées a^ et a^- qui répondent aux abscisses x 4- llit et X — Ih't.
Pour cela, ayant décrit sur l'axe /le polygone d'une infinité de côtés ou la courbe dont les coordonnées sont a^., pour une abscisse quelconque x^ et qui sera donnée par les valeurs initiales des excursions 5^. de tous les points de la corde, il n'y aura qu'à transporter cette même courbe alternativement au-dessous et au-dessus du même axe prolongé indéfiniment des deux côtés, de manière qu'il en résulte une courbe continue formée de branches égales situées symétriquement autour de l'axe et se joignant par les mêmes extrémités, dans laquelle les ordonnées prises à distances égales, de part et d'autre de chacune des deux
extrémités de Taxe /, soient toujours égales entre elles et de signe contraire.
En prenant dans cette courbe les ordonnées qui répondent aux abscisses x -i- Ui't et ^ — Ih'i^ on aura les valeurs de A et de A\ et la variable Ç^^ sera représentée, au bout d'un temps quelconque /, par la formule
On aurait pu déduire tout de suite cette continuation de la courbe qui représente les valeurs de a, de ce que nous avons démontré en général dans l'article 37, en supposant que la corde, au lieu d'être terminée aux deux points fixes, s'étende de part et d'autre à l'infini; le polygone que nous avons imaginé dans cet article deviendra ici une courbe continue, laquelle, étant appliquée au premier instant du mouvement, sera la courbe des valeurs de a prolongée k l'infini.
53. Considérons maintenant la seconde partie de \r^ qw6 nous désignons par Tr» et qui est représentée (art. 46) par la formule
l . sin lin -Hi)A'^sinï
^;.= \a, > ^- — ^sm.Ç9 ^ ^
/ 2(/i 4- i)/r sm-
11 faut commencer par la délivrer du dénominateur sin 2, pour la
rendre semblable à celle de Ç'^ et susceptible des mêmes réductions.
Pour cela, je prends la différence D^r» et comme l'exposant m'entre que dans sinrç, il suffira d'affecter ce sinus de la caractéristique D.
Or, par les tbéorèmes connus, on a
D sin/'9 = siii(/* 4- 1)9 — sinr9 =: 2 sin £cos(/' 4-{)9.
Substituant donc cette valeur dans l'expression de 0$% on aura D^^= , w^N*^* 2j — T" r-^sm^osin 2(/2 -hi)A'^sin-?-
Faisant, pour le cas de « infini, sin - = -> et développant le produit cos(r-+- ^)9sin(w -f- i)h!to, on aura
sîn[/- -4-(/i-f- \)h't -+- Jl? ,•
! n • ^ sin[r — (/i 4- î)/?^/ -4-{]9 .
— ^- - sin59.
Cette expression de D;'^ est composée de deux parties semblables à celles de i'^ (art. 49); on peut donc y appliquer les mêmes raisonnements et la ramener à une construction semblable.
Ayant donc tracé sur Taxe / le polygone d'une infinité de côtés ou la courbe dont les ordonnées pour chaque abscisse x soient ol^, et qui sera donnée par les vitesses initiales a, on la transportera alternativement au-dessous et au-dessus du même axe prolongé indéfiniment des deux côtés, de manière que l'on ait une courbe continue semblable à
celle de l'article précédent. Alors, en mettant j.— ou ||- à la place de /^ 4- I, et négliffeant comme nul le terme —, : vis-à-vis de x\ on
trouvera
et passant des différences aux sommes,
54. Ces sommes ou ces intégrales représentent, comme l'on voit, des aires de la courbe dont les coordonnées sont a; et il faut que ces aires ne commencent qu'aux points où ^r = o et où les abscisses sont Ih'lei —/A'/; mais il est plus commode de les faire commencera l'origine commune des abscisses, qui est l'extrémité antérieure de l'axe /. Pour cela, il faudra retrancher de l'aire qui commence à ce point, et qui répond à l'abscisse x-\-lh't, l'aire qui répond à l'abscisse /A'/, pour que l'aire restante ne commence qu'au point où a? = o; et quant à
i32 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
Taire qui répondra à l'abscisse x — Ih'i, il faudra y ajouter Taire relative îi — I/it, pour en rapporter le commencement au même point de
Torigine des abscisses.
/'• • 0Ldx)x toute aire qui commence à cette
origine et qui répond à une abscisse quelconque x\ d'après ce que
nous venons de dire, on aura, dans l'expression de i^,
^<Xx-tht^x^{J (xdx)x^ihi-^{fQLdx).tht'
On substituera donc ces valeurs, et Ton remarquera qu'on a, en général,
puisque, par la nature de la courbe des a, les ordonnées qui répondent à des abscisses égales, mais de signe différent, sont aussi égales et de signe différent; de sorte qu'on a constamment a/v/-f- a/Vf = ^• Donc on aura simplement (article précédent)
55. Donc enfin, réunissant les valeurs de Ç^ et de 5]p, on aura cette expression générale de Ç^., au bout d'un temps quelconque /,
On aura des expressions semblables pour les variables y)^., îx» ^n chan-
^ géant seulement h' en h et a, a en p, p et y, y, et en supposant qu'on ait tracé de la même manière les courbes correspondantes aux valeurs initiales p, ^ et y, y.
Ayant ainsi les excursions longitudinales Çj. et les excursions latérales r^j., Sx de cbaque point de la corde qui répond à l'abscisse x prise dans Taxe, on connaîtra Tétat de la corde au bout d'un temps quelconque / écoulé depuis le commencement du mouvement, et comme
les valeurs initiales a, p, y, ainsi que a, p, y, sont absolument arbitraires, on voit que rien ne pourra limiter cette solution, tant que les courbes formées d'après ces valeurs auront une courbe continue et ne formeront point d'angles finis, ce qui produirait des sauts dans les expressions des vitesses et des forces accélératrices.
On a supposé (art. 35) h -= y j^^ h' = y j^y l étant la longueur
de la corde et M la masse de tous les poids dont elle est chargée (art. 33); ainsi M sera la masse ou le poids de toute la corde, qui est supposée uniformément épaisse; de sorte que, si Ton nomme P sa pesanteur spécifique, qui dépend de la densité et de la grosseur, on aura M = /P; par conséquent, on aura
A l'égard des quantités F et F', nous avons vu que ce sont deux constantes, dont l'une, F, exprime la tension de la corde et est, par conséquent, proportionnelle au poids qui la tend; mais F' dépend de la loi de cette tension relativement à l'extension de la corde (art. 32).
56. Pour peu qu'on examine la nature des courbes qui représentent les valeurs de a et a, il est facile de voir que les ordonnées éloignées entre elles de l'intervalle 2/ seront toujours égales et de même signe, et que les aires qui se termineront à ces ordonnées seront aussi égales entre elles, parce que toute aire qui répond à un intervalle 2/, pris dans un endroit quelconque de l'axe prolongé à l'infini, est toujours nulle, étant composée de deux parties égales entre elles, mais de signe contraire.
11 suit de là que la valeur de ^^ demeurera la même si l'on augmente
le temps / de la quantité -p ou d'un multiple quelconque de cette quantité; donc les excursions longitudinales de la corde reviendront les
mêmes au bout d'un intervalle de temps égal à ^, ou 2/1/^7; c'est la
durée des vibrations longitudinales.
