LU
ScoLiE. — A l'égard de l'équation (q) qui reste encore k examiner, on prouvera, par un raisonnement semblable à celui de l'Article XLVI, que si le fluide appuie contre des parois fixes, les trois termes
sont toujours égaux à zéro aussi bien que les trois autres
Mais si l'on suppose le fluide libre de toutes parts, ou seulement de quelque côté, alors la quantité F devra être nulle à la surface*' extérieure du
i68 APPLICATION DE LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE, ETC.
fluide dans les endroits où il est libre; on aura donc, pour cette surface, Téquation dF = o, savoir :
dF^ (IF^ dF^ ax dr * dz
ou, en mettant au lieu de -j— ? -j—^ -r- leurs valeurs tirées des équa-
(Ix dr dz ^
tions (p),
(r/ ^ -h n dt\ dx^ld'^ -hrsdt\ dx ^ (rf 57 -^ '^dt\ dz = 0,
précisément comme on a trouvé dans l'Article cité, pour les fluides non élastiques.
DE
[Miscellançn Taurinensia , t. 111. 1762- 1765.1
Sur l' intégration de V équatum A Lv^M^+N^^P^+..=T,
Hnns laquelle l>, M, N,..., T ,fo/i^ des fonetûpwi de t.
I. J^ multiplie cette équation par zdi, z étant iinf; v^iriaM^ inflétiT' minée; jVn prends fintéigrale, j'ai
/Lz, A -/«-$* ^f^'^di ^/P.^rf/-. . -^Jr.J/:
]♦• rbanjîe leî^ e^ipreîwionA
d'y dVzdr d'Vz rd^Pz
Pz^^-
dr dt ît
'Fz rd^Pz .
j'ai, en ordonnant les termes par rapport à j.
dv (., dVz \ d'r.n
Soit maintenant
rfMz rf»Nz f/'Pz
et Téquation précédente se réduira à celle-ci :
laquelle est d'un ordre moins élevé d'une unité que l'équation proposée (Aj.
2. Donc: i*^ si l'on peut trouver une valeur de z, laquelle satisfasse à l'équation (B), on aura tout de suite l'intégrale de l'équation proposée (A), en mettant cette valeur dans l'équation (Cj; 2** si l'on avait deux valeurs diflerentes de z, lesquelles satisfissent également k l'équation fB), on aurait, par la substitution successive de ces valeurs dans l'équation (C), deux intégrales de l'équation (A), à l'aide desquelles on éliminerait la plus haute différentielle de 7, et l'équation résultante serait l'intégrale seconde de la proposée (j'entends par intégrale première, ou intégrale simplement, une équation qui est d'un ordre moins
DE CALCUL lNTkGR\L. »l\
eleve d'une unité que U propostM»: pr intégrale stvomle. unoeijualion qui est d'un ordre moins élevé de deux unités^ et ;iinsi de suite : V' de même, si Ton avait trois valeurs diflert»ntes de 5, ou trouverait trois équations intégrales: d\>ii, éliminant les deux plus hautes dilVértMitielles de V, on aurait une équation qui serait Tintégrale troisième dt» la proposée, et ainsi de suite. IVoii il est aisé de eonetuns «|u'eu eouuatf«muH un nombre de valeurs de z égal à eelui «le rexp(»sant «le r<MMln» tie re«|ua tion ^A , on pourra trouver l'intégrale linte et algébrique de rette même équation.
3. Qu'on nmltiplie l'équation (B; par y//, et qu'on eu prenne Tinte
grale, en faisant disparaître de dessous le signe / toutes les dilIerenre.H
de ;:;, par des intégrations |)ar parties, eomme nous l'avouh pratique sur l'équation ^Ay, on aura, en ehangeant les signes.
rfN» rf'l's i '-"dï-^'d-e ■■■)
fi-r-«%--''Z^'''Z'
..\zdl
ron%r
Dum-, si l'on t'ait
^t qu'on ordonne l'équation reMdntir par r^upport h z, on 'tur^
df dr ■ -* ' dt dt
di \ ^ dV -. //»
- j.: ^-' dt- '- ^- ii'
Vîï 5OLl'Ti0iN DE DIFFÉRKNTS PROBLÈMES
4, Doui\ si Ton peut trouver une valeur de v qui satisfasse à Kéquation D!« on aura Pintégrale première de Téquation B: si Ton a deux valeurs difTérentes de v, qui satisfassent à la même équation 'D , on aura rintégrale seconde de Téquation B « et ainsi de suite; de sorte que, si Ton connaissait un nombre de valeurs de v é^l à celui de Texposant de Têquation B , on pourrait trouver 2 Tintégrale finie et al|!ébrique de cette même équation.
5. l>tte dernière intê^cnile contiendra, romme ou voit, autant de coustautes arbitraires qu*il y a d*unités dans l'exposant de Tordre de Têqnation différentielle B : car les équations E . d*oii elle résulte, contiennent chacune une constante arbitraire. Donc, si Ton fait successivement toutes ces constantes, moins une. égales à zéro, on aura autant dlntégrales particulières, et par conséquent autant de valeurs différentes de z qu*il \ a d*unites dans IVxposant de Tordre de Téquation B : or il est facile de voir que cette équation est du même ordre que Téquation A I : donc on tn>uveni aussi Tintegrale finie et al|sébrique de cette deraièffe équation à .
ti. IVnic Téquation A . sivoir
^«era intej^nàble al^briqueuieut toutes les t'ois qu'où aura m vaWrs de ^ eu / daus le cas de T = o. m etaut Te\poc>ant de Tordre de cette equatioa.
7. Si Tan ne conaats^^it que m — i valeurs de >. d^ns le cas de T=». on pourrait ueauuioins trouver Tiute^nrale al^brique de TequAdoo A . car on aunit daus ce cas nt — i équations E : d'où. eiîniÎBaac les plus hautes ditTereuces de 2. ou parviendnût à une «Hioatioa de cette Iwme
V c — X -^ = Y: V, X et Y étant des touctioos df r. laquelle douwratl
; ^ ,. .' ^ l uns». - / ^^ -& ';
il*Br. etc.
8. Donc l'équation (Â) sera aussi intégrible algébriquement, toutes les fois qu'on aura m — i valeurs de y dans le cas de T = o.
9. Si les valeurs connues de y n'étaient qu'au nombre de /w — 2, alors il faudrait, pour avoir les m valeurs de z, intégrer une équation de cette forme
laquelle n'est intégrable que dans quelques cas particuliers, et ainsi <le suite.
10. Au reste, si l'on ne connaissait pas d'avance les valeurs particulières de y dans le cas de T = o, il vaudrait mieux chercher directement les valeurs de z par la résolution de l'équation (Bj, laquelle n'est guère plus compliquée que l'équation (Dj.
1 1 . Soit l'équation
pour laquelle on connaît deux valeurs particulières de y dans le cas de T = o.
On aura d'abord l'équation en z (3)
donc, supposant que j, et Va soient les deux valeurs de v qui satisfont à
l'équation
r m« dy ., d^y
A et B étant deux constantes arbitraires.
On tii'e de ces deux équations
An - B,v.
Soit d'aboni A = o, on aura
*~ S dr dv,
soit ensuite R = o, on aura
'•:si-''ti
N rfr, dr
dl • dt
Ayant dfuv valeurs dt' r-, savoir z, t*l r.. on les substituent sucoessiv»^ mont dans Poquation C . et l'on aura
dy,j d^ rf/ ' dt
d'où Vou tiîV
r, / T* dt — z fJzdt K 1 = -^
rf*i ^ dz
Tt ~ ^ ~dt
i"«»sl la v^lfur ^enernle et complète de } qui satisfait à TequatioD pn-
|v^set\
Si Ton m < onnais>ait qur la valeur i«. «m aurait simplt-nient Tf-qQa-
th*n
j ii> dy ^ dz
t»»^«fii»- ti^iii miffiYt d»«nnfrait
DE CALCUL INTÉGRAL. kTl
ou bien
Donc, en faisant A = o, on aurait et, en taisant C== o,
Supposons que les quantités L, M, N soient constantes, on aura, comme on sait, pour les deux valeurs de y qui satisfont à l'équation
L V -h M ^ -f- N -^ = o, ^'^ et c*>'; it, et it, étant les racines de l'équation L -h -M* -h NP = o; donc
B e-*^' __ A er*^'
donc
e^*'jJe-**'dt — e^^'Jler^^'dt ^"^ N(Â7=Xj
Si l'on voulait employer les valeurs de z, et de z^ trouvées à la (in du numéro précédent, on aurait
ou bien, en mettant pour v, îw valeurs*'*,
'•-M* '^ '• M + aN>. '
0\>li*
fieckercfu^ des cas d iniégratifm de i'êqualion
l 'i. On «ura iri L ~ a/"", M = o. N = i : doDC l'éqoatioD B deTÎeiidn
Sufrp^fM'^n» <& variable, nous aurons, au lieu du terme -2— « ces deux-ci
^/' /ir ' '^^^''^'' fdift»nl cette substitution et divisant toute Inéquation fmr /^^, on durd Im tr^insformée
S^iil m;ifnU;nant t^di^du, c'est-à-dire u = , on aura, en pre-
nant du pour constante,
du dt
c'est-à-dire, à cause de dt = t~^du,
d^t . , m du
—r- = — mt-'^^ au=^ :
dt m -+-I a '
doncsiibstituant ces valeurs dans Téquation précédente, et taisant, pour
abréger, — = /i, on aura
d*z n dz '
-7-7 -I- - -r- -f- aZ ini o.
du* u du
d^z Si n était égal a zéro, on aurait ^-j -\-az = o; par conséquent z = e^",
i étant une des racines de Téquation t^-ha = o.
Supposons donc « =ice*'', on aura, après les substitutions et les réductions,
d*x / , n\ dx nkx du^ \ u) du w ~~ *
Qu'on fasse
X = \u' ^ Ba*^' -h CW^ H- . . . ,
on trouvera, en égalant à zéro les termes homogènes, les équations suivantes :
/•(r— i) A -h nrX = 0,
(r-l- i) rB -h^.ArA -hn(r-»- i)B -»-/iA-A = o,
(r-f- T»)(r-h i)C-f- 9.*-(rH- i)B-»-/i(r-+- 2)r. -♦- nkB = o,
et ainsi de suite.
D'où Ton tire premièrement, ou r=iv, ou r—i-H/i = o, savoir r = î — 71, ensuite
(r-+-^)(r -h I -h n) (r-+- 3)(r-»- :» -mi)
En ('oml>inant les deux cas de r = o el de r = i — n, et faisant i — n = y et A — I , on aura
F - (3qiv);5=tiv)f7-jpvj .
le sij^nr suptM'ieur étant pour le premier cas, el le signe intérieur pour le serond cas: (J*oij l'on voit que la série se terminera toutes les fois que > sera é}(al à un nombre quelconque impair positif ou négatif, à l'exception de ±1 I .
Ayant ainsi la valeur de x, on aura celle de z par la supposition de z =xe^", et comme Téquation k^ -r-a = o donne deux valeurs de k, savoir k= zïi\/ — a, on aura aussi deux valeurs de z, qu'on nommera, comme ci-dessus, z^ el Zj, el qui, étant substituées dans la formule (T^ du numéro précédent, donneront la valeur de v.
Si a est une quantité positive, les deux valeui-s de k seront imaginaires. Dans ce cas la valeur de or sera de cette forme P :t Q \ -- 1 , et par conséquent on aura
z = ^PdzQ v^ , é^-\- \^,
ou, en mettant au lieu dec*"^^^^sa valeur cos(u\a) ±. sin(uv'^) v— *• savoir : •
z ... , Pros^w^flj — Qsin* a ^fl/j ± I Psin u^a} -»- Qcos^w v'fljj v "^• Soit donc, pour abréger,
P cos ■ a ^a / — Q sin »' M y fl ; = II,
Psin 'u \aj -^ Q cosf u^a, = S, on aura
R-j-S^^^^z, cl R — Sy^— ^2,
DE CALCUL INTÉGRAL. Ml
el b valeur de v deviendra
R/TSrfz-S/TRJ/
13. Si »i = I , on aura n = », et la valeur de a- s»'r.i exprimée par une suite iniinio: mais, en reprenant l'équation <(• . on aura
-F^W -''' laquelle, en faisant z = f\ se ehange vu
a -^ r{r— i) .- o, d'oii Ton tire
Ainsi l'on H.ura les deux valeurs de z.
14. Soient T — o et v = e^^'", Téquation proposée se rliangera en celle-ci :
laquelle est connue sous le nom d'équation de liiccati; on trouvera donc par la méthode précédente l'intégrale de cette même équation.
Intégration de V équation
A, B, C,... étant des coefficients constants.
15. En comparant cette équation avec la Formule générale A . on aurd
Wft ^LUTIO!! DE DIVFÉIIE^IT» PlOBLÉMEâ
Donr le» êi|uatioas B et C tievienilront
f . ^ii. h-^kt z ^d'. h-^knz ^d^..h^kt^z
dt df df
fn A L. ^.d.h^kt'z .d^h^knz 1
r| B h ^ kt z — h. j- — D j- . . .
S^^\{ iiiaintenant
j= h^kt.\
Pt Têquation I étant divisée par A — A/ '' se reiluini à celle-oi :
laquelle étant ordonnée par nipport a r montera a un de)^ dont l'exposant sera le même que l'elui de Tonlre de Tequation proposée H .
Faisant la même r^ubstitution dans Téquation K . on aura, après avoir divisé par h^kt "^^ .
r B~t:A r— i,— DA^ r— 2 r— i — . ..
':^ i:-DA- r^y ^.,. h^kt ^^ D-...,iA^*n»^...
ai ' dv
= h^kt -- \T li^kt'dt.
équation qui devra avoir lieu en meitant pour r rharune des mrine« de Téquation L .
Soit, pour abréger,
. h ^ kt'-^-' JTh^ktdi^ 'î.
l'équation dont il s'agit se réduira à celle-ci :
(M) ajH.(3(/n./r/)^^y(A-hA/r^-*-...= 0.
Supposons que r,, r,, r,,... soient les racines de l'équation (L), et que ^1» «3« oc»^"'f /3f, /Sj, jS,,... soient ce que deviennent les quantités a, /3 lorsque r devient successivement r,, r», r,,...; au lieu de l'équation (M), on aura celles-ci :
(M,) a.r-+-P.(A^A/)^-Hy.(A-+-frO'^-^-. . = «..
(M,) a,^ .+.p,(AH-fr/)^-+-y,(A-f-/r/)>^-h... = 0„
(M,) a,r-+-{3,(A-h/r/)^^y,(A-f-fr/)«^-h... = 0„
dont le nombre sera le même que celui des quantités inconnues j, ^> -^^"'> comme il est facile de s'en assurer. Ainsi, en éliminant les
quantités -^^ -~> • • • » on aura la valeur de y.
Pour cet effet, je multiplie l'équation (M,j par M', l'équation (Ma) par M", et ainsi de suite; après quoi je les ajoute ensemble : j'ai
(a, M' -h x,M''-f-a3M*'-h...)r + (P.M'-f-(3,M"-+-p,M-'^...)(/i-HA7) ^
Je suppose
hSk SOLUTION DE DIFFÉRENTS PROBLÈMES
j'aurai
el toute ia ditricuité se réduira à déterminer les quantités M', >r. M",... par le moyen des équations ^N).
Or, si Ton substitue dans ces équations les valeurs de ^,. y,,..., iS2» 72».--. et qu'on ordonne les termes par rapport aux puissances de r, on verra qu'elles se réduisent à celles-ci :
MV, -+- Wn -f- M"r, -+- H- M<-r« = o,
M' r] -h Wri -h \r r; -h -h M - i^ = o.
M'r; -h Wrl -+- M^r? -h -h M-'r^ = o,
M' C-* H- M" rf»-' -h M" rj»-* -^ . . . -+- M>- r^* = o,
m étant l'exposant de l'ordre de l'équation proposée H^, et la quantité M'a, -h M" 0^2 -h M'a, -h . . . deviendra
dans laquelle V est le coetïicient du terme hA-kty^ -rp;^ de la même
équation, le signe supérieur étant pour le cas de m impair, et le signe inférieur pour celui de m pair.
Telles sont les équations par lesquelles il faudra déterminer les inconnues MMW", >r,..., M''".
Pour rendre cette recherche plus générale, nous supposerons que l'on ait les équations suivantes :
M'/-; -h Wr\ -+- Wr\ 4- -h M^-^r,^ = Vi\
MV; -4- Wr\ -4- M*'r3^ H- -+- W^Wl = R",
M' /•;"-» -f- M^'rJ"-» -f- M^r;"-' -+-... -h M^"^ r^' = R^— '\
(Je prends ici une équation de plus afin que Ton ait autant d'équations que d'inconnues.)
On multipliera la première de ces équations par N, la seconde par N', la troisième par N", et ainsi des autres; on les ajoutera ensemble, et l'on aura
M' (N -+- N'r. H- N'^r; H- ^^ r] -4- ... -h Ne"-^ C"') -h M'^CN -h N'r, -+- ^"rl -¥- ^'^rt -+-... -f- Ne- ^rj»-') -h M-'tN -+- N'r, -+- N'V.; -4- N^'rJ 4- ... -h N^-- );.m-i)
-h M('")(N -h N' r.-h N-'rJ, H- N-^r^ -h ... -h N(—t)^^-i) ^
= NR -4- N' R' -+- N'^R'^ -h N** R^ -h . . . -h NC"-^ RC— >.
Maintenant, pour avoir la valeur d'une M quelconque, comme M^^\ il n'y aura qu'à supposer égales à zéro les quantités qui multiplient toutes les autres M, et l'on aura
(f,) XR -h N^ R' -h N^R'' -4- N^R^ -h . . . 4- N^'"-» R^-" " '^^ ~ N-hN'r -+-N"ri-hN"r^-h..'.'-h"N(— Or^-'" '
et les quantités N, N', N" N*""*' seront déterminées par ces équations
\ -f. N'r, ^ N'^rf -h ... -h Ne— «)rr • = o, \ ^ Nv, 4- N'^rJ H- ... 4- Nf^')r;^« = o,
et ainsi de suite jusqu'à
\ -h N' r« -f- N" ri -f- ... -h NC"- > r;^-' -— o, à l'exception de
c'est-à-dire qu'on aura l'équation
N -h Vr -f- Vr» -h Vr» -»- . . . -f- N('^»)r(- •' = o,
laquelle devra avoir lieu en mettant au lieu de r, successivement r,, Tj. Tj r;„, à l'exception de r^.
Or, comme r,. Ta, r,,..., r;„ sont les racines de Féquation (L;, si l'on représente cette équation par
fl -h 6r -h cr* -h rfr* -h . . . -4-/«'"~' -4- «r* :- o,
on aura, par la théorie des équations,
donc, multipliant par i et comparant les termes, on aura
N- I N' rf
d'où l'on tire
Faisant ces substitutions dans la formule (Q), on verra que la quantité N disparaîtra d'elle-même; de sorte que Ton aura la valeur de chacun des coeflicients M.
Soit maintenant R = o, R' = o, R" = o, . . . , R^^*) = o, on aura
.( ,,) lyc^o R(„^.)
N -+- N' r -h N'Vi -4- . . . -4- NC— ) r--*
DE CALCUL INTÉGRAL. k%1
Oi
/*■ et comme
a-h 6r -h cr* -h . . . -h /r"^* -4- «r* = o,
on a, en mettant r^ au lieu de r,
a H- br„ -h cri -+-... -4- /r*""* = — ur'" ;
donc
N Nu
NC-— ) = -- ^ / Mr'") z= - — r .
De plus, on a
donc, si Ton fait pareillement r = r^, on aura, en prenant la diflérence du numérateur et du dénominateur, à cause que Tun et l'autre s'évanouissent dans ce cas,
N -4- N' r -h N"/» -h . . . -4- NC--^ r*"-» 6 4. acr. H- 3rfri -4- . . . -h mur'^-'
donc
6 H- 2cr.. -f- 3rfr?. -h . . .
Soit
A — BA- ( r -h I ) -4- CA-' ( '' ■+- 0 ('• + 2) — . . .=p VA-"( r -h I )(r H- ?.)• • •( '^ -^ 'w) = P,
de sorte que l'équation (L) soit représentée par P = o, on aura
a -+- 6r -h cr' -h . . . -»- ur^ = P ; donc
«^zjzVA-
(le signe supérieur étant pour le cas de m impaift et l'inférieur pour
relui Ae m pair , et
o -K icr-t- Zdr- -^. . .= -j-ar
dV Dont-, si Ton fait ^ =Q, et qu'on dénote par Q,, Q,, Q,,..., les va-
leiii-s rie Q lorsque r devient r,, r^^ r, on aura
