On sait que l'intégrale de l'équation

-777 H- K^> -h L -hflCOSa/ -+■ 6C()S5/ -+-...=: o

>=/^rosK/ -h ^ sinK/-i- |^- (cosK/ — i) -4- jr-^ — (cosKi— vos cet) K K Ik. — or

y et g étant deux constantes arbitraires dont Tune exprime la valeur

de j, et l'autre celle de -^^ lorsque / = o.

Si a = K, on trouvera, en faisant a = R -h w et regardant r.) comme une quantité évanouissante, que les termes

|T^— -— j (cosK/— cosai) se réduisent à celui-ci :

— =T /smK/.

i3. Cela pose, pour intégrer Téquation (A) suivant la méthode ordinaire d'approximation, on négligera d'abord les termes affectés de i, et l'on aura j)our première équation approchée

et, par conséquent,

yzzzfcosKt -f- -g-sinK/ -h |t^(cosK/ — i).

On substituera ensuite cette première valeur de j dans le terme iMy\ en négligeant le terme suivant r^Nj\ et faisant, pour plus de simplicité,

on aiira la nouvelle équation.

ji — ^ K'>' -h L -h / M •- ir: I — 2/ — rr- cosK/ -f- i cos^.K/ — o,

dt^ ^ \ 2 K*/ K 2

dont l'intégrale sera

/mr , L . -^ , . . MLr . , -mr . Mr * - mr . tr ^\

cosK/ + ^^(cosK/ — i)-4- I -=7T-/sinK/ — i — ^-r—fcosK/ — cos^K/)»

li' h.' 2.3 h.'

en supposant

.^, /F' U\ ^, g=o el L-hiM( \-:^\=V.

44. Mais voici une difficulté. L'expression dey qu'on vient d(j trouver renferme un terme multiplié par t, et si l'on continuait le calcul de la même manière, on trouverait encore des termes multipliés par r^, ^,...; cependant il est certain que la valeur de y ne doit point contenir de pareils termes. Pour le démontrer je reprends l'équation (A) et j'^n tire, en multipliant par 2dy et intégrant,

(B) -^ + K\r 4- 2Lj -4- H -f- -y-r* + — j^. . . = o,

H étant une constante qu'on déterminera par les valeurs données de y et de -4j'> lorsque / = o; de sorte qu'on aura, en général,

Je fais -^ = x, j'ai

di

équation qui peut être regardée comme appartenant à une courbe dont x et j soient les coordonnées. Or, puisque i est une quantité très-petite, il est clair qu'on aura à peu près

x^ -h K^x^ H- 2L j -h H = o, d'où l'on tire

Ces deux racines donnent, comme l'on voit, une ovale dans laquelle la

valeur de y est contenue entre ces deux limites :

r = iTi et r

Pour trouver les autres racines, on supposera j= -» et après avoir fait

disparaître les puissances de i qui se trouveront au dénominateur, on cherchera les valeurs de z par les règles ordinaires d'approximation. De cette manière on aura, en ne considérant d'abord que l'équation

et poussant la précision jusqu'aux i^,

et, par conséquent,

3K^ 2L 8/L'M 2iM(H-f-jc') ^ - 21 M "^ K» 3K- 3K*

ce qui donne une branche parabolique infiniment éloignée de l'axe. On tirera de même de l'équation

où

Vf-

/lU

N 4La

(6N'«' + 4Mg4-2K')^-f-4L{â + 2C ''■" 4Na' + 4M«» + 4K'a

4N«» + 4Ma'-i-4K»a'

i'v qui donnera, à cause de l'ambiguïté du radical i/- 2K^, deux

branches paraboliques éloignées a l'infini de Taxe, et ainsi de suite.

De là il est aisé de conclure que la valeur de y ne peut jamais passer du fini à l'infini. Donc, puisqiie / peut devenir infinie, ce qui est évident par la nature même de l'équation (A), il s'ensuit que la valeur de y en / ne doit point contenir de termes qui croissent avec t; donc, etc.

45. Voyons donc comment on pourrait faire disparaître de l'expression de y les termes qui contiendraient des puissances de /, et qui rendraient cetle expression très-fautive.

Qu'on suppose, dans l'équation (A y,

r = x' -^ /. H- ifj- -h /'v -f- . . . ,

X, jUL, V,... étant des constantes indéterminées et y' une nouvelle variable, et négligeant les termes qui seraient affectés de i',..., on aura une équation de cette forme :

(C) -^ -f- K-^}-'-h A -f-/(B-f-M/^)-f-/MC-h 3N/v'='-+-N.r'^)-f-. . . = o,

dans laquelle

R' = K^ -h 21 M >. -f- i' {iMiJ. -f- 3N ):'),

A = L -4- K^>., B = Ky -^ M>.% C = K^'v -+- ^Ma). -f- NX% ce qui donnera pour première équation approchée

"^--f-RV-^Arro;

d'où on aura, en supposant y' =/' et -4t = o, lorsque t = o,

r' = />osR / -h j^ ( rosR / — I ).

Substituant ensuite cette première valeur de y' dans le terme iM v'^

(le l'écjuation (C), et négligeant les termes affectés de i', on aura

On fera A = o, moyennant quoi le terme qui contient cosR/ disparaîtra, et réquation se réduira à celle-ci :

dp • \ 2 / • a

dont l'intégrale sera

r'=/VosK/-^/(^, -4r ^£-*j(cosR/-i)-/^^(cosK/-(-os2R/).

Si l'on veut se contenter de cette approximation, on négligera dans la valeur de R les termes de l'ordre de i^, et Ton aura

R^ = K'-4-2iM).; or la supposition de A = o donne X = — |t^> donc on aura

A regard de la quantité fx qui entre dans la valeur de B, on pourra la supposer égale à zéro, de sorte qu'on aura

Ainsi la valeur de y sera, aux quantités de l'ordre de i* près.

Mais si l'on voulait pousser le calcul plus loin, il faudrait substituer l'expression précédente dey dans les termes 1M7'*, 3i*NXj'* et i*Nj''

de l'équation (C), en négligeant les quantités qui se trouveraient afl'ectées (le /■', et faire disparaître ensuite le terme qui contiendrait cosR/, en supposant égal à zéro son coefficient

ce qui donnerait

5 M/" , 3NR'/"

De (-ette manière on aurait une nouvelle valeur dey' qui ne contiendrait, comme la précédente, que des cosinus d'angles, et ainsi de suite.

La valeur de B qu'on vient de trouver donnera, à cause de B=K*/Lt-(-M).*,

- /3Nr 5M \ ^;,ML^/3N ^ \ „ MD

en mettant au lieu de R* sa valeur approchée K*; d'où l'on aura

R' = K' + 2/>!X-i-/'(2Mu-i- 3NX')

.ML .,r/3N 5M'\.„ 3NL' iWL'l

c'est la valeur de R^ aux quantités de Tordre de i^ près.

46. Je vais présentement donner une méthode particulière pour intégrer ces sortes d'équations différentielles aussi exactement qu'on voudra par approximation, méthode qui aura sur la précédente l'avantage de donner directement, et sans aucune supposition précaire, la vraie forme de l'intégrale.

Je supposerai ici, pour plus de simplicité, qu'on ne veuille avoir égard qu'aux quantités de l'ordre de / et de i^; mais on verra aisément que la méthode aura lieu quelque loin qu'on veuille pousser l'approximation.

Soient y^ = u et y^ =v\ l'équation proposée (A) deviendra

( I) ) -^ -\-X'x -+- L -+- /M // -4- i'-Svzzz o.

Or

dr ^'^^W"^'^~3v''

donc, si Ton multiplie l'équation (A) par 27, et Téquation (B) du n"* 44 par 2, et qu'ensuite on les ajoute ensemble^ on aura

^- -h ^K\r' -h 6Lr + ?.H + — o— .>•" h- ^''N.r' = o.

Mais, comme la quantité i/ est déjà multipliée pari dans l'équation (D),

il est clair que pour ne pas introduire dans la valeur de j des termes de

l'ordre de «\ il faut rejeter dans la valeur de w, et par conséquent aussi

d^u dans celle de -^^ les termes de l'ordre de 1^; effaçajit donc le terme

6i^Ny\ et mettant dans les autres i/ à la place de j* et i' à la place de

v^, on aura

^*" /ir, ut ti loiM

-T- -4-4K*«-i-6Lr-+-2H-4- -r-5 — v = o.

On a de même

d^v ^d^x fi ^J' dF-'^^'dF'^^^ dt^'

donc, multipliant l'équation (A) par 3/^, et l'équation (B) parfij, et les ajoutant ensemble, on aura

^— -t-gK*/*-!- i5Lr^-h6Ey-h 71M r*4-. . . =0.

Or, i^ étant multipliée par i^ dans l'équation (D), on rejettera dans la

d^v valeur de -j- tous les termes affectés de i, de sorte qu'on aura, en mettant u au lieu de y* et v au lieu de j',

-^ -f-9K«</-f-i5Lii -h6Hr = o.

Nous avons donc, entre les trois variables y^ u, v, ces trois équations L 7«

du second ordre :

-^ -h K'r -f- L -h iMa -h i'^p = o,

(E) \--rj^ H-4K^lH-6Lj-f-2HH — i'irro,

\ dP ^

lesquelles sont intcgrables par la méthode du n** 26.

Suivant cette méthode je multiplie la première par lef^ dt, la seconde par iie^^dt, la troisième par ve^^dt (n® 29), X, fx, v et p étant des constantes indéterminées, ensuite je les ajoute ensemble, et j'en prends l'intégrale en faisant disparaître, par des intégrations par parties, les différences (les variables j, w, r de dessous le signe l -, j'aurai donc

[\dr du (h -. , XLH-2aH"l ^g ^Tt^^Tt^'dt'^^^'^^'"^''^^^ pV

-4- rr(Xp2-f.XR»-h6|uiL-f-6vH)j-f-(/XM-h|ULp^-h4|ULK'-hi5vL)M

-h (i^'XN-h ^fJtM -l-vp^-f-gvKM V e^'rf/ = consl.

J'égale à zéro les coefficients des variables j, w, v^ qui sont sous les signes / ? ce qui me donne ces trois équations :

iXp' H- XK' -h'6|uiL -h 6y H = o, iXM -4-|ULp'-4-4iEJtK'-h i5vL=:o, i-XN -h ^^[f.^ -4-vp'-f-9vK' = o,

par le moyen desquelles je détermine les quantités X, fx, v et o. De cette manière j'ai

Or, pour peu qu'on examine les équations (F), il est aisé de recon-

iiaitre que la quantité fx doit être de Tordre de i, et celle de v de l'ordre dei^

Soient donc

fi=zi'koc ei v = i'Xp,

on aura, en divisant la première équation par )., la seconde par «X, et la troisième par i*X, les trois suivantes :

p'H- K^-h6/aL -4-6i'pn=o, M-f-afp'-f-4K^)-h i5ipL = o,

N-hyaM + pCp'-t- 9K^) =o.

La première donne

p'= -- K» — 6iaL - 6/»(3H,

et mettant cette valeur de p* dans les deux autres, on aura M-f-a(3K'-6iaL~ 6i^(3H) -+- iSi^L = o, N -h ^aM-f-(3(8K»-6/aL-6/'pH)i^o.

Négligeons d'abord les termes affectés de i, et nous aurons

M-+-3aK^^^o, N-f- y aM -h 8j3K» = o,

d'où l'on tire

M N ioaM N loM»

Substituant ensuite ces valeurs dans les termes de l'ordre de «, et négligeant ceux de l'ordre de i^, on aura

d'où Ton tirera de nouvelles valeurs plus exactes de o^ et de |3, lesquelles

seront

M^ 6tL/ M y i5iL ( N ioM'\

N^ loM' io.6tLM / M y i5/LM / N ioM'\

>^~ 8K''^8.9K« 9.8K* \3K»j "^ 9.8K« V 8K' 9.8KV

6iL / M \ / N ioM'\

"^ 8K» \ 3K')\ 8K'"*"9.8kV'

et ainsi de suite; mais comme |x = iXoc et v = {'X|3, il est clair que pour notre objet il suffîra d'avoir la valeur de a aux quantités de Tordre de /* près, et celle de |3 aux quantités de l'ordre de j près; de sorte qu'on pourra se contenter de prendre

et

N loM»

Ayant trouvé les valeurs de a et de j3, on les substituera dans l'équation (î* = — K* — 6iaL — 6i*|3H, et l'on aura, en ordonnant les termes par rapport à 1,

,__ 2/LM t'L'/iSN i7M'\ ilH/3N 5M'\

Soit p = R V— I . en sorte que p* - — R", et l'on aura 2/LM j'L»/i5N i-,M'\

L» /ii5N i7 M»\ J^H /3N 5M'\ • \ 4 ■ 6R' ) K» l, 4 6K»j'

d'où

„ .- .LM L^iSN 10 M' \ ., H/3N i5M'\

Reprenons maintenant Téqualion (G;, et substituons-y R y — i au lieu (le p, «Xa au lieu de fji, «^X]3 au lieu de v, y^ au lieu de a, et /^ au lieu

de ^, nous aurons, en prenant G pour la constante.

Or, soient,' lorsque / = o,

on aura

Donc, si l'on fait et qu'on divise toute l'équation par Xe*^'^"', on aura

=:(GcosR/-FRsinR/) — (FRcosR/-4-GsinRi)v^^; et prenant le radical v^— i en moins,

= (G cosR/ — FR sin Ht) -4- (FR cosR/ -h G sin R/) v^'^î

donc, retranchant la première de ces équations de la seconde, et divisant ensuite par 2R y -— i » on aura

(H ) r-^i^ r' -h i'^y -h ^""J/^" = F cosR/ -f- ^sinRr.

C'est l'intégrale de l'équation f A), en n'ayant égard qu'aux quantités de l'ordre de i et de 1^.

Si l'on veut avoir la valeur de jf , on n*aura qu'à résoudre l'équation ( H ) par approximation , en observant de négliger dans cette opération les

quantités qui se trouveraient multipliées par des puissances de i plus hautes que la seconde.

. Pour y parvenir plus aisément on fera

r = T-+-iT'-4-i^T",

et, substituant cette valeur dans Téquation (H), on égalefa à zéro les termes homogènes, c'est-à-dire ceux qui sont affectés de la même puissance de /; ce qui donnera

T = FcosR/ -h -rrsmR/ ^ ,

T'= - aP, T" =r - iolÎT - (3P;

d'où il est clair que la valeur de r ne contiendra que des sinus et des cosinus d'angles multiples de t.

En supposant ^ = o, on verra que la valeur de R^ trouvée ci-dessus s'accorde entièrement avec celle du n^45; il n'y aura, pour s'en convaincre, qu'à mettre, au lieu de H et de /', leurs valeurs approchées

- (KV-^ 2L/) et /-^ ^ fn- 44 et 45j.

Du moiwement d'un corps qui décrit une orbite ci peu près cîrcuh ire, en vertu d'une force centride proportionnelle a une fonction quelconque de la distance,

47. Soient r le rayon vecteur de l'orbite, t le temps écoulé depuis le commencement du mouvement, y l'angle parcouru par le rayon r durant le temps /, Aria fonction de la distance rqui exprime la force centrale, a la distance initiale, c la vitesse de projection, été l'angle de la ligne de projection avec le rayon vecteur; on aura, en prenant dt constant, ces deux équations

f Voyez l'Article IV du Mémoire qui a pour titre Application de la méthode précédente, etc., page 370. j

La première étant intégrée donne ^^^-^ égale à une constante; mais lorsque / = o, on a

donc

r=:a el — rr = csmo; al

r^do . - do acsïnb

-^=acsmb ex -jf=—^,

substituant donc cette valeur dans l'autre équation, on aura, pour les équations générales du mouvement du corps,

d^ r a^c^sWb . do acsïnb

Maintenant, puisqu'on suppose que Torbite diffère peu d'un cercle, il est clair que r doit être presque égal à a, et que par conséquent on peut faire r = a-i-(y, i étant un coefficient très-petit, et j une nouvelle variable; ce qui donnera

d^ r . d^x ^ 1 __ i 2 . r a-iX^ s y*

'dF^'~4F' 7^- [a^ixY ""a»""'^'5^ "^^' ^ ""' ^ '^•••'

Ar=: A(a -f- 1/) = Aa -h I A'aj-h i* r'-f- 1' — ôJ*-^- • •»

en supposant

donc la première équation deviendra

i-j^ I — 3i^ -h6i»~- — loi*^ -h. . . )

dt' « \ « « « /

-h Aa-f- lA'orH- «* r'-f-«'^ — =- r-'-f-. . . = o;

d'où l'on voit que Aa ^^^ doit être nécessairement une quantité

très-petite de Tordre de i; de sorte qu'on peut supposer

. c'sin^é .,

aa == I L,

iiiovennant quoi l'équation sera divisible par i, et deviendra, après la division,

-77- 4- A'fl -I ;; r H- L -+- I ; 1 T

équation qui se réduit à la formule f A) du n** 4'2, en supposant

., 3c'sin^6 „, A"a Gc^sin^b ,, A^'a ioc*sin^6 «.

Ainsi l'on, aura la valeur de y, et par conséquent celle de r en /; il

rfr dt

dr faudra seulement observer que, quand / = o, r = a et -^=— ccosfe.

c'est-à-dire

r = o et £^r= — ccos6,

par conséquent

f = o ei £g^= — ccosft;

d'où l'on voit que cosb doit être très-petit, et par conséquent l'angle de projection b presque droit; ce qui est d'ailleurs évident, à cause que l'orbite est supposée peu différente d'un cercle.

L'autre équation donnera, après la substitution de a -h ey au lieu de r,

do csiuh .csin6 „.,csin6 , ,. csinft ,

dt a rt^ ' a^ ' ^ a* *

Je substitue dans cette équation u au lieu de j^, et v au lieu de 7', ensuite j'y ajoute les trois équations (E) du n** 46, multipliées la première par X, la seconde par fji, la troisième par v fX, jui, v étant des coeffi-

cîents indéterminés), ce qui me donne, en ordonnant les termes,

do ^ d^r d^u d^v csinA .- „

dt dt^ ^ dP dt^ a ^

1 h>K»-i-6|ExL-i-6vH) X

( h«XM-h4i^K*-»- ï5vL| a

fLi^csxwh . ... lo/aM ^A

Je suppose à présent

hXK^-f-6aL-hbvH=ro,

f 4'^^sin6 .,^T^ loiaM

ce qui réduit l'équation précédente à

do ^ d^r d^u d^v csïnb ..

r// é//* ^ rff2 dp a r »

dont rintégrale est

c'est-à-dire, en remettant y^ au lieu de a, y' au lieu de i^, et faisant

dy attention que lorsque / = o on a 9 = o, y = o et -^ = ^,

t-i , 1 ,x^^ /csinfc -, tm\ r -^