De la résulte ce théorème
Ijes équations proposées seront intégrables algébriquement, si ion peut trouver, dans le cas rfe T = o, T' = o, T" = o, . . . , autant de valeurs particuUéres de chacune des quantités y, y\ v",... quil y a d* unités dans la somme des exposants des plus hautes différences de ces variables .
Au reste, ce théorème n'est qu'une suite de celui du n® 6. Car il est clair que les équations proposées peuvent toujours réduire à ne contenir chacune qu'une seule variable, et il est facile de s'assurer par le calcul que les réduites seront nécessairement de l'ordre m; donc, etc.
28. Les équations V=o,T'=o, V"=o,... sont intégrables en général lorsque
L r^A (h^kt)P, M =B(A-»-/.-0'^, N =C(* -»- *0'^%. • •»
et df même
r -^ a' (h -^ktyi, m' --b'{h-h */;^', . . . ,
et ainsi (les autres.
On fera dans ce cas
z irr R (^ -+- /l/)^ z' = W(h-^ kty, z" = R'^fA ^ ktfy,. . ,
R, R', R",... étant ainsi que r des constantes indéterminées; on substituera ces valeurs dans les équations dont il s'agit, et divisant ensuite la première par ih^ktf^'^, la seconde par l h -h kt^*''^^...^ on aura des équations sans /, qui donneront les valeurs de r, R, R', R"
29. Si les coefiicients L, M, N,..., L', M', N',... étaient constants, on ferait k = o, h = i et r= ^^ p étant une quantité finie, et l'on aurait
[h-hktr^e'';
par conséquent il faudrait supposer
z = Hef', z'^Wef^^ z" = K'^e^' ,. . .,
Méthode générale pour déterminer le mouvement d'un système quelconque de corps qui agissent les uns sur les autres y en supposant que ces corps ne fassent que des oscillations infiniment petites autour de leurs points d'équilibre,
30. Soit n le nombre des corps qui composent le système, et nommons y\y\y"\-'- les espaces infiniment petits que ces corps décrivent dans leurs oscillations pendant le temps /; on aura, en négligeant les quantités infiniment petites du second ordre et des oi^res plus élevés,
DE CALCUL INTÉGRAL. Ml
des équations de relie forme
dn
d' y" dh
dn
-f A" r'-hB^r" -hCy^'-h -4- N-'>-("> - o.
^^^ -h A^-) y' -4- Bt-))'" ^ C(">r'' -4-. . . -f- N<">rt"> = o,
A', B', (]',..., A", B". G",... étant des constantes données par la nature du problème.
Pour intégrer ces équations suivant la méthode expliquée ei-dessus, on multipliera la première par XW/, la seconde par /'V^fe, la Iroi- .sième par >/'e''V/, et ainsi de suite, )/, X", X*',... étant, ainsi que p, des constantes indéterminées; ensuite on les ajoutera ens^Mulde, et on en
prendra Tintégrale en faisant disparaître de dessous le si^ne / les différences des variables^', v", j'%...; après quoi on fera les coelficients des quantités / y'é'^dt, l /'ef^dt, 1 y'^e^'dt,..., égaux à zéro; de cette manière on aura d*al)ord Téquation intégrale
