Les équations
jf =ro/-^a:^ — i; — ^'^/ — x^ — I;, trouvées dans le n"* 20, donnent
OU bien, en Taisanl P = ^, Q = — ?,
ainsi, pour trouver les vitesses/? et q^ il ne s'agit que de réduire l'expression 9 ( / -h a? \ — I ) à la forme P 4- Q \ — ■ i • P ^t Q étant des quantités réelles.
Lorsque la fonction o est donnée algébriquement, on peut trouver les valeurs de P et Q par les méthodes connues; mais, si la fonction 9 est inconnue, alors il faut avoir recours aux séries, lesquelles donnent
Or je remarque : i"* que ces deux séries deviennent divergentes lorsque x est fort grande; 7^ qu'elles demandent qu'on connaisse les différences de la fonction oit), de sorte qu'elles ne peuvent être d'usage dans la pratique que lorsque la fonction 9 est connue analytiquement» et nullement loi'sque cette fonction n'est donnée que mécaniquement» c'est-àdire par le moyen d'une courbe; ainsi je crois qu'il ne sera pas inutile de faire voir comment on peut transformer ces mêmes séries en d'autres qui dépendent uniquement de la fonction 9.
Pour cet effet, je prends la quantité
laquelle étant réduite en série devient
Je prends de plus la quantité
laquelle se change de même en celle-ci :
J'appelle la première de ces deux quantités j, et la seconde y; ensuite je suppose que Y, Y', Y", Y'^,... soient les valeurs de y, lorsque, au lieu de X, on y met o, œ, ix, 'ia?,..., et prenant des coefficients arbitraires a, a', 7.\ a'^,..., j'aurai
= (1 — a — a' — a^— ûT — ...)9(/) - ( I -4- a' -4- 2» a^ -+- 3> «• H- . . . ) — ?'' ( ' )
— (i-+-a'-4-2«a^-l-3»flr-h...)
Soient
iH- a' -f- 2* a^ -h V flT -»- . . . = o, l'' ( I - «^ ~ 2* «^ - 5* fl^ - . . . = o,
[ -f- a' -♦- 2* «^ -f- 3* oT -♦- . . . ^- o,
506 SOLUTION DE Dll^FÉRRNTS PROBLÈMES
on aur»
^. ^ a Y -4- a' Y' -h a" Y" -h ût^ Y-' -+- . . .
Tout se réduira donc à tirer les valeurs de a', a", a*',. . . des équations (Tj. Pour y parvenir, je multiplie la seconde par j3', la troisième par jS'', la quatrième par |3*',...; |3', |3", |3'^,... étant des coefficients indéterminés: après quoi je les ajoute toutes ensemble, ce qui me donne
A présent, pour avoir la valeur d'une a quelconque, comme a'""', je fais égal à zéro chacun des coefficients des autres a; de cette manière j'ai d'abord
et ensuite les équations de condition
I — P'-f-jJ" — {3''-h... = o,
c'est-à-dire l'équation
laquelle doit avoir lieu en mettant au lieu de u tous les nombres entiers I, 2, 3,... à l'infini, excepté m. Donc, si l'on multiplie cette équation
par I -^ et qu'on suppose m = -> on aura
tt' tt^ tt»^
équation dont les racines seront tt^, [\n^, 97:*, 16;:^,... à l'infini; donc, comparant cette équation avec Téquation
sinz ^' ' z* ^*
dont les racines sont aussi, comme on sait, tt*, 4^^» 9^^ iGtt^..., on aura
par où Ton connaîtra les valeurs des quantités j3; mais, pour notre objet, il suffît de remarquer que
I — (3' a* 4- (3"ii* — (3*'a« -h . .
Car, faisant : i** m* = — i , savoir u=>J— i^ on aura
, + P' + P" + P" + ...= j!î^iMEji
2® si l'on suppose u=im^ on trouvera, en différentiant le numérateur et le dénominateur, a cause que l'un et l'autre s'évanouissent lorsque w = m,
le signe supérieur étant pour le cas où m est impair, et le signe inférieur pour le cas où m est pair; donc on aura
OU bien, en faisanl « — a »
OL^''' = =n
e^ — e " /ii*(i —a) — a
donc enfin
— a — tf 4/i~g, — g ^,
é^ — e '• fa ,
Or, puisque la quantité a est arbitraire, on la déterminera de manière que la série devienne la plus convergente qu'il est possible; c*est pourquoi on fera i — a = o, savoir a = i ; ce qui donnera
et par conséquent
9(/ -ha:)-f- 9(/ — j:) 9 (/ -»- ^x) -- 9(/ — 2ar)
9(/-h3x)H>o(/ — 33rJ 1
Qu'on différentie celte équation en faisant varier x, et qu'on l'intègre ensuite en faisant varier t^ on aura
Donc, si Ton fait
p^g'-g'^'f!^.^. 9(/-4-j:)-4-9(/-j:) . :^(t -h ix) -^ <^[t - ix) 27r L^ ^ " -+- « "^ 4"+- '
9 (T-f- 3x)H-!p(f — Sx)
DE CALCUL INTÉGRAL. 5il
et
9 ( / -+- 2 J: ) — <p { / — ■ 2 JT )
-hi
on aura
et les quantités P et Q seront données, comme on voit, par des suites convergentes dont chaque terme pourra se déterminer mécaniquement sans qu'il soit besoin de connaître la nature de la fonction 9.
