I -^ ka
Qu'on suppose, ce qui est toujours possible,
— - = > ''cosw -^ slnw ^— I ;,
X étant une quantité réelle et positive, on trouvera pour f» une infinité d'angles différents, et l'on aura
l0g(— Ij =:IOgX-h(k)V— 1,
re qui donnera une infinité de valeurs de r. Soit - une quantité réelle positive, on fera
A=ir9 ros<»> = — I el sinvi^o.
r« qui donne
V étant un nombre quelconque entier positif ou négatif, et :: dénotant
km SOLUTION DE DIFFÉRENTS PROBLÈMES
Tanglt' do i8o dejçrês: donc
ol Ton aura les dilTériMUes valeurs de r, en faisant successivement v égal
Si ? est une quantité réelle négative. — | sera réelle positive: c'est l>oun]uoi on supposera
/ = — ^* cosîk>=i, sin'ïi» = o:
d'oii
01 i>ar oons^^quent
IO|g < — ^ ^ — 2irz ^ ~ I
Kntin« si * est une quantité imaginaire de la f<»nur /» — ç \ — i • on
aura
# c\>> ^= — /» ei > >in «. = — ç, d'où Ton tirr
9 = xp- ^ Ç'^ San •- = — f f-i \'i<.*. = — 4-
FK^nc* si Ton siipptt^je que •» s^^it le plus jn-ùi %iig-)e dvDî le sîdos est e^r*! il — f • ei le oosinus i — -r-- on iur*
V dMK'UTiî C'ionnH * >-d< vatTit nu Donitm- quficoijqiif fiitjer positif ou
iiif * ^ •* ^ : iT ^ — :
' '. 1 — ff,
lOC j-r
2*^ Lorsque i -+-*6 = (iH-zt^*, i -hkc^d -¥-ka^^,...\ car, en faisanl
réquation proposée deviendra
ap -h (3/?' 4- yp*-^' . . = o;
d'où Ton tirera p par les méthodes connues; après quoi on trouvera r par la méthode précédente.
19. Si A — o et A = I , en sorte que Téquation à résoudre soit
«9 ( / -+- tf ) -h (39 ( / -f- 6 ) -4- 79 ( / -+- c) -h . . . = T, alors, suivant ce qui a été dit dans le n** 13, on trouvera
et
Q = - aae- P'' ^ pbe- P^ --y ce- f "" — ...,
et la valeur de v, c'est-à-dire de 9 (t), sera exprimée par la suite intinie
Qi Q2 Q^
dans laquelle on aura, en général,
A l'égard des valeurs de 0, on les tirera de l'équation P = o, laquelle est résoluble dans les mêmes cas que ci-dessus, savoir lorsque le coefficient 7 et tous les suivants sont nuls, et lorsque 6= 2a, c = 3a
Dans le premier cas on aura
«l'oii Ton tire, en divisant par ^e— «* et prenant les logarithmes.
^^»0g( ^) ^,Qg)^,^3^,
Dans le second on aura, en faisant «".*'' = /?,
d'où l'on tirera/?, et par conséquent p.
Solutions de quelques problèmes concernant le nums^ment
des fluides.
20. Si un tluide homogène et non élastique se meut dans un vase de figure quelconque, et qu'on suppose son mouvement arrivé k un état permanent, nommant p eiq les vitesses d'une particule quelconque du fluide parallèlement à deux axes fixes perpendiculaires entre eux, et /, .r les coordonnées rectangles qui déterminent la position de cette particule par rapport aux mêmes axes, on aura les équations suivantes :
^^^=o ei ^-^=o.
dt dx dx dt
Voyez l'Article XLll du Mémoire qui a pour titre : Application de la méthode précédente à la solution, etc., page 4-io- î De ces deux équations on tire celle-ci :
'dF '~ ~^ dx^^ dont l'intégrale est
9 et 'if dénotant des fonctions quelconques.
Ensuite l'équation ^ = ^ donnera
Î)E CALCUL INTÉGRAL. k99
Or, dans chaque courbe que les particules du fluide décrivent, on a ~ = — -, donc l'équation générale de ces courbes sera
p dx — q dt = o^ ou bien, en substituant les valeurs dep et q et intégrant ensuite,
M étant une constante arbitraire, et ^, ^^ dénotant des fonctions telles
que —~-^z=(p[t) et —^j-^ = ^{t), et celte équation devra exprimer
aussi la courbure des parois du vase.
Supposons que Taxe des t divise le vase en deux parties égales et semblables, il faudra que Téquation dont il s'agit ne contienne aucune puissance paire de x; or
(I,^^^^^ir7j=ct>(/,-H9(/)xv/=T-9'(/)~~9"fO:^^-'T...,
y^'it j,^i^^) = x¥{t)^^(t)x^^~f^'y(t)^^rin'f^sf^"^'''
(on suppose ici que (f'ffj = di'' ?' ■') ~ rf/ ' **' "'"*' *'*'* autres); donc l'équation sera
<!>{/) -»F(/) + [<p(0 + «KOI* v'~'-[9'(0-'l''(0]f
Maintenant il est clair que les puissances impaires de x ne peuvent disparaître que dans ces deux cas : i" lorsque
ce qui donne, en difTérentiant deux fois,
3** lorsque
*4U**'*4 >'-9 )'#!•'■.••* u»»'^ lu IiiiiU* *iumii «lUiifU' ni littiiuMî** nt ^.w♦^ ût*
>? vv
1^ <,<'H l;#u;iril //' u^'itaitst^ p tU'smti rieg^live, et^ilemeure positive, ce /|Mf fîM( voir ^|<H' «bfiH rjf r;iH l#rH prlifMjUrs rlu fluide décrivent de côté et ti'iiiiii't' ilii i\iiiun*iré' (\ii vuHi* iU'n i^ourUfs égales et semblables, comme liiiii^ II' riici |M'/'i'/'ib^Mt, ifKiiM Hvec des dirnrtions contraires.
Tout se réduit donc k trouver la fonction $ par cette condition que
* ( / -4- a: v/^ j dt^it — x y/^^) = H ,
X étant donnée en t par la figure des parois du vase, et U étant une quantité constante.
Soit .r = A 4- kt, ce qui est le cas où les parois sont des lignes droites, et l'équation dont il s'agit sera réductible à la formule générale du n** 18.
On fera donc
a = i, ^ = ±1, y = o, a=:v^~7, i = ~ y^~ 7, T=:H, v^*(/), et Ton aura :
i"* — g = T^ I , et par conséquent
X = I , cos ck) = =p I , sin « = o ;
donc 0) = ULTT, n dénotant la demi-circonférence, et a étant un nombre quelconque impair dans le premier cas, savoir dans le cas où Ton prend le signe supérieur, et un nombre quelconque pair dans l'autre cas; par conséquent on aura
I — k yj— I
or on sait que
, I -f- lang u J— I , —
lOg \ =:2M^/~i;
I ~ langM v^— I
donc, prenant u pour l'arc dont la tangente est k. on aura
IXTZ
r-+- iz= ^
i"" On aura, par le même numéro.
»S r^hUllîhy DE DIFFEKOT» fftOlLÊlfE^
or, ;^ r;i»j,v fit- t = -1 on *
ft
rJonr- on ;iijr;i pour !*• premier rà>, iai €r;ïijS4^ di^ r — i u = •-^•
0 " "> ^:rfs'"^* u'u s'iii r — I tf — iog oos u , Cf>s r-f-ijiij^ripai* ctW li.
Iiî .nifçfip nijpér'Hrur ^-Urit pour W* ras où ;x sera de la forme 4> — i. et le jiijçne inférieur pour le eas où ;x sera de la forme 4v ^ 3: et pour l'autre ras
ij y. ('i}S'^^ ii[u ros i r-*- du ^' lof? ros a ,. sin ' r -k i a ] ^ — i
le HÎ^iie supérieur étant pour le eas où il est de la forme 4v« ^t le signe inférieur pour le ras où a est de la forme 4v -^ 2.
V' On aura, à eause de T =^ H,
/ l(li-^ktfdt= r , ( A -h fr/ n' — consi.;
donc
$ ^ . . -f. ( A -4- A-/ ;-^ • X consi.
Donr on aura en général dans le premier ras
-/, ~"± - - - -^-- -h(A-f-*/)-^-'Xconsl.,
et dans le second cas
ù H - A ~ -:±: -. -^ -4-(A-+-it/)-^-»xconsl.
V ;t w ( r -I- I ) cos*^* à y — i
Ainsi, substituant au lieu de r-i- i sa valeur — » et mettant suecessive-
ment au lieu de fx tous les nombres entiers positifs et négatifs, on aura tous les termes qui doivent entrer dans la valeur de y.
II y a cependant un cas à excepter; c'est celui où il = o, et par conséquent r = — I ; dans ce cas on aura
/o T ( A -h *•/)'•(//=: x log ( A -+- A-0 -^- consi.,
et par conséquent
— *• 7:7 = == log(A -h kt) -h consi.
Donc, faisant, pour abréger,
(cosu)'"' = p, (h^ktf" = z.
et prenant des constantes arbitraires A,B, C,..., a, 6,c,..., on aura pour Téquation
$ [/ -+. (A ^ kt) v/^J -h 4) [/ - ( A -h A-0 V^^J = H,
et pour Téquation
<I) [/ -h ( A -4- A-/) v^ (j) [/ - ( A -h AO v^~^J = H,
<p(/) — =^ log( A -h kt) -h A2* -h a^-* -h B^* -h hz' -h . . . -+- consl.
2My— I
Ol
^ 3p» "^ 5 yi'
/? - ^ /^ -h i /i* ~ . . . = arc langyi ,
donc la somme de ces deux séries sera égale \\'-\ par conséquent on aura
.1M ^»LCTIô.^ DE ftIFFEBE>T> PftOBL£M£5
1> r =iAj -ax -^Ej'- 45-* — ...
0>nn;«iss;ftnr mtïm h n;itiirp d*^ \a t'>ni'tioQ 'D. oq tri^a^era par la diffep»*nti;4rion U toni^tion s. *?t par i''"»ns«?«pi»*nt lf?s expri*asioii5 de* vitesses^
r^r ^, kt l'.jn iletrrmintfra Kfiâuitr l*fS«'i>n.>taQtes arbitraires A. a, B. b
p;4r |p^ v;4l»»urH iNinniie^ f^t données de /> et q. I')rîque / = o.
21 . r^'i i = o. de ni;èniere qu»- !•? flui«le >e meuve daos un canal rei-lili^i»- ^t dûnr U l;»rjreur à«iit psrtoat e^r^lr- a 3 A. on supposera t intinH tn«>nt p#>tite. h Ton âura d'abord u =^ i: faisant ensuite i = ah. a Haut une f]iiarititr (>vânoniâsante. on aura
log h ^ kt —\o%'h I — a^/ = logA — a^/:
par ron:^qijent
— = log A -^- A7 = -^^^ -^
flonr. ^i Ton fait r = e^^ . on aum p«iur 4> r les mêmes expressions que
dan?» k numéro prér#*denl, excepté qu'au lieu de = log h ^ ki .
il hu(ir<* mettre
iS2. Si l'on ne voulait pas que le vase eût deux parties égales et seniblablefi, alor«^ nommant x les ordonnées qui répondent à Tune des parois, ^t -r celles qui répondent à l'autre, on aura les deux équations
4» /-^ x'^^, — 4 '/ — x\^. =N\ par le moyen descpjelles on déterminera les fonctions * et H".
Si les deux parois sont des lignes droites, de sorte que
on en viendra à bout de la manière suivante. On supposera A' = A h- H, ^ = A H- K, et la seconde équation deviendra, en faisant H -h K/ = X,
$ (/ ^ ^ ^zr; -h X v^^) - H^ (/ - ^ /=^- X v/^=^ j = N. Soient maintenant
*(<-f-x^— "0=7 et »F(/ — x^/— ~i)=.r'; on aura ces deux équations:
^^dt^^ ' dp l ^rfF 2.3 '^•
La première donne
r-x-M, -jf-^^ -dF--Wdonc la seconde deviendra
dr^ I — d>r{\J'^Y „ ^,
OU bien
équation qui est dans le cas de la formule (S) du n^ 18, et Ton aura
donc, etc.
506 SOLUTION DE DIFFÉRËxNTS PROBLÈMES
On trouvera ainsi la valeur de v en /, après quoi on aura celle de y' par l'équation v' = j— M.
