x'x: -h^"x: -h/x-x: .+-... -h fx(->x:]r

-^ [fx'x^:^-+- /x-xt"^-*- fx-'x^3''^-h. . .-h fx^-)xL"^j r^-) = fx'ô, -h fx"e, + |ui*'e, -h . . . -f- \jS'''^^n\

d'où Ton tirera aisément la valeur d'uii« y quelconque, comme y\ en

rjjili^f:* /'^ <rqaAf.ïorH pîir 4^ ^»>*rffi«!i»rDL* îndé terminas -^ . •>'. >"* >*.

^., ;#pf^ 1^ *voIf ulontf'^rii f-n'*4?inhl»=r. on fen le* c»)efficî^Dt> A» ifusknrif/r^ a, V.', x ('\i^mu ^.^\ » z^ro, ^ï-Xf^f-ple ■r^lai J»? U qiuntiti^ :x":

#rt b iU'U^rïuxïr^ûhu f\(^y^ quantités > . > , v'',.-. depeodm de celle condi-

forv|tH- ry r- ^,, ^j, ^,,..., ^«» excepté s^. Or, leH éqij^ition» Ccj étant multipliées par v\ v", v*,..., et ajoutées

ensemble, donnent

-f- [p' v" -h A" v' -h B" v'' -h C" v" -f- -h N'^ vC)] X"

(0 { -h[p^y'"-+-A''v'-+-B'*'v"-hC'^v'^-h -h ^'"vi^)]yr

Donc, si l'on suppose que les quantités v', v", v'",..., v^''^ ou plutôt leurs rapports, soient tels que les coefficients de X', X", X"',..., X^'^*^ dans cette équation soient nuls chacun en particulier, celui de X^"^ le sera aussi ; de sorte que Ton aura les n équations suivantes :

p' y' -f- A' v' -h B' y" -h C i/" -+-... -f- N' y(-) = o, p^ y" -f- A" y' -+- B" y" -h f/ iT -+- . . .-h N" v^") = o, ( ^') j p' v'" -f- A-'v' -+- B"v" -f- i7)r -*-... -h N'^vC») = o,

1 p2 ^,«^^ A(-) v' -h Be») v" -h O-î v" -h . . . -f- N^-) v(-^ = o.

Et il est bon de remarquer qu'en éliminant de ces équations les quantités v', v", v'",..., on aura une équation finale en p^ qui sera nécessairement la même que celle qui résulte des équations {c) par révanouissement des quantités X', X", X'%...; ce qui peut se voir aisément à /?non. Faisons maintenant p = p^» nous aurons

A' v' -h B' y" -^QJ y^-v- -f- N' v(-) = - pi v',

k"y' -f- Wy" -h C'v^H- -+- N"v(«)=r . p^ y",

Vv' -h B^y'' -h ÇTy^-^r -h N-'v('')= - pi,ir,

\(''^ v' H- BC) v" -h CC-) v'^ -f. . . . -»- N(") v^-) = - pi v(">,

et l'équation i deviendra

(p^ - pi) lv' /' -f- >'' X" -h v'" X*" h- . . . -h v(*) X(-)] = o, laquelle devant être vraie pour tontes les valeurs de p qui satisfont aux

là^ 'tâfr TL.

•^ -,^ ^,.,, et

fc-^ -^

,#^ ■HiPTil^Tlt

^i«^4tf #^f<st BBjA^^'^iJMrr .>^

II AlteiH

*l .'>M#« »v'»tti »f»m»e «fOK la qnaaiue >,* — a^i — a^i*— ...— k^à*

est nulle lorsque p = pi$ pa» p»»...» Pn» excepté p^; or il est fiflicile de voir que les valeurs de ^7» tt»---» ^» tirées des équations (c), seront expri-

mées par des fractions telles que v» ^»-m ^» les quantités y', jr", ^'",... étant de la forme

de sorte que si Ton fait, ce qui est permis, X' = ^, on aura X'^q", V = q''\..., et, par conséquent, la quantité

deviendra de la forme

a -h pp»-4-y p* -»-. . . -h Çp«^— 'J;

donc on aura

ï'm î^'-fr- ï'm X" -h V^ X-'-f-...-*- V;

en prenant tous les facteurs depuis i — ^ jusqu'à 1 — ^» hormis i — -v» et le coefficient x étant égal à la valeur de

lorsqu'on fait p = o dans les quantités X', X", X'^,....

Or, soit P = o l'équation en p' tirée des équations [c] ou {k)^ on aura, en supposant que le terme tout connu de P soit i ,

donc

xP=-v'^x'^v:x-'-f-v:x-'-h...+vrx<-)](.-0.

Prenons les différences de part et d'autre, en faisant varier p, et supposons ensuite p = p^, ce qui changera les quantités X\ l!\ V*^... en X'^,

/ *^ . / * i>oiiJ* ;f lirons

'/P -.. - .. . ... , ..,. Hi,

:î2. Rv^minons m^inifn^nt les •tiifpn^nbt i-aa «pu p^^uveor Jtrnver p»4ariv^^ment ^ir; r^n'ines .ie jVfpiatittn P = o. Et «f^ibord il *ist irl;àir ipii* «h lofites* i'r»M rPii'inH^ T*t)nt replies. pi»^itivp<i r*t Ine^ralt*», It**?- valeur» «tr a H^roni ;«iissi r^eiles i*î lnp<plps: ;»in<M «'p fa« a';)iini ;iinMine «lilfiriiltt*.

S'il V ^ 'l**s r;fiMnes np;raf.iv**5i, ^^lups li*s valeurs ••orrespoaiianteî* «ék a «levienilp'mt imif^in:<ip**s «ie 1;* furnie r v — i - <•>* «fui reiluira tes f*xp«>aen-

. I, ^' •- «'"'' e^^ — e' ' .» -jin rf .^ ,

rip!l#»s «>t 4 ''Hie lorme : iMwrr i*t : «tau il

'«Vnsfiit que ni rôtîtes len rariiu*?* *ie refpiatioD P = o eUieaC réelle*, oégîitivps ^t ine^r^le^, les v;*le»irs <le j< , y', v"„.. oe i!iiQtieatlriàLeQt <|ue fieg ftiniiH et fies r-ôsinus: nous verrons plus h-Ar* que oe i*a» est le seul «mi b solution Mnt l'Kinne en général relativement iè la «piestioa mecauique. pj<^^)ns An ^as de?^ rarines éjrales. et suppos4;ns z. = z,. il est fa*Mle rie voir, par le^^ formules du numéro précèdent, qae les vafeurs «le Q. et rie (Jj devienrlront éjrales a zéro: de :4orte que Tes deui premiers termes de la valeur de v ^ «semblent devoir être infinie. Pour obvier ii ret ineonvériierit. on ftupp^>sera ^^ — 5, - s», -»* étant ane quantité evanouiss;>ote. ef a /aune de

r, V'/?- ^irf|(.-'4)i'-Tl('--)-l'--ll'

V^' //i> 7,<!/p I ' C' ' si ' ^ S-/ \ s; ' J

on ^ura

et de même '

Donc, si l'on fait ^ = R, et qu'on dénote par R, ce que devient R lorsque p devient p,, on aura

Q. = -îiR, et Q,= ^R..

Or, en faisant

on a

V, e^a — V, e^, H TT- — w;

donc

Qi Q) ot)R, &)Ri GaRi lipi R, dpt

On résoudra de même le cas de trois racines égales, et ainsi des autres. Au reste, il est évident que les termes de la valeur de y^'^ qui répondent aux racines égales contiendront toujours Tangle /, et de plus des exponentielles ordinaires si ces racines sont positives, et des sinus et des cosinus si elles sont négatives.

Enfin, s'il se trouvait des racines imaginaires, oi) les réduirait d'abord deux à deux à la forme adhby/—i et a — 6 v^— i, a ei h étant des quantités réelles, de sorte que

pf = a-f-6 V — ■» p\ = a— h y— "♦ et ainsi de suite ; ce qui donnerait

et, par conséquent,

e'^P*' = e=*=/'^*f'V^' = ^*/' f cosg/±sing/ v'^j,

et de même

r*=^«' = e*/' f cosg/±: »in gl v/^).

On ramènerait de même k la forme />-h^\— i et/> — ^\— i les valeurs

(les quantités a, v et Q répondantes à 0, et p^* et on trouverait, après les

substitutions et les réductions, que les imaginaires se détruiraient dans

les deux termes rr ^1 "^ ?f~5j, lesquels contiendraient alors des sinus et

des cosinus multipliés par des exponentielles ordinaires.

33. Au reste, quand on veut appliquer la solution précédente au mouvement d'un système quelconque de corps, on doit supposer, comme nous l'avons fait, que les quantités v',v", v",... soient assez petites pour qu^on puisse négliger, sans erreur sensible, dans les expressions des forces accélératrices des corps, les termes qui contiendraient les

produits ^v^, V v' Ainsi il faudra, pour que la solution soit bonne

mecaniquemeni : i*" que les valeurs initiales Y', Y", Y" Y, Y", Y",...

s()ient infiniment petites: 2"^ que les expressions de v. v", v" ne

contiennent aucun terme qui augmente à l'infini avec le temps i; par conséquent il faudra que les racines de Téquation P = o soient toutes réelles, négatives et inégales, auquel cas la valeur de v' ne contiendra que des sinus et des cosinus numéro précédent;, ou au moins que les termes qui renfermeraient Tare / disparaissent d*eux-mémes.

Donc, 1*^ si û\ est une quantité positive, il faudra que Ton ait

* ce qui fera évanouir le premier terme ^5, de la valeur de v* .

De même, si s; et pi étaient toutes deux positives, mais inégales, on aurait, outre les deux conditions précédentes, encore ces deux^'i :

et il faudrait effacer les deux premiers termes de v' , et ainsi de suite. 2^ Si û\ et pi sont égales et négatives, on aura les mêmes condi-

DE CALCUL INTÉGRAL. »3i

lions f/j, et les deux termes rr^<~^7f-^2 deviendront, en faisant

vi y»

d r-j^ (>; v -f- >•; v^ -h x: v" -h ... -h x^ vc")) 1

2R, rfr,

sinr, /.

Mais si oj et pi étaient égales et positives, alors on aurait encore deux antres conditions a remplir, savoir

d [vf f y. Y^ -}- >:. Y^^ -}- X7 Y" -h . . . -f- >;•;- y("^j d r-^(}:, v'-f- x: v"-f- >.:v-h. . .+ x-/ \») I

dpt

et ainsi du reste.

Mais il y a ici une remarque importante à faire : c'est que les équations (a) n'étant qu'approchées, l'équation P = o doit aussi être regardée comme telle, de sorte que lorsqu'on trouve des racines égales, on n'est pas en droit d'en conclure que les valeurs de p sont égales, mais seulement qu'elles ne diffèrent que par des quantités infiniment petites; d'où il s'ensuit qu'à la rigueur, l'égalité des racines de l'équation P = o ne suffît pas pour introduire des arcs de cercle dans les valeurs de y\ j", v",..., en tant que ces quantités représentent les espaces parcourus dans les oscillations des corps. Cependant, comme la supposition de P2 =z p^ H- 0,;, 0) étant une quantité très-petite, rend aussi les quantités Qi et Q2 très-petites du même ordre, comme on peut s'en assurer par ce qui a été dit dans le numéro précédent sur le cas des racines égales, il

est clair que les quantités ft ^i ft contiendront des termes finis, et

qu'ainsi il faudra, pour que les valeurs de J''»/"» J'^••• soient toujours très-petites, que les termes dont il s'agit disparaissent entièrement de l'expression de y^^\ ce qui donnera, en négligeant l^s quantités infini-

■**'0^.t* ¥^ -rt^f-ii--*** fTT- .^r.*«r

^« y«*«»'^ '^ ^f^^»? : 1 .»<: '.f««#int%fi« i#Hrr 'nsamp- iann^

/f/r'^ff //' //'^^ VfU^oufvi^, M /jni v^!* U4^r^9(^\f^me^nt «Ton «fc^gre i»^ a i'* ^ ^/f^^>A4 1^4 rA^%i%¥% Ap ^-Mtâ: ^/{nation Mnt réelles iié|Batnr» H

inégales, l*état d'équilibre sera stable en général, quel que soit le démngement initial du système;

2^ Si ces racines sont toutes réelles positives ou toutes imaginaires, ou en partie réelles positives, et en partie imaginaires, Tétat d'équilibre n'aura aucune stabilités et le système une fois dérangé de cet état ne pourra le reprendre;

3** Iintin, si les racines sont en partie réelles négatives et inégales, el en partie réelles négatives et égales, ou réelles et positives, ou imaginaires, Tétat d'équilibre aura seulement une stabilité relative et conditionnelle, c'esl-à-dire que cet état ne se rétablira, ou ne tendra à se rétablir, que lorsqu'il y *aura, entre les distances et leà vitesses initiales, les conditions marquées dans le numéro précédent; dans tous les autres cas il sera impossible que le système revienne de lui-même à son premier état.

35. Lorsque toutes les racines de l'équation P = o sont réelles inégales et négatives, il est clair qu'en faisant p^ = —r*, chaque terme de la valeur de r ' se réduira à la forme

acosrt -*- 3sinr/,

laquelle représente, comme on sait, le mouvement d'un pendule simple

de longueur -^', d'où il est aisé de conclure que le mouvement de chaque

rorps sera composé de n mouvements pareils à ceux de n |iendules dont les longueurs seraient