VA-R- ' ^„ -^V*-R
Substituant donc ees valeurs dans la formule 'P,, et faisant attention que
M'a. ^ M" a, -^ W ol, h- . . . = ±: VA"-' ; M' rf-' -+- W r^-' -h W r^'' -h. . . ) on aura enfin
D'où l'on voit que chaque racine de l'équation P = o donne, dans la valeur de y, un terme correspondant tel que ^k^r-
16. Toute la difliculté se réduit donc à résoudre l'équation P = o: or il peut arriver deux cas qu'il est bon d'examiner : le premier est celui où cette équation aurait des racines égales, le second celui où elle aurait des racines imaginaires.
i" Supposons que Ton trouve deux racines égales, par exemple r2=r,: on fera r.i=^r^ -hs), hi étant une quantité évanouissante; et, comme P peut être représenté en général par ' r — r^) [r — r^) H, on aura
Q=:^=(r-rOn^(r-r.)n^(r-r.)(r-r,)^;
donc, faisant successivement r=^r^ et r = r2, et substituant r, -h ro au lieu de r^, on aura
Q, = — wll, el Q2 = ck)II,,
n, étant la valeur de FI lorsque r=^r^. Pour trouver cette valeur, on
remarquera que, puisque r,=r,, on a (r — r^)* n = P; d'où l'on lire, en diflerentiant deux fois,
et, par conséquent, en taisant r = r,,
2n, = R, et n, = -;
donc Maintenant on a
Q, = ^R. ei Q,= -R.
e, = (h'\-ktr^^-' fT{h-hkiY^dt ex Q, = (h-^ kt)--r-^ Çl(h ^kty^dt;
or
{h -f- kt)-'^' z^ih-hkty^'-'-^ = ( A H- /r/)-^»-» [i — w Iog(A -4- /r/). . .]»
et de raénie
( A -h A/ y* = ( /n- A / )" [ I -h w log ( A -h /r/ )] ;
dont-, négligeant les w*, on aura
9.r=9.-hai(A-f-fr/)-"-'r rT(AH-A/^log(A-+-fr/)flf/--log(A-hAO rxiAH-fr/y-'rf/l, ou bien
donc, faisant ces substitutions dans les termes — ^7^ — ^t^ de Va valeur
de r, lesquels répondent aux racines égales r,, Tj, et effaçant ce qui se détruit, on aura
Q. Q, R. ./ h-hktj ^
On résoudrait de même le cas de trois racines égales, en faisant r2=/*, h- ou,
r, = Ti + Yj, a> et i; étant deux quantités infiniment petites, et ayant égard
aux quantités du second ordre. De cette manière on trouvera que les trois termes —kj^ — kj^ — kj^ deviendront
Vji Ua Vs
,6(A-+-frO"''""' C /^dt r kdi f-,,. ,,.^ --^ S. JlTTVtJTr^ii^^''^'''^'^^'^
d* P S étant égal à -tt^ et S, exprimant la valeur de S lorsque r = rt, et
ainsi de suite.
2® Supposons maintenant que les deux racines r, et Ta soient imaginaires, en sorte que r, = F 4- G \/— i et Ta = F — G y/— i ; il est facile de voir que les quantités Q, et Qa seront de cette forme : Q, = M -h N y^— i, Qjj = M — N \/— I ; de plus, les quantités (h -h *^)"^'-* et (A H- kiY' deviendront
(h~^ktr^-'{/i-hkt)-^'>/~\ et {h-hhtf{h-hktf'^~\
Or soit
(h -h ktf'^"^ =Xfcos(p H-sin© y— >A
on aura par les logarithmes
Gv'— I log(A H- ArO = log>H- ? v'— '»
donc log). = o, savQir
X = i, et 9 =:G log(A H-/r/), donc
( A -+- fr/)^v/-' = cos[G log(A -4- kt)] -h sin [G log(A -h kt)] yj~^i.
et prenant le radical >J— \ en —,
(A -¥- ktr^^-' nr cos[Glog( A -4- kt)] — sin [G log( A -+- kt)] v/'^H;
par ces substitutions on réduira les quantités 5, et ôj à la forme
X dz Y V— I , de sorte que les deux termes ^ k ^ — k^ de l'expression de y se changeront en
Application a l'équation
.17. On aura dtins ce cas A = i et /* --- o; mais eoiiiiiie la supposition (le k = o donnerait P = A ^ o, on supposera simplement X' infiniment petite, et ensuite r infiniment grande, en sorte que kr soit égal a uni* quantité finie p; de cette manière on aura
P - A — Bp -♦- Cp' — Dp» -f- . . . r I),
équation d'où l'on tirera autant de valeurs de p qu'il y a d'unités dans l'exposant de l'ordre de l'équation différentielle, de sorte (|ue, si .l'on appelle p,, p^, p,,..., les racines de cette équation, on aura
pi p2
dp r/P
Or on a Q = -^; donc, si l'on fait -^ = q, on aura Q -^ kQ, et par
ronséquent donc
Or
6 = (h-hkt)-'-" Çl(h^ktrilt:
doue, si Ton fait A = i, et qu*on mette 4 au lieu de r« on aur;i, a r;iij?i^ dp r = oc ,
e = (i^kt * / T i^kt^dii
mdi< on sait que
ttt.
(dans le cas de k infiniment petite), e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est i; donc
et par conséquent
e^ = e-P^' CjeP^'dt, 9, = e-P^' jjeP^'dt,. . ..
Si l'équation P = o a deux racines égales, on transformera d'abord les termes
Oi^ O7 f / Oi^ 0a \
- Q. Q. ~ ~ \Q. Q. j en
(numéro précédent), expression qui se réduit dans le cas présent à celle-ci :
^^"^^ fdt fjeP^'dt;
mais
dr^ dp' '
rf'P donc, si Ton fait ^-7 = r, on aura
^e-P^' fdt CleP^dt
6 9 au lieu des termes ^- On opérerait de même si Ton avait trois,
quatre, etc., racines égales.
Si p, et pa sont imaginaires, de sorte que
p, = F -h Gv^— I, et pa = F — (i/^,
e=^^«'r=r^'^'(cOSG/±SinG/V^"îj,
et
e^P^^ = é^" ( cos G / ± sin g / ^— i ) ;
(le plus on trouvera
Qi = M H- N v^^ ei Q, = M — N v'— ^'
6 Q (lonr les termes ^ se réduiront k
km
ie-
(mcosg/ — Nsino/)
(vsinG/
/ Te"cos
NCOSG/) I
^tdt Te^'sinc/rf/
Résolution de l'équation
«9 f / -h a ( A -+- kt)\ -h. /3y f ^ -f- b{h -+- kt)\ -h yy [ ^ -h c (A -h kt)\ -h . . . = T, dans laquelle ^ dénote une fonction inconnue.
18. On sait que (f[tA-a{hA'kt)\ peut se réduire en série de cette manière :
donc, si l'on développe «le même y [«h-6(A + A«)], <f[t-\-c{h-\-kty .,..., et qu'on fasse
l'équation proposée deviendra
Jr
-I- (aa -f- (36 -I- yc -4- ...)(* -t- *"<)^.-
-t- --^ (ao» -I- jâft' + y c» -I- . . . ) ( A -t- *•/ )» *;^"
Comparant cette équation avec Téquation H; du n*" 15, on a
D=-^ M=-^3ft>-yc>^... ,
donc on aura P
— al I — Aa(r— I, \r — i.vr— a, fv*"-^ i.(r— 2;^r-!- 3j-h ... I
équation d*où Ton tirera les valeui's r«, r^, r, de r, dont le nombre
sera infini: de sorte que la valeur de v sera exprimée par une suite infinie, telle que
5 étant égal à A -i- it/ -^-* | T A -^ ktrdt.
Maintenant il est clair que la valeur de P se réduit à
a i^AaJ-'-' -I- 3(1 -4- Â6)-^« -H 7(1 -h ter'-' -I- ..., douc
Q = — a. I -u Aa)-*^* log(i -4- ifl) — 3(1 -»- ir*r*^ log(i -r- kk) — 711 -h *c)-*^log(i-h*c)— ...,
et réquation à résoudre sera
ad -+- ka)"'-' -h P(i -4- kby^' -h y(\ -f- kc^- » -h . . . :^ o,
/élanl Tinconnue; or cette résolution réussira dans les deux eas suivants: i"" Lorsque l'équation n'a que deux termes, c'est-à-dire lorsqu'on a
a(i -f- ka) '•-' -h (3(1 -h kh) '^' — o;
car, divisant par |3 fi ■^khy^~'\ on a
d'où l'on tire, par les logarithmes,
log
