est clair que l'intégrale de l'équation (n*" 20y
est aussi
ou, ce qui revient au même,
__ 9 Jl- -+- / v'— l) -f- 9 f^— / y ~l; ^^ X -h t ^—\) — ^{x — / y'— l)
d'où l'on tire ensuite
9 • j: -f- / y'— I j — 9 ■'.r — / y — I ; •} <" JT -h / y — I j -h ^j; ( X — / y — I )
Imaginons que le vase soit formé de deux parois droites et parallèles, en sorte qu'il ait partout la même largeur a; en prenant une de ces parois pour l'axe des /, il faudra que la vitesse q soit nulle lorsque a- = o et lorsque ^ = a, quel que soit /. Or, en faisant / = o, on a /> = y ix) et y = 'V\rj; ainsi, en décrivant sur la portion de l'axe des x comprise entre les parois du vase deux courbés qui soient les échelles des vitesses p et q, que doivent avoir les particules du fluide dans cette section du vase, les appliquées de ces courbes répondantes à une abscisse quelconque X représenteront les fonctions 9 [x) et ^ {x).
5fâ SOLUTION DE DIFFERENTS PROBLÈMES
Preseotemeot od trouvera, par le numéro précédenl,
«=-ir-L^- — r^^^ ^' r^i J
^" — e~-ri , , •:, XH-/.— ':.;x— /• ••.x-^s/.-^i x--2/ i
Donr, puisque q doit élre égale à zéro, lorsque x = o el x = a, il faudra que Ton ait
o / — ;>i— /; o{2/) — :iî — 2/;
o fl-i-/ — 5.a — i\ cj^a — 2/) — Q(a— 2/) •■ 2 ^ J ■- »-. . .
1 , '^^a-^ t)'*-'l[a— l^ -iia -»- 2/; -H-i*fa— - 2/'
ou bien, atin que les fonctions c et 'J^ ne dépendent point Tune de Tautre.
:>fl-*-/) — 5(ii— // 3(a-*-2/)— :; «i — 2/
'-'foi t-i^^'r(-0 . ^(^/i^'lv-:^/)
Pour satisfaire à ces quatre conditions, on supposera que les fonctions z et f soient telles, que Ton ait en général, quelle que soit la valeur de «,
Qa = î5(— II), 9(a-hii) = o(a — n).
ce qui servira à déterminer la continuation des deux échelles données pour les abscisses négatives et pour les abscisses plus grandes que a; laquelle devra par conséquent être telle, que les ordonnées également distantes de part et d'autre des deux extrémités de Taxe a soient égales et de même signe dans la courbe des vitesses /?, et de signes différents dans la courbe des vitesses y; d'où il s'ensuit que la première de ces courbes sera composée d'une infinité de branches égales et semblables, toutes du même côté de l'axe, et disposées alternativement en sens contraire, et que l'autre aura de même une infinité de branches égales et semblables, mais situées alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe.
Ayant donc décrit ces deux courbes, on aura, par les séries données ci-dessus, les valeurs approchées des vitesses pet q de chaque particule du ffuide; d'où l'on voit que le mouvement d'un fluide qui se meut dans un canal droit est déterminé par le mouvement que ce fluide a dans une section quelconque de ce même canal.
De plus il est clair, par la nature des courbes qui représentent les fonctions 9 et ^f , qu'en augmentant ou en diminuant la quantité / de 2 a, ou de 4«. ou de 6a,..., les valeurs de p et de q demeurent. les mêmes; d'où il s'ensuit que si l'on imagine le fluide divisé en portions égales par des droites perpendiculaires aux parois du canal, et placées à la distance 9. a les unes des autres, chacune de ces portions du fluide aura nécessairement le même mouvement.
Si le fluide était terminé par une ligne droite perpendiculaire aux parois du vase, alors prenant cette même ligne pour l'axe des x, il faudrait que p = o lorsque / = o ; donc y (x) = o, et par conséquent
e'^-e-'^Vi ^(x^t)-^(x~^t) ^ 4;(j:-i-2/)-i-v];(^-20 |
Or, puisque la valeur de p est nulle lorsque / = o, elle le sera aussi
lorsque / est égal à 2a, [\a^...\ ainsi le fluide aura dans ce cas le même
Ha SOLUTION DE DIFFÉRENTS PROBLÈMES
mouvement que s'il était renfermé dans un vase de figure rectangulaire dont la longueur fût double, quadruple, etc., de la largeur.
On pourra encore trouver le mouvement du fluide lorsque la longueur du vase sera égale k sa largeur, et en général toutes les fofe que les deux dimensions du vase seront commensurables entre elles; mais il faudra pour lors que les valeurs données de q forment une courbe qui ait un ou plusieurs nœuds, de sorte que la fonction tl^iœ) demeure la même en augmentant ou en diminuant .r d'une quantité égale à la longueur du vase. Dans tous les autres cas, c'est-à-dire lorsque les dimensions du vase seront incommensurables, on ne pourra déterminer le mouvement du fluide par la théorie précédente; et comme cette théorie est fondée sur la supposition que le mouvement du fluide soit dans un état constant, en sorte que les particules du fluide décrivent des courbes invariables, ce sera une marque que l'hypothèse dont nous parlons n'aura point lieu; sur quoi voyez les Articles XLII et XLIII de la Dissertation citée ci-dessus.
Solution dune question relative à ta théorie des cordes
vibrantes.
25. La question que je vais examiner ici consiste à savoir si toutes les courbes qui rendent la solution du problème des cordes vibrantes possible, suivant la théorie de M. d'Alembert, sont renfermées ou non dans' l'équation
r=za sni h p sm -h y sni h ... ;
question que ce grand Géomètre a vivement agitée avec MM. Bernoulli et Euler dans le premier Mémoire de ses Opuscules mathématiques.
Pour pouvoir résoudre cette question d'une manière directe et convaincante, je prends l'équation générale de la courbe que forme la corde vibrante, laquelle est, comme on sait,
et j'examine quelle doit être la forme de la fonction 9 pour que Too ait
eu général, quel que soit /,
cp(/) -h <p(— /)=:o, el 9(a -+- 0-^?(« — 0 = 0,
conditions nécessaires pour que les deux bouts de la corde soient tixes ; or, puisque (p (/j = — ç; (— /), on aura
donc la seconde des deux conditions se réduira à celle-ci :
Otte équation étant comparée avec la fonnule du n"" 19, on aura
a = i, (3= — I, y = o, 6 = — a, T=^o; donc
et faisant p = — r\ — i ,
P = 9.sit\ra\ — i;
donc l'équation P = o donnera ra = fXTr, rx étant un nombre entier positif ou négatif; par conséquent on aura
ut: ut:
or, T étant égal à zéro, on aura
/ Te^'rf^=:consi.;
donc
unt — - =^ e " Xconst.;
donc, donnant successivement à fx. toutes ses valeurs 1, — 1, -+- q, — 2
et prenant des constantes arbitraires A, B, C A', B', C on aura
équation qui revient à cette forme :
71 i T t 3îr/ 3îr/
'^ ( / —a siii ha' ros - — »- âshi •- 3 «os -^ . . . .
a. a. ^. fi' étant pareillement des runslanle» arbitrairet.
Or, par la première condition il faut que
oc cos h 3 cos h . . . = o,
fl a
donc
donc
donc
, TA ^ , itA . ZtA
o{t) =3c sin ri sin h y sm h ... ;
par conséquent Téquation de la figure initiale de la corde, lorsqu'elle en a une, ne peut être que de la forme
TT i3r , 2 71^ , Ô77JC
Sur l' intégration des équations
di dt^ ^ dt dt^
dt " rf/=
dans lesquelles L, M, N,..., l^ m^ n, sont des fonctions
quelconques de t.
26. lin suivant les mêmes principes que dans le n^ 1, on multiplierd la première de ces équations par zdt, la seconde par zdt^ la troisième
par z" dt, et ainsi de suite, Zy z\ z'\... étant de nouvelles indéterminées, et, après les avoir ajoutées ensemble, on en prendra Tintégrale en faisant disparaître, par des intégrations par parties, les différences des variables
7, y\ j",..., de dessous le signe 1 -, de cette manière on aura une équation de la forme suivante :
U -h A V.r -H V'j' -h V't-^ ^,,,)di = Ç( Tz -h Tz' -h T"s" -h . . . ) ^^
dans laquelle
^ ^(Nz — ...-hN'2'~...-l-^''2"-..o-»-..• dr' ai
d.vz , , d.v'z' . . „ J.v'z" \
y [^^ - -dT -^ ■••^ ^' - -^^- ^ ■•■^ ^ ' - sr
dr"
+ -^ ( vz — . . . + v' a' — . . . -H v'z" — ...)-(-...,
„ , rf.Mz rf'.Na
rf.M"z'' //«.N'a;;
, d.mz d'.Ht
^ = ''--dr-'--av
ai di'
V'= Iz -
d . fjL z d'.vz
dt
dr
d\v'z' dr
.fj.'z"
dKv'z'
^"^'^ dt~^~l[p
Supposant donc
équation dans laquelle les plus hautes différences des variables y^ y\ /",... se trouveront moins élevées d'une unité que dans les équations différentielles proposées.
On aura donc autant de pareilles intégrales qu'on trouvera de valeurs particulières de chacune des (juantités a, z\ a",... par le moyen des équations V = o, Y — o, V"= o,.... Or, soit m la somme des exposants des plus hautes différences de v, v', j",... dans les équations proposées, il est clair que la quantité U contiendra autant d'inconnues, comme j",
v', y,..., -j-^ -jT-i "37"'* '' ^"'^' y ^ d'^^î^és dans le nombre m; donc, si l'on a aussi m valeurs particulières de z, de z\ de z",..., on trouvera facilement les valeurs générales et complètes de y, y\ v",....
Soient maintenant Y, Y', Y",... les premiers membres des équations proposées, on aura
(U) f(Yz-hTz'-^-Y''z''-h..,)dt = V -f- f(\y-h\'r'-^\\r'-^...)di; donc, faisant V = o, V ==o, V" = o,..., on aura l'équation U - Ç{Yz-h\'z' -hV'z' -h...)rf' = consi.,
laquelle aura nécessairement toutes les valeurs de 2, z\ z",.., communes
avec les équations V~o, V ==o, V" = o Or l'équation (V , est identique, el par conséquent ne dépend point des valeurs de.v, v, v'\...: donc on peut supposer ces valeurs telles que
et Ton aura par ce moyen l'équation U = const., dans laquelle on regardera les quantités v, y\ v",..., -^t -^y -tt'*- <*omme données, et les ' .^ ., ./ . ai ai at
',, . „ dz dz dz" • 1 . • ' 1 .
quantités z, z , z -t-i -^ o -rf»*" coinnie indéterminées; or il est
aisé de voir que ces indéterminées seront aussi au nombre de m; si donc on a m valeurs particulières de chacune des quantités j, y\ y'\... dans les équations Y = o, Y'=o, Y" = o,..., on aura aussi, par la substitua tion successive de ces valeurs dans l'équation U = const., m équations particulières, d'où l'on tirera les valeurs de s, z\ z" lesquelles contiendront nécessairement m constantes arbitraires; de sorte qu'en faisant successivement toutes ces constantes, hors une, égales à zéro, on aura m valeurs particulières de z, de z\ de z",.... Donc, etc.
